ปัญหาของ Goldbach เป็นหนึ่งในปัญหาที่เก่าแก่และน่าสนใจที่สุดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ทั้งหมด
การคาดคะเนนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 4 × 1,018 แต่ยังคงไม่ได้รับการพิสูจน์แม้ว่านักคณิตศาสตร์จะพยายามอย่างมาก
หมายเลข
จำนวนโกลด์บัคเป็นจำนวนเต็มคู่บวกที่เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะคู่คี่ อีกรูปแบบหนึ่งของการคาดเดาของ Goldbach คือจำนวนเต็มคู่ที่มากกว่าสี่เป็นตัวเลข Goldbach
การแยกหมายเลขดังกล่าวเรียกว่าพาร์ติชั่นของ Goldbach (หรือพาร์ติชั่น) ด้านล่างนี้คือตัวอย่างส่วนที่คล้ายกันสำหรับจำนวนคู่บางจำนวน:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
การค้นพบสมมติฐาน
โกลด์บัคมีเพื่อนร่วมงานชื่อออยเลอร์ ซึ่งชอบนับ เขียนสูตรที่ซับซ้อน และเสนอทฤษฎีที่แก้ไม่ได้ ในเรื่องนี้พวกเขาคล้ายกับโกลด์บัค ออยเลอร์ทำปริศนาทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันก่อน Goldbach ซึ่งเขาการติดต่ออย่างต่อเนื่อง จากนั้นเขาก็เสนอข้อเสนอแนะที่สองที่ขอบของต้นฉบับ โดยสามารถเขียนจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสามจำนวนได้ เขาถือว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะ
ทั้งสองสมมติฐานนี้ทราบกันดีอยู่แล้วว่ามีความคล้ายคลึงกัน แต่ดูเหมือนว่าจะไม่มีปัญหาในขณะนั้น ปัญหาของ Goldbach เวอร์ชันใหม่ระบุว่าจำนวนเต็มที่มากกว่า 5 ทุกตัวสามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสามจำนวนได้ ออยเลอร์ตอบในจดหมายลงวันที่ 30 มิถุนายน ค.ศ. 1742 และเตือนโกลด์บัคเกี่ยวกับการสนทนาก่อนหน้านี้ที่พวกเขามี ("… เรากำลังพูดถึงสมมติฐานเดิม (และไม่ใช่ส่วนเพิ่ม) ที่เกิดจากข้อความต่อไปนี้")
ปัญหาออยเลอร์-โกลด์บัค
2 และเลขคู่สามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัว ซึ่งเป็นการคาดเดาของ Goldbach เช่นกัน ในจดหมายฉบับหนึ่งลงวันที่ 30 มิถุนายน ค.ศ. 1742 ออยเลอร์กล่าวว่าทุกจำนวนเต็มคู่เป็นผลมาจากการบวกจำนวนเฉพาะสองตัว ซึ่งเขาถือว่าเป็นทฤษฎีบทที่กำหนดไว้อย่างดี แม้ว่าเขาจะพิสูจน์ไม่ได้ก็ตาม
รุ่นที่สาม
ปัญหาของ Goldbach รุ่นที่สาม (เทียบเท่ากับอีกสองเวอร์ชัน) เป็นรูปแบบที่มักจะให้การคาดเดาในปัจจุบัน มันยังเป็นที่รู้จักกันในนาม "แข็งแกร่ง", "คู่" หรือ "ไบนารี" การคาดเดาของ Goldbach เพื่อแยกความแตกต่างจากสมมติฐานที่อ่อนแอกว่าที่รู้จักกันในปัจจุบันว่า "อ่อนแอ", "คี่" หรือ "ไตรภาค" ของ Goldbach การคาดเดาที่อ่อนแอระบุว่าจำนวนคี่ทั้งหมดที่มากกว่า 7 เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะคี่สามจำนวน การคาดเดาที่อ่อนแอได้รับการพิสูจน์ในปี 2556 สมมติฐานที่อ่อนแอคือเป็นผลมาจากสมมติฐานที่แข็งแกร่ง ผลย้อนกลับและการคาดเดาที่แข็งแกร่งของ Goldbach ยังไม่ได้รับการพิสูจน์มาจนถึงทุกวันนี้
เช็ค
สำหรับค่าขนาดเล็กของ n ปัญหา Goldbach (และด้วยเหตุนี้การคาดเดาของ Goldbach) สามารถตรวจสอบได้ ตัวอย่างเช่น Nils Pipping ในปี 1938 ได้ทดสอบสมมติฐานอย่างละเอียดถี่ถ้วนถึง n ≦ 105 เมื่อคอมพิวเตอร์เครื่องแรกมีคอมพิวเตอร์เครื่องแรก มีการคำนวณค่า n จำนวนมากขึ้น
Oliveira Silva ทำการค้นหาด้วยคอมพิวเตอร์แบบกระจายซึ่งยืนยันสมมติฐานสำหรับ n ≦ 4 × 1018 (และตรวจสอบซ้ำได้ถึง 4 × 1017) ณ ปี 2013 รายการหนึ่งจากการค้นหานี้คือ 3,325,581,707,333,960,528 เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ไม่มีการแยก Goldbach โดยมีค่าเฉพาะที่ต่ำกว่า 9781
ฮิวริสติก
เวอร์ชันสำหรับรูปแบบที่แข็งแกร่งของการคาดเดาของ Goldbach มีดังนี้: เนื่องจากปริมาณมีแนวโน้มที่จะอนันต์เมื่อ n เพิ่มขึ้น เราคาดว่าจำนวนเต็มขนาดใหญ่ทุกตัวจะมีการแสดงมากกว่าหนึ่งรายการเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัว แต่ในความเป็นจริง มีการแสดงมากมายเช่นนี้ ใครเป็นคนแก้ปัญหา Goldbach? อนิจจายังไม่มีใคร
อาร์กิวเมนต์ฮิวริสติกนี้จริง ๆ แล้วค่อนข้างไม่แม่นยำ เนื่องจากถือว่า m ไม่ขึ้นกับ n ทางสถิติ ตัวอย่างเช่น ถ้า m เป็นเลขคี่ n - m ก็เป็นเลขคี่เช่นกัน และถ้า m เป็นเลขคู่ n - m จะเป็นเลขคู่ และนี่คือความสัมพันธ์ที่ไม่ซับซ้อน (ซับซ้อน) เพราะนอกจากเลข 2 แล้ว มีเพียงเลขคี่เท่านั้น ตัวเลขสามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้ ในทำนองเดียวกัน ถ้า n หารด้วย 3 ลงตัว และ m เป็นจำนวนเฉพาะอยู่แล้วนอกเหนือจาก 3 แล้ว n - m ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกันเฉพาะกับ 3 ดังนั้นจึงน่าจะเป็นจำนวนเฉพาะมากกว่าจำนวนทั้งหมด ดำเนินการวิเคราะห์ประเภทนี้อย่างระมัดระวังยิ่งขึ้น Hardy และ Littlewood ในปี 1923 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการคาดเดา tuple ง่าย ๆ ของ Hardy-Littlewood ที่มีชื่อเสียง ทำให้การปรับแต่งข้างต้นของทฤษฎีทั้งหมด แต่ยังไม่ได้ช่วยแก้ปัญหาเลย
สมมติฐานที่แข็งแกร่ง
การคาดเดา Goldbach ที่แข็งแกร่งนั้นซับซ้อนกว่าการคาดเดา Goldbach ที่อ่อนแอมาก ชนิเรลมันได้พิสูจน์ในภายหลังว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่มากกว่า 1 สามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะ C ส่วนใหญ่ โดยที่ C เป็นค่าคงที่ที่คำนวณได้อย่างมีประสิทธิผล นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามแก้โจทย์ นับและคูณตัวเลข เสนอสูตรที่ซับซ้อน ฯลฯ แต่พวกเขาไม่ประสบความสำเร็จเพราะสมมติฐานซับซ้อนเกินไป ไม่มีสูตรช่วย
แต่ก็ควรที่จะเลิกยุ่งกับการพิสูจน์ปัญหาของ Goldbach สักหน่อย ค่าคงที่ชนิเรลมันคือค่า C ที่น้อยที่สุดของคุณสมบัตินี้ ชนิเรลแมนเองได้ C <800 000 ผลลัพธ์นี้ถูกเสริมโดยผู้เขียนหลายคนในเวลาต่อมา เช่น Olivier Ramaret ซึ่งแสดงในปี 1995 ว่าทุกเลขคู่ n ≧ 4 แท้จริงแล้วเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสูงสุดหกจำนวนเฉพาะ ผลลัพธ์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในปัจจุบันเกี่ยวข้องกับทฤษฎี Goldbach โดย Harald Helfgott
พัฒนาต่อไป
ในปี 1924 Hardy และ Littlewood สันนิษฐานว่า G. R. H. พบว่าจำนวนเลขคู่สูงถึง X ซึ่งละเมิดปัญหาไบนารี Goldbach นั้นน้อยกว่าเลขคเล็กน้อยมาก
ในปี 1973 เฉิน จิงหยุนฉันพยายามแก้ปัญหานี้ แต่ก็ไม่ได้ผล เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ด้วย ดังนั้นเขาจึงชอบไขปริศนาและพิสูจน์ทฤษฎีบทมาก
ในปี 1975 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันสองคนแสดงให้เห็นว่ามีค่าคงที่บวก c และ C - ซึ่ง N มีค่าเพียงพอ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตของจำนวนเต็มคู่มีความหนาแน่นเป็นศูนย์ ทั้งหมดนี้มีประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหา Goldbach ที่จะเกิดขึ้นในอนาคต
ในปี 1951 Linnik ได้พิสูจน์การมีอยู่ของค่าคงที่ K โดยที่ทุกจำนวนคู่ที่มากพอเป็นผลมาจากการบวกจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวนและจำนวนเฉพาะอีกจำนวนหนึ่งเข้าด้วยกัน Roger Heath-Brown และ Jan-Christoph Schlage-Puchta พบในปี 2002 ว่า K=13 ใช้งานได้ มันน่าสนใจมากสำหรับทุกคนที่ชอบบวกกัน บวกเลขต่างกัน แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น
วิธีแก้ปัญหาโกลด์บัค
เช่นเดียวกับการคาดเดาที่รู้จักกันดีในวิชาคณิตศาสตร์ มีการพิสูจน์ข้อกล่าวหาหลายประการเกี่ยวกับการคาดเดาของ Goldbach ซึ่งไม่ได้รับการยอมรับจากชุมชนคณิตศาสตร์
แม้ว่าการคาดคะเนของ Goldbach จะบอกเป็นนัยว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะได้มากที่สุดสามจำนวน เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะหาผลรวมดังกล่าวโดยใช้อัลกอริธึมโลภที่ใช้จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ ในแต่ละขั้นตอน ลำดับ Pillai ติดตามตัวเลขที่ต้องการจำนวนเฉพาะมากที่สุดในการแสดงโลภ ดังนั้น การแก้ปัญหา Goldbachยังอยู่ในคำถาม อย่างไรก็ตามไม่ช้าก็เร็วก็น่าจะได้รับการแก้ไข
มีทฤษฎีที่คล้ายกับปัญหาของ Goldbach ซึ่งจำนวนเฉพาะจะถูกแทนที่ด้วยชุดตัวเลขเฉพาะอื่นๆ เช่น สี่เหลี่ยม
คริสเตียน โกลด์บัค
Christian Goldbach เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่เรียนกฎหมายด้วย เขาจำได้ในวันนี้สำหรับการคาดเดาของ Goldbach
เขาทำงานเป็นนักคณิตศาสตร์มาทั้งชีวิต เขาชอบบวกเลขมาก คิดค้นสูตรใหม่ๆ เขารู้หลายภาษาด้วย โดยแต่ละภาษาเขาเก็บไดอารี่ส่วนตัวไว้ ภาษาเหล่านี้ได้แก่ เยอรมัน ฝรั่งเศส อิตาลี และรัสเซีย นอกจากนี้ ตามแหล่งข้อมูลบางแห่ง เขาพูดภาษาอังกฤษและละติน เขาเป็นที่รู้จักในฐานะนักคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดีในช่วงชีวิตของเขา โกลด์บัคมีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับรัสเซียค่อนข้างมาก เพราะเขามีเพื่อนร่วมงานชาวรัสเซียหลายคนและเป็นที่โปรดปรานของราชวงศ์
เขายังคงทำงานที่ St. Petersburg Academy of Sciences ที่เพิ่งเปิดใหม่ในปี 1725 ในตำแหน่งศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์และนักประวัติศาสตร์ของสถาบันการศึกษา ในปี ค.ศ. 1728 เมื่อ Peter II กลายเป็นซาร์แห่งรัสเซีย Goldbach ก็กลายเป็นที่ปรึกษาของเขา ในปี ค.ศ. 1742 เขาเข้าสู่กระทรวงการต่างประเทศรัสเซีย นั่นคือเขาทำงานในประเทศของเราจริงๆ ในเวลานั้น นักวิทยาศาสตร์ นักเขียน นักปรัชญา และบุคลากรทางการทหารจำนวนมากเดินทางมารัสเซีย เพราะในตอนนั้นรัสเซียเป็นประเทศแห่งโอกาสอย่างอเมริกา หลายคนได้ทำอาชีพที่นี่ และฮีโร่ของเราก็ไม่มีข้อยกเว้น
คริสเตียน โกลด์บัค พูดได้หลายภาษา - เขาเขียนไดอารี่เป็นภาษาเยอรมันและละติน จดหมายของเขาเขียนเป็นภาษาเยอรมัน ละติน ฝรั่งเศส และอิตาลี และสำหรับเอกสารราชการ เขาใช้ภาษารัสเซีย เยอรมัน และละติน
เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 20 พฤศจิกายน พ.ศ. 2307 เมื่ออายุ 74 ปีในกรุงมอสโก วันที่ปัญหาของ Goldbach ได้รับการแก้ไขจะเป็นการรำลึกถึงความทรงจำของเขา
สรุป
โกลด์บัคเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่มอบความลึกลับที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเรื่องหนึ่งให้กับเรา ไม่รู้ว่าจะแก้ได้หรือไม่ เรารู้แค่ว่าความละเอียดที่ควรจะเป็น เช่นในกรณีของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จะเปิดมุมมองใหม่ๆ ให้กับคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ชอบที่จะแก้ปัญหาและวิเคราะห์มันมาก เป็นเรื่องที่น่าสนใจและอยากรู้อยากเห็นมากจากมุมมองของฮิวริสติก แม้แต่นักเรียนคณิตศาสตร์ก็ชอบแก้ปัญหา Goldbach ยังไงอีก? ท้ายที่สุดแล้ว คนหนุ่มสาวมักจะดึงดูดทุกสิ่งที่สดใส ทะเยอทะยาน และไม่ได้รับการแก้ไข เพราะเราสามารถยืนยันตัวเองได้ด้วยการเอาชนะความยากลำบาก หวังว่าอีกไม่นานปัญหานี้จะคลี่คลายด้วยจิตใจที่อ่อนเยาว์ ทะเยอทะยาน และอยากรู้อยากเห็น
