ความหมายและขนาดของเลขเกรแฮม

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-15 17:30

ที่คำว่า "อินฟินิตี้" แต่ละคนมีความเกี่ยวข้องกันเป็นของตัวเอง หลายคนวาดจินตนาการถึงท้องทะเลที่กว้างไกลสุดขอบฟ้า ขณะที่คนอื่นๆ วาดภาพท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาวที่ไร้จุดสิ้นสุดต่อหน้าต่อตา นักคณิตศาสตร์ที่คุ้นเคยกับการใช้ตัวเลข ลองนึกภาพอนันต์ในรูปแบบที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง เป็นเวลาหลายศตวรรษที่พวกเขาพยายามค้นหาปริมาณทางกายภาพที่ใหญ่ที่สุดที่จำเป็นสำหรับการวัด หนึ่งในนั้นคือหมายเลขเกรแฮม บทความนี้มีเลขศูนย์กี่ตัวและใช้ทำอะไร

จำนวนมหาศาล

ในวิชาคณิตศาสตร์ นี่คือชื่อของตัวแปรดังกล่าว x หากสำหรับจำนวนบวกที่กำหนด M เราสามารถระบุจำนวนธรรมชาติ N เพื่อให้ตัวเลขทั้งหมด n มากกว่า N ความไม่เท่าเทียมกัน |x _{| > M. อย่างไรก็ตาม ไม่ ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม Z ถือว่ามีขนาดใหญ่มาก เนื่องจากจะน้อยกว่า (Z + 1) เสมอ}

คำสองสามคำเกี่ยวกับ "ยักษ์"

ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่มีความหมายทางกายภาพคือ:

• 1080. ตัวเลขนี้ ซึ่งปกติเรียกว่า quinquavigintillion ใช้เพื่อระบุจำนวนควาร์กและเลปตอนโดยประมาณ (อนุภาคที่เล็กที่สุด) ในจักรวาล
• 1 Google. ตัวเลขในระบบทศนิยมดังกล่าวเขียนเป็นหน่วยที่มีศูนย์ 100 ตัว ตามแบบจำลองทางคณิตศาสตร์บางตัว ตั้งแต่ช่วงบิกแบงจนถึงการระเบิดของหลุมดำมวลมากที่สุด ควรผ่านไป 1 ถึง 1.5 ปีกูกอล หลังจากนั้นจักรวาลของเราจะเข้าสู่ขั้นตอนสุดท้ายของการดำรงอยู่ นั่นคือ เราสามารถ ถือว่าตัวเลขนี้มีความหมายทางกายภาพบางอย่าง
• 8, 5 x 10¹⁸⁵. ค่าคงที่ของพลังค์คือ 1.616199 x 10^-35 m เช่น ในรูปแบบทศนิยมดูเหมือนว่า 0.0000000000000000000000000616199 ม. มีความยาวประมาณ 1 นิ้ว googol Planck คาดว่าประมาณ 8.5 x 10^{185 ความยาวพลังค์สามารถพอดีกับจักรวาลทั้งหมดของเรา}
• 2^{77 232 917} – 1. นี่คือจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จัก หากสัญกรณ์เลขฐานสองมีรูปแบบที่ค่อนข้างกะทัดรัด ดังนั้นในการบรรยายเป็นทศนิยม จะใช้อักขระไม่น้อยกว่า 13 ล้านตัว พบในปี 2560 เป็นส่วนหนึ่งของโครงการค้นหาหมายเลข Mersenne หากผู้ที่ชื่นชอบยังคงทำงานในทิศทางนี้ ในระดับปัจจุบันของการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ ในอนาคตอันใกล้นี้ พวกเขาไม่น่าจะสามารถหาตัวเลขของ Mersenne ได้ในระดับที่มากกว่า 2^{77 232 917- 1 แม้ว่าจะเป็นเช่นนั้นผู้โชคดีจะได้รับ 150,000 เหรียญสหรัฐ}
• ฮิวโกเพล็กซ์. ตรงนี้เราก็แค่เอา 1 แล้วบวกศูนย์ตามจำนวน 1 googol คุณสามารถเขียนตัวเลขนี้เป็น 10^10^100 เป็นไปไม่ได้ที่จะนำเสนอในรูปแบบทศนิยมเพราะหากพื้นที่ทั้งหมดของจักรวาลเต็มไปด้วยแผ่นกระดาษซึ่ง 0 จะถูกเขียนด้วยขนาดตัวอักษร "Word" 10 ดังนั้นในกรณีนี้เพียงครึ่งเดียวของ ทั้งหมด 0 หลังจาก 1 จะได้รับสำหรับหมายเลข googolplex
• 10^10^10^10^10^1.1. นี่คือตัวเลขที่แสดงจำนวนปีหลังจากนั้น ตามทฤษฎีบท Poincaré จักรวาลของเราอันเป็นผลมาจากความผันผวนของควอนตัมแบบสุ่ม จะกลับสู่สถานะใกล้เคียงกับวันนี้

ตัวเลขของ Graham เป็นอย่างไร

ในปี 1977 นักวิทยาศาตร์ชื่อดังอย่าง Martin Gardner ได้ตีพิมพ์บทความใน Scientific American เกี่ยวกับการพิสูจน์ของ Graham เกี่ยวกับหนึ่งในปัญหาของทฤษฎีของ Ramse ในนั้น เขาเรียกขีดจำกัดที่กำหนดโดยนักวิทยาศาสตร์ว่าจำนวนมากที่สุดที่เคยใช้ในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง

โรนัลด์ ลูอิส เกรแฮมคือใคร

นักวิทยาศาสตร์ ซึ่งตอนนี้อายุ 80 ปี เกิดที่แคลิฟอร์เนีย ในปี 1962 เขาได้รับปริญญาดุษฎีบัณฑิตสาขาคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยเบิร์กลีย์ เขาทำงานที่ Bell Labs เป็นเวลา 37 ปีและต่อมาย้ายไปที่ AT&T Labs นักวิทยาศาสตร์ได้ร่วมมือกับ Pal Erdős นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของศตวรรษที่ 20 และเป็นผู้ได้รับรางวัลอันทรงเกียรติมากมาย บรรณานุกรมทางวิทยาศาสตร์ของ Graham มีเอกสารทางวิทยาศาสตร์มากกว่า 320 ฉบับ

ในช่วงกลางทศวรรษที่ 70 นักวิทยาศาสตร์สนใจปัญหาที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีนี้แรมซีย์. ในการพิสูจน์ ขอบเขตบนของสารละลายถูกกำหนด ซึ่งเป็นจำนวนที่มาก ต่อมาตั้งชื่อตามโรนัลด์ เกรแฮม

ปัญหาไฮเปอร์คิวบ์

เพื่อให้เข้าใจแก่นแท้ของตัวเลข Graham คุณต้องเข้าใจก่อนว่าได้มาอย่างไร

นักวิทยาศาสตร์และเพื่อนร่วมงานของเขา Bruce Rothschild กำลังแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

มีไฮเปอร์คิวบ์ n- มิติ จุดยอดทุกคู่ของมันเชื่อมต่อกันในลักษณะที่ได้กราฟที่สมบูรณ์ที่มีจุดยอด 2ขอบแต่ละด้านเป็นสีน้ำเงินหรือสีแดง จำเป็นต้องหาจำนวนจุดยอดขั้นต่ำที่ไฮเปอร์คิวบ์ควรมี เพื่อให้แต่ละสีดังกล่าวมีกราฟย่อยแบบเอกรงค์ที่สมบูรณ์โดยมีจุดยอด 4 จุดอยู่ในระนาบเดียวกัน

การตัดสินใจ

Graham และ Rothschild พิสูจน์ว่าปัญหามีทางแก้ N' ตรงตามเงื่อนไข 6 ⩽ N' ⩽N โดยที่ N เป็นตัวเลขที่ชัดเจนและมีขนาดใหญ่มาก

ขอบล่างของ N ถูกขัดเกลาโดยนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ในเวลาต่อมา ซึ่งพิสูจน์ว่า N ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 13 ดังนั้น นิพจน์สำหรับจุดยอดจำนวนน้อยที่สุดของไฮเปอร์คิวบ์ที่ตรงตามเงื่อนไขที่แสดงข้างต้นจึงกลายเป็น 13 ⩽ น้อง N.

สัญลักษณ์ลูกศรของนัท

ก่อนกำหนดหมายเลข Graham คุณควรทำความคุ้นเคยกับวิธีการแสดงสัญลักษณ์ของมัน เนื่องจากทั้งทศนิยมและเลขฐานสองไม่เหมาะกับสิ่งนี้อย่างที่สุด

ปัจจุบันลูกศรของ Knuth ถูกใช้เพื่อแสดงปริมาณนี้ ตามที่เธอ:

ab=a "ลูกศรขึ้น" b.

สำหรับการดำเนินการของการยกกำลังหลายตัว มีการแนะนำรายการ:

a "ลูกศรขึ้น" "ลูกศรขึ้น" b=ab="หอคอยที่ประกอบด้วย a ในจำนวน b ชิ้น"

และสำหรับการคุมขัง นั่นคือการกำหนดสัญลักษณ์ของการยกกำลังซ้ำของโอเปอเรเตอร์ก่อนหน้า Knuth ใช้ลูกศร 3 อันแล้ว

ใช้สัญลักษณ์นี้สำหรับหมายเลข Graham เรามีลำดับ "ลูกศร" ซ้อนกันเป็นจำนวน 64 ชิ้น

สเกล

หมายเลขที่มีชื่อเสียงของพวกเขาซึ่งกระตุ้นจินตนาการและขยายขอบเขตของจิตสำนึกของมนุษย์ทำให้เกินขอบเขตของจักรวาล Graham และเพื่อนร่วมงานของเขาได้รับมันเป็นขอบเขตบนสำหรับหมายเลข N ในการพิสูจน์ของไฮเปอร์คิวบ์ ปัญหาที่นำเสนอข้างต้น เป็นเรื่องยากมากที่คนธรรมดาจะจินตนาการได้ว่าขนาดของมันใหญ่แค่ไหน

คำถามเกี่ยวกับจำนวนอักขระหรือที่พูดผิดในบางครั้ง ศูนย์ในตัวเลขของ Graham เป็นที่สนใจของทุกคนที่ได้ยินเกี่ยวกับค่านี้เป็นครั้งแรกในครั้งแรก

พอเพียงที่จะบอกว่าเรากำลังเผชิญกับลำดับที่เติบโตอย่างรวดเร็วซึ่งประกอบด้วยสมาชิก 64 คน แม้แต่เทอมแรกก็เป็นไปไม่ได้ที่จะจินตนาการ เพราะมันประกอบด้วย n "หอคอย" ซึ่งประกอบด้วย 3-to แล้ว "ชั้นล่าง" ของ 3 สามเท่าแล้วเท่ากับ 7,625,597,484,987 นั่นคือเกิน 7 พันล้านซึ่งหมายถึงชั้น 64 (ไม่ใช่สมาชิก!) ดังนั้น ปัจจุบันนี้จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะพูดอย่างแน่ชัดว่าจำนวน Graham คืออะไร เนื่องจากไม่เพียงพอสำหรับการคำนวณรวมพลังของคอมพิวเตอร์ทุกเครื่องที่มีอยู่บนโลกทุกวันนี้

สถิติพัง?

ในกระบวนการพิสูจน์ทฤษฎีบทของครุสคาล ตัวเลขของเกรแฮมถูก "โยนทิ้งไปจากแท่น" นักวิทยาศาสตร์เสนอปัญหาต่อไปนี้:

ต้นไม้มีจำกัดมีลำดับไม่สิ้นสุด Kruskal พิสูจน์ว่ามีส่วนของกราฟบางส่วนอยู่เสมอ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของกราฟที่ใหญ่กว่าและสำเนาที่ถูกต้อง ข้อความนี้ไม่ทำให้เกิดความสงสัยใดๆ เนื่องจากเป็นที่ชัดเจนว่าจะมีการรวมกันซ้ำที่ระยะอนันต์เสมอ

ต่อมา ฮาร์วีย์ ฟรีดแมนย่อปัญหานี้ให้แคบลงโดยพิจารณาเฉพาะกราฟแบบวนซ้ำ (ต้นไม้) ซึ่งสำหรับกราฟเฉพาะที่มีค่าสัมประสิทธิ์ i จะมีจุดยอดสูงสุด (i + k) เขาตัดสินใจที่จะค้นหาจำนวนกราฟ acyclic ที่ควรจะเป็น เพื่อที่ด้วยวิธีนี้ของงานนี้ จะสามารถหา subtree ที่จะฝังอยู่ในต้นไม้อื่นได้เสมอ

จากการวิจัยในประเด็นนี้ พบว่า N ขึ้นอยู่กับ k เติบโตด้วยความเร็วมหาศาล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า k=1 แล้ว N=3 อย่างไรก็ตาม ที่ k=2, N ถึง 11 แล้ว สิ่งที่น่าสนใจที่สุดเริ่มต้นเมื่อ k=3 ในกรณีนี้ N อย่างรวดเร็ว "ขึ้น" และถึงค่าที่ มากกว่าเลขเกรแฮมหลายเท่า ลองนึกภาพว่ามันใหญ่แค่ไหน ก็เพียงพอแล้วที่จะจดตัวเลขที่ Ronald Graham คำนวณไว้ในรูปแบบของ G64 (3) จากนั้นค่า Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)) จะอยู่ในลำดับของ G(G(187196)) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ได้ค่าเมกะ ซึ่งยิ่งใหญ่กว่าอย่างอนันต์จำนวนเกรแฮมที่ใหญ่เกินจินตนาการ ในขณะเดียวกัน แม้จะน้อยกว่าอนันต์หลายเท่าก็ตาม มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะพูดถึงแนวคิดนี้ในรายละเอียดมากขึ้น

อินฟินิตี้

ตอนนี้เราได้อธิบายว่าตัวเลข Graham บนนิ้วมือคืออะไร เราควรเข้าใจความหมายที่ได้รับและกำลังลงทุนในแนวคิดทางปรัชญานี้ ท้ายที่สุดแล้ว "อนันต์" และ "จำนวนมหาศาล" อาจถูกพิจารณาว่าเหมือนกันในบางบริบท

อริสโตเติลสนับสนุนการศึกษาปัญหานี้มากที่สุด นักคิดผู้ยิ่งใหญ่แห่งสมัยโบราณได้แบ่งอนันต์ออกเป็นศักยภาพและความเป็นจริง อย่างหลัง เขาหมายถึงความเป็นจริงของการมีอยู่ของสิ่งอนันต์

ตามที่อริสโตเติลกล่าว แหล่งที่มาของแนวคิดเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานนี้คือ:

• เวลา;
• แยกค่า;
• แนวคิดของพรมแดนและการมีอยู่ของบางสิ่งที่อยู่เหนือมัน
• ความไม่สิ้นสุดของธรรมชาติที่สร้างสรรค์
• ความคิดที่ไร้ขอบเขต

ในการตีความสมัยใหม่ของอินฟินิตี้ คุณไม่สามารถระบุการวัดเชิงปริมาณได้ ดังนั้นการค้นหาจำนวนที่มากที่สุดสามารถดำเนินต่อไปได้ตลอดไป

สรุป

คำอุปมาที่ว่า "จ้องเขม็งไปที่อนันต์" กับเลขของเกรแฮมถือตรงกันในบางความหมายได้ไหม? ค่อนข้างใช่และไม่ใช่ ทั้งสองเป็นไปไม่ได้ที่จะจินตนาการถึงแม้จะมีจินตนาการที่แข็งแกร่งที่สุดก็ตาม อย่างไรก็ตาม ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ไม่อาจถือได้ว่า "มากที่สุด มากที่สุด" อีกอย่างคือ ณ เวลานี้ ค่านิยมที่มากกว่าเลขเกรแฮมยังไม่มีกำหนดความรู้สึกทางกายภาพ

นอกจากนี้ยังไม่มีคุณสมบัติของจำนวนอนันต์เช่น:

• ∞ + 1=∞;
• มีทั้งเลขคี่และเลขคู่เป็นอนันต์
• ∞ - 1=∞;
• จำนวนเลขคี่เท่ากับครึ่งหนึ่งของตัวเลขทั้งหมด
• ∞ + ∞=∞;
• ∞/2=∞.

เพื่อสรุป: ตัวเลขของ Graham เป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ตาม Guinness Book of Records อย่างไรก็ตาม มีตัวเลขที่มากกว่าค่านี้หลายเท่า

เป็นไปได้มากว่าในอนาคตจะต้องมี "ยักษ์" ที่ยิ่งใหญ่กว่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคน ๆ หนึ่งไปไกลกว่าระบบสุริยะของเราหรือประดิษฐ์สิ่งที่ไม่สามารถจินตนาการได้ในระดับจิตสำนึกของเราในปัจจุบัน