วิธีหาจุดต่ำสุดและสูงสุดของฟังก์ชัน: คุณสมบัติ วิธีการ และตัวอย่าง

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

ฟังก์ชันและการศึกษาคุณลักษณะเป็นหนึ่งในบทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ องค์ประกอบหลักของฟังก์ชันใดๆ คือ กราฟที่ไม่เพียงแต่แสดงคุณสมบัติของฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงพารามิเตอร์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ด้วย ลองมาดูที่หัวข้อที่ยุ่งยากนี้ วิธีที่ดีที่สุดในการหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันคืออะไร

ฟังก์ชัน: คำจำกัดความ

ตัวแปรใด ๆ ที่ขึ้นอยู่กับค่าของค่าอื่น ๆ สามารถเรียกได้ว่าเป็นฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f(x²) เป็นกำลังสองและกำหนดค่าสำหรับทั้งชุด x สมมุติว่า x=9 แล้วค่าของฟังก์ชันจะเท่ากับ 9^2=81.

ฟังก์ชันมีหลายประเภท: ตรรกะ เวกเตอร์ ลอการิทึม ตรีโกณมิติ ตัวเลข และอื่นๆ จิตใจที่โดดเด่นเช่น Lacroix, Lagrange, Leibniz และ Bernoulli มีส่วนร่วมในการศึกษาของพวกเขา งานเขียนของพวกเขาทำหน้าที่เป็นป้อมปราการในรูปแบบที่ทันสมัยในการศึกษาหน้าที่ ก่อนที่จะหาจุดต่ำสุด สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความหมายของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์และบทบาทของมัน

ฟังก์ชั่นทั้งหมดอยู่ในขึ้นอยู่กับค่าตัวแปร ซึ่งหมายความว่าสามารถเปลี่ยนแปลงค่าได้ตลอดเวลา บนกราฟ กราฟนี้จะแสดงเป็นเส้นโค้งที่ขึ้นหรือลงตามแกน y (นี่คือชุดตัวเลข "y" ทั้งหมดตามแนวตั้งของกราฟ) ดังนั้นคำจำกัดความของฟังก์ชันสูงสุดและต่ำสุดจึงเชื่อมโยงกับ "การแกว่ง" เหล่านี้ ให้เราอธิบายว่าความสัมพันธ์นี้คืออะไร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ถูกวาดบนกราฟเพื่อศึกษาคุณลักษณะหลักและคำนวณว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใด (เช่น เปลี่ยนค่าตามตัวแปร "x") ในขณะที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น กราฟของอนุพันธ์ก็จะเพิ่มขึ้นด้วย แต่ในวินาทีใดก็ตาม ฟังก์ชันอาจเริ่มลดลง จากนั้นกราฟของอนุพันธ์จะลดลง จุดที่อนุพันธ์ไปจากลบเป็นบวกเรียกว่าจุดต่ำสุด เพื่อที่จะรู้วิธีหาจุดต่ำสุด คุณควรเข้าใจแนวคิดของอนุพันธ์ให้ดีกว่านี้

วิธีคำนวณอนุพันธ์

การกำหนดและการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงถึงแนวคิดหลายอย่างจากแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ โดยทั่วไป คำจำกัดความของอนุพันธ์สามารถแสดงได้ดังนี้ นี่คือค่าที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

วิธีคำนวณทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนหลายคนดูเหมือนซับซ้อน แต่จริงๆ แล้วทุกอย่างง่ายกว่ามาก ต้องติดตามเท่านั้นแผนมาตรฐานในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ต่อไปนี้จะอธิบายวิธีที่คุณสามารถค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันโดยไม่ต้องใช้กฎการแยกความแตกต่างและไม่ต้องจำตารางอนุพันธ์

1. คุณสามารถคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้กราฟ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องอธิบายฟังก์ชันนั้นเอง จากนั้นใช้จุดหนึ่งจุด (จุด A ในรูป) ลากเส้นในแนวตั้งลงไปที่แกน abscissa (จุด x_{0) และ ที่จุด A วาดแทนเจนต์เพื่อทำงานกราฟิก แกน abscissa และแทนเจนต์สร้างมุม a ในการคำนวณค่าความเร็วของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น คุณต้องคำนวณแทนเจนต์ของมุมนี้ a.}
2. ปรากฎว่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางของแกน x เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันในพื้นที่เล็กๆ ที่มีจุด A วิธีนี้ถือเป็นวิธีเรขาคณิตในการหาอนุพันธ์.

วิธีการค้นคว้าฟังก์ชัน

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน คุณสามารถหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันได้สองวิธี เราได้วิเคราะห์วิธีแรกโดยใช้กราฟแล้ว แต่จะกำหนดค่าตัวเลขของอนุพันธ์ได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องเรียนรู้สูตรต่างๆ ที่อธิบายคุณสมบัติของอนุพันธ์และช่วยแปลงตัวแปรเช่น "x" เป็นตัวเลข วิธีการต่อไปนี้เป็นแบบสากล ดังนั้นจึงใช้ได้กับฟังก์ชันเกือบทุกชนิด (ทั้งเรขาคณิตและลอการิทึม)

1. จำเป็นต้องทำให้ฟังก์ชันเท่ากับฟังก์ชันอนุพันธ์ จากนั้นลดความซับซ้อนของนิพจน์โดยใช้กฎความแตกต่าง
2. หารด้วยศูนย์).
3. หลังจากนั้น คุณควรแปลงรูปแบบดั้งเดิมของฟังก์ชันให้เป็นสมการง่ายๆ โดยให้นิพจน์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น หากฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้: f(x)=2x³+38x ตามกฎของความแตกต่าง อนุพันธ์จะเท่ากับ f'(x)=3x ^{2 +1. จากนั้นเราแปลงนิพจน์นี้เป็นสมการของรูปแบบต่อไปนี้: 3x}2^+1=0.
4. หลังจากแก้สมการและหาจุด "x" แล้ว คุณควรวาดมันบนแกน x และพิจารณาว่าอนุพันธ์ในพื้นที่เหล่านี้ระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายเป็นบวกหรือลบ หลังจากกำหนดแล้วจะเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชั่นเริ่มลดลงนั่นคือเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นตรงกันข้าม ด้วยวิธีนี้คุณจะพบทั้งคะแนนต่ำสุดและสูงสุด

กฎความแตกต่าง

ส่วนพื้นฐานที่สุดของการเรียนรู้ฟังก์ชันและอนุพันธ์คือการรู้กฎของการสร้างความแตกต่าง ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเท่านั้นจึงจะสามารถเปลี่ยนนิพจน์ที่ยุ่งยากและฟังก์ชันที่ซับซ้อนขนาดใหญ่ได้ มาทำความรู้จักกับพวกมันกันเถอะ พวกมันมีจำนวนมาก แต่พวกมันทั้งหมดนั้นง่ายมากเนื่องจากคุณสมบัติปกติของทั้งกำลังและฟังก์ชันลอการิทึม

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ใดๆ เป็นศูนย์ (f(x)=0) นั่นคืออนุพันธ์ f(x)=x⁵+ x - 160 จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: f' (x)=5x^4+1.
2. อนุพันธ์ของผลรวมของสองเทอม: (f+w)'=f'w + fw'.
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม: (log_{ad)'=d/ln ad. สูตรนี้ใช้กับลอการิทึมทุกชนิด}
4. อนุพันธ์ของดีกรี: (x)'=nx^n-1. ตัวอย่างเช่น (9x^2)'=92x=18x.
5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์: (sin a)'=cos a หากบาปของมุม a เป็น 0.5 อนุพันธ์ของมันคือ √3/2.

จุดสุดขั้ว

เราได้หาวิธีหาจุดต่ำสุดแล้ว อย่างไรก็ตาม มีแนวคิดของจุดสูงสุดของฟังก์ชันอยู่ หากค่าต่ำสุดระบุจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนจากลบเป็นบวก แล้วจุดสูงสุดคือจุดเหล่านั้นบนแกน x ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนจากบวกไปเป็นด้านตรงข้าม - ลบ

คุณสามารถหาคะแนนสูงสุดได้โดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่ควรคำนึงว่าจุดเหล่านี้แสดงถึงพื้นที่ที่ฟังก์ชันเริ่มลดลง กล่าวคือ อนุพันธ์จะน้อยกว่าศูนย์

ในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะสรุปแนวคิดทั้งสอง แทนที่ด้วยวลี "จุดสุดขั้ว" เมื่องานขอให้ระบุจุดเหล่านี้ หมายความว่าจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้และหาจุดต่ำสุดและสูงสุด