คุณสมบัติและวิธีการหารากของสมการกำลังสอง

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

โลกถูกจัดเรียงในลักษณะที่การแก้ปัญหาจำนวนมากลงมาเพื่อหารากของสมการกำลังสอง รากของสมการมีความสำคัญต่อการอธิบายรูปแบบต่างๆ สิ่งนี้เป็นที่รู้จักแม้กระทั่งนักสำรวจของบาบิโลนโบราณ นักดาราศาสตร์และวิศวกรก็ถูกบังคับให้แก้ปัญหาดังกล่าวเช่นกัน ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 6 นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย Aryabhata ได้พัฒนาพื้นฐานในการหารากของสมการกำลังสอง สูตรสำเร็จในศตวรรษที่ 19

แนวคิดทั่วไป

เราขอเชิญคุณทำความคุ้นเคยกับความเท่าเทียมกันขั้นพื้นฐานของสมการกำลังสอง โดยทั่วไป ความเท่าเทียมกันสามารถเขียนได้ดังนี้:

ax2 + bx + c=0, จำนวนรากของสมการกำลังสองมีค่าเท่ากับหนึ่งหรือสอง การวิเคราะห์อย่างรวดเร็วสามารถทำได้โดยใช้แนวคิดเรื่องการเลือกปฏิบัติ:

D=b2 - 4ac

ขึ้นอยู่กับค่าที่คำนวณ เราได้:

• เมื่อ D > 0 มีรากที่แตกต่างกันสองแบบ สูตรทั่วไปสำหรับหารากของสมการกำลังสองดูเหมือน (-b± √D) / (2a).
• D=0 ในกรณีนี้ รูทคือหนึ่งและสอดคล้องกับค่า x=-b / (2a)
• D < 0 สำหรับค่าลบของ discriminant ไม่มีคำตอบของสมการ

หมายเหตุ: หากการจำแนกเป็นลบ สมการจะไม่มีรากเฉพาะในพื้นที่ของจำนวนจริงเท่านั้น หากพีชคณิตขยายไปถึงแนวคิดของรากที่ซับซ้อน สมการก็มีคำตอบ

ให้ลูกโซ่ของการกระทำที่ยืนยันสูตรการหาราก

จากรูปแบบทั่วไปของสมการ ดังนี้

ax2 + bx=-c

เราคูณส่วนขวาและซ้ายด้วย 4a แล้วบวก b2 เราได้

4a^2x2 ^{+ 4abx + b}2 ^=-4ac+b 2

แปลงด้านซ้ายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของพหุนาม (2ax + b)². เราแยกรากที่สองของสมการทั้งสองข้างของสมการ 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2) โอนสัมประสิทธิ์ b ไปทางด้านขวา จะได้}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

จากนี้ไป:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

สิ่งที่ต้องแสดง

กรณีพิเศษ

ในบางกรณี การแก้ปัญหาสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ ดังนั้นสำหรับสัมประสิทธิ์ b เราจะได้สูตรที่ง่ายกว่า

แสดงว่า k=1/2b จากนั้นสูตรของรูปแบบทั่วไปของรากของสมการกำลังสองจะอยู่ในรูปแบบ:

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

เมื่อ D=0 เราจะได้ x=-k / a

กรณีพิเศษอีกกรณีหนึ่งคือการแก้สมการด้วย a=1.

สำหรับแบบฟอร์ม x² + bx + c=0 รากจะเป็น x=-k ± √(k^{2 - c) ที่มีการเลือกปฏิบัติมากกว่า 0สำหรับกรณีที่ D=0 รูทจะถูกกำหนดโดยสูตรง่ายๆ: x=-k.}

ใช้ชาร์ต

บุคคลใดก็ตามที่ต้องเผชิญกับปรากฏการณ์ทางกายภาพ เคมี ชีวภาพและแม้แต่ทางสังคมโดยที่ไม่รู้ตัวอยู่ตลอดเวลา ที่อธิบายได้ดีโดยฟังก์ชันกำลังสอง

หมายเหตุ: เส้นโค้งที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของฟังก์ชันกำลังสองเรียกว่าพาราโบลา

นี่คือตัวอย่าง

1. เมื่อคำนวณวิถีของโพรเจกไทล์ จะใช้คุณสมบัติของการเคลื่อนที่ตามแนวพาราโบลาของร่างกายที่ยิงจากมุมสู่ขอบฟ้า
2. คุณสมบัติของพาราโบลาเพื่อกระจายน้ำหนักอย่างเท่าๆ กันนั้นถูกใช้อย่างแพร่หลายในสถาปัตยกรรม

การทำความเข้าใจถึงความสำคัญของฟังก์ชันพาราโบลา มาทำความเข้าใจวิธีใช้กราฟเพื่อสำรวจคุณสมบัติของกราฟกัน โดยใช้แนวคิดของ "discriminant" และ "roots of aquadratic diabetes"

ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ a และ b มีเพียงหกตัวเลือกสำหรับตำแหน่งของเส้นโค้ง:

1. การเลือกปฏิบัติเป็นบวก a และ b มีสัญญาณต่างกัน มองกิ่งก้านของพาราโบลา สมการกำลังสองมีสองคำตอบ
2. ดิสคริมิแนนต์และสัมประสิทธิ์ b เท่ากับศูนย์ สัมประสิทธิ์ a มากกว่าศูนย์ กราฟอยู่ในโซนบวก สมการมี 1 รูท
3. การเลือกปฏิบัติและสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นค่าบวก สมการกำลังสองไม่มีคำตอบ
4. การเลือกปฏิบัติและสัมประสิทธิ์ a เป็นลบ b มากกว่าศูนย์ กิ่งก้านของกราฟถูกชี้ลง สมการมีสองราก
5. เลือกปฏิบัติและสัมประสิทธิ์ b เท่ากับศูนย์ สัมประสิทธิ์ a เป็นลบ พาราโบลามองลงมา สมการมีหนึ่งรูต
6. ค่าของการเลือกปฏิบัติและสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นค่าลบ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ค่าฟังก์ชันอยู่ในโซนลบโดยสมบูรณ์

หมายเหตุ: ระบบไม่พิจารณาตัวเลือก a=0 เนื่องจากในกรณีนี้ พาราโบลาจะเสื่อมลงเป็นเส้นตรง

ทั้งหมดข้างต้นมีภาพประกอบอย่างดีจากรูปด้านล่าง

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

เงื่อนไข: ใช้คุณสมบัติทั่วไปสร้างสมการกำลังสองที่มีรากเท่ากัน

วิธีแก้ไข:

ตามสภาพของปัญหา x₁ =x₂ หรือ -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). ลดความซับซ้อนของสัญกรณ์:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0 เปิดวงเล็บและให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน สมการกลายเป็น 2√(b² - 4ac)=0 ข้อความนี้เป็นจริงเมื่อ b² - 4ac=0 ดังนั้น b ^{2=4ac จากนั้นค่า b=2√(ac) จะถูกแทนที่ลงในสมการ}

ax² + 2√(ac)x + c=0 ในรูปแบบย่อเราจะได้ x^{2 + 2√(c / a)x + c=0.}

เฉลย:

สำหรับ a ไม่เท่ากับ 0 และ c ใดๆ มีเพียงคำตอบเดียวถ้า b=2√(c / a).

สมการกำลังสอง มีความสำคัญอย่างยิ่งในการคำนวณทางวิศวกรรม เกือบทุกกระบวนการทางกายภาพสามารถอธิบายได้ด้วยการประมาณโดยใช้ฟังก์ชันกำลังของคำสั่ง n. สมการกำลังสองจะเป็นค่าประมาณแรก