ในทางคณิตศาสตร์และการประมวลผล แนวคิดของสัญญาณวิเคราะห์ (สำหรับระยะสั้น - C, AC) เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งไม่มีองค์ประกอบความถี่เชิงลบ ส่วนจริงและจินตภาพของปรากฏการณ์นี้คือหน้าที่จริงที่เกี่ยวข้องกันโดยการแปลงร่างของฮิลแบร์ต สัญญาณการวิเคราะห์เป็นปรากฏการณ์ทั่วไปในวิชาเคมี ซึ่งมีสาระสำคัญคล้ายกับคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของแนวคิดนี้
การแสดง
การแสดงแทนค่าเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันจริงคือสัญญาณวิเคราะห์ที่มีฟังก์ชันดั้งเดิมและการแปลงของฮิลแบร์ต การแสดงนี้อำนวยความสะดวกในการปรับแก้ทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง แนวคิดหลักคือองค์ประกอบความถี่เชิงลบของการแปลงฟูริเยร์ (หรือสเปกตรัม) ของฟังก์ชันจริงนั้นซ้ำซ้อนเนื่องจากสมมาตรเฮอร์มิเที่ยนของสเปกตรัมดังกล่าว ส่วนประกอบความถี่เชิงลบเหล่านี้สามารถละทิ้งได้โดยไม่ต้องใช้ข้อมูลสูญหาย โดยคุณต้องการจัดการกับฟังก์ชันที่ซับซ้อนแทน ซึ่งจะทำให้แอตทริบิวต์คุณลักษณะบางอย่างเข้าถึงได้มากขึ้นและทำให้ง่ายต่อการรับเทคนิคการมอดูเลตและ demodulation เช่น SSB
องค์ประกอบเชิงลบ
ตราบใดที่ฟังก์ชันที่กำลังจัดการไม่มีองค์ประกอบความถี่เชิงลบ (เช่น ยังคงเป็นการวิเคราะห์) การแปลงจากความซับซ้อนกลับเป็นค่าจริงก็เป็นเรื่องของการละทิ้งส่วนจินตภาพ การแสดงแทนการวิเคราะห์เป็นการสรุปแนวคิดของเวกเตอร์: ในขณะที่เวกเตอร์จำกัดแอมพลิจูด เฟส และความถี่ที่ไม่แปรผันตามเวลา การวิเคราะห์เชิงคุณภาพของสัญญาณวิเคราะห์ช่วยให้พารามิเตอร์ที่ผันแปรตามเวลา
แอมพลิจูดทันที เฟสและความถี่ในทันทีนั้นถูกใช้ในบางแอพพลิเคชั่นเพื่อวัดและตรวจจับคุณสมบัติในเครื่องของ C แอปพลิเคชั่นอื่นของการนำเสนอเชิงวิเคราะห์เกี่ยวข้องกับการดีมอดูเลตของสัญญาณมอดูเลต พิกัดเชิงขั้วแยกเอฟเฟกต์ของการมอดูเลต AM และเฟส (หรือความถี่) อย่างสะดวก และทำให้ดีมอดูเลตบางประเภทอย่างมีประสิทธิภาพ
จากนั้นตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำแบบธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงก็สามารถตัดส่วนที่น่าสนใจออกได้ แรงจูงใจอีกประการหนึ่งคือการลดความถี่สูงสุด ซึ่งจะลดความถี่ต่ำสุดสำหรับการสุ่มตัวอย่างที่ไม่ใช่นามแฝง การเปลี่ยนความถี่ไม่ได้บั่นทอนประโยชน์ทางคณิตศาสตร์ของการเป็นตัวแทน ดังนั้น ในแง่นี้ downconverted ยังคงเป็นการวิเคราะห์ อย่างไรก็ตาม การบูรณะปฏิสังขรณ์ที่แท้จริงไม่ใช่เรื่องง่ายในการแยกองค์ประกอบจริงอีกต่อไป อาจจำเป็นต้องมีการแปลงค่า และหากสัญญาณถูกสุ่มตัวอย่าง (เวลาไม่ต่อเนื่อง) อาจจำเป็นต้องมีการประมาณค่า (การสุ่มตัวอย่าง) เพื่อหลีกเลี่ยงการใช้นามแฝง
ตัวแปร
แนวคิดนี้กำหนดไว้อย่างดีสำหรับปรากฏการณ์ตัวแปรเดียว ซึ่งมักจะเกิดขึ้นชั่วคราว ช่วงเวลานี้สร้างความสับสนให้กับนักคณิตศาสตร์มือใหม่หลายคน สำหรับตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ตัววิเคราะห์ C สามารถกำหนดได้หลายวิธี และมีการนำเสนอสองวิธีด้านล่าง
ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของปรากฏการณ์นี้สอดคล้องกับสององค์ประกอบของสัญญาณโมโนเจนิกที่มีค่าเวกเตอร์ ตามที่กำหนดไว้สำหรับปรากฏการณ์ที่คล้ายกันซึ่งมีตัวแปรเดียว อย่างไรก็ตาม โมโนเจนิกสามารถขยายไปยังตัวแปรจำนวนหนึ่งได้ตามต้องการด้วยวิธีง่ายๆ โดยสร้างฟังก์ชันเวกเตอร์มิติ (n + 1) สำหรับกรณีของสัญญาณตัวแปร n
การแปลงสัญญาณ
คุณสามารถแปลงสัญญาณจริงเป็นสัญญาณวิเคราะห์ได้โดยการเพิ่มองค์ประกอบจินตภาพ (Q) ซึ่งเป็นการแปลง Hilbert ขององค์ประกอบจริง
อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่สิ่งใหม่สำหรับการประมวลผลแบบดิจิทัล หนึ่งในวิธีดั้งเดิมในการสร้าง single sideband (SSB) AM ซึ่งเป็นวิธีการ phasing เกี่ยวข้องกับการสร้างสัญญาณโดยการสร้างการแปลง Hilbert ของสัญญาณเสียงในเครือข่ายแบบแอนะล็อกตัวต้านทาน-ตัวเก็บประจุ เนื่องจากมีความถี่บวกเท่านั้น จึงง่ายต่อการแปลงเป็นสัญญาณ RF แบบมอดูเลตที่มีแถบข้างเพียงข้างเดียว
สูตรคำจำกัดความ
นิพจน์สัญญาณวิเคราะห์คือฟังก์ชันเชิงซ้อนโฮโลมอร์ฟิคที่กำหนดไว้บนขอบเขตของระนาบครึ่งบนของความซับซ้อน ขอบเขตของระนาบครึ่งบนตรงกับการสุ่ม ดังนั้น C ถูกกำหนดโดยการทำแผนที่ fa: R → C ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ผ่านมาเมื่อ Denis Gabor เสนอในปี 1946 ให้ใช้ปรากฏการณ์นี้เพื่อศึกษาแอมพลิจูดและเฟสคงที่, สัญญาณพบการใช้งานมากมาย. ลักษณะเฉพาะของปรากฏการณ์นี้ได้รับการเน้น [Vak96] ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีเพียงการวิเคราะห์เชิงคุณภาพของสัญญาณวิเคราะห์ที่สอดคล้องกับสภาวะทางกายภาพของแอมพลิจูด เฟส และความถี่
ความสำเร็จล่าสุด
ในช่วงสองสามทศวรรษที่ผ่านมา มีความสนใจในการศึกษาสัญญาณในหลายมิติ โดยได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาที่เกิดขึ้นในสาขาต่างๆ ตั้งแต่การประมวลผลภาพ/วิดีโอ ไปจนถึงกระบวนการสั่นหลายมิติในฟิสิกส์ เช่น แผ่นดินไหว คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และ คลื่นความโน้มถ่วง เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่า เพื่อที่จะสรุปการวิเคราะห์ C (การวิเคราะห์เชิงคุณภาพ) ให้ถูกต้องในกรณีของมิติข้อมูลต่างๆ อย่างถูกต้อง เราต้องพึ่งพาโครงสร้างเกี่ยวกับพีชคณิตที่ขยายจำนวนเชิงซ้อนธรรมดาด้วยวิธีที่สะดวก โครงสร้างดังกล่าวมักจะเรียกว่าหมายเลขไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ [SKE]
สุดท้าย ควรจะเป็นไปได้ที่จะสร้างสัญญาณวิเคราะห์ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ fh: Rd → S ซึ่งมีการแสดงระบบพีชคณิตไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ทั่วไป ซึ่งจะขยายคุณสมบัติที่จำเป็นทั้งหมดโดยธรรมชาติเพื่อให้ได้แอมพลิจูดในทันทีและเฟส.
การศึกษา
เอกสารจำนวนหนึ่งมีเนื้อหาเกี่ยวกับประเด็นต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเลือกที่ถูกต้องของระบบตัวเลขไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ คำจำกัดความของการแปลงฟูเรียร์ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์และการแปลง Hilbert เศษส่วนเพื่อศึกษาแอมพลิจูดและเฟสในทันที งานนี้ส่วนใหญ่อิงตามคุณสมบัติของช่องว่างต่างๆ เช่น Cd, quaternions, Clearon algebras และ Cayley-Dixon
ต่อไปเราจะลงเฉพาะผลงานบางส่วนที่เกี่ยวกับการศึกษาสัญญาณในหลายมิติ เท่าที่เราทราบ งานแรกเกี่ยวกับวิธีการหลายตัวแปรได้มาในช่วงต้นปี 1990 ซึ่งรวมถึงงานของ Ell [Ell92] เกี่ยวกับการแปลงไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ งานของ Bulow เกี่ยวกับการวางนัยทั่วไปของวิธีการวิเคราะห์ปฏิกิริยา (สัญญาณวิเคราะห์) กับการวัดจำนวนมาก [BS01] และงานของ Felsberg และ Sommer เกี่ยวกับสัญญาณโมโนเจนิก
โอกาสต่อไป
สัญญาณไฮเปอร์คอมเพล็กซ์คาดว่าจะขยายคุณสมบัติที่มีประโยชน์ทั้งหมดที่เรามีในกรณี 1D ก่อนอื่น เราต้องสามารถแยกและสรุปแอมพลิจูดและเฟสในการวัดทันทีได้ ประการที่สอง สเปกตรัมฟูริเยร์ของสัญญาณวิเคราะห์เชิงซ้อนจะคงอยู่ที่ความถี่บวกเท่านั้น ดังนั้นเราจึงคาดว่าการแปลงฟูริเยร์ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์จะมีสเปกตรัมไฮเปอร์แวลูของตัวเอง ซึ่งจะคงอยู่ในจตุภาคบวกบางส่วนของสเปซไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ เพราะมันสำคัญมาก
ที่สาม คอนจูเกตบางส่วนของแนวคิดที่ซับซ้อนของสัญญาณวิเคราะห์เกี่ยวข้องกับการแปลงร่างของฮิลเบิร์ต และเราสามารถคาดหวังได้ว่าส่วนประกอบคอนจูเกตในสเปซไฮเปอร์คอมเพล็กซ์จะต้องเกี่ยวข้องกับการแปลงร่างของฮิลเบิร์ตด้วย และสุดท้าย อันที่จริง สัญญาณไฮเปอร์คอมเพล็กซ์จะต้องถูกกำหนดให้เป็นส่วนขยายของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิคไฮเปอร์คอมเพล็กซ์บางตัวของตัวแปรไฮเปอร์คอมเพล็กซ์หลายตัวที่กำหนดไว้บนขอบเขตของบางรูปแบบในพื้นที่ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์
เรากำลังแก้ไขปัญหาเหล่านี้ตามลำดับ ก่อนอื่น เราเริ่มต้นด้วยการดูที่สูตรอินทิกรัลฟูริเยร์ และแสดงว่าฮิลแบร์ตแปลงเป็น 1-D นั้นสัมพันธ์กับสูตรอินทิกรัลฟูริเยร์ที่แก้ไขแล้ว ข้อเท็จจริงนี้ทำให้เราสามารถกำหนดแอมพลิจูด เฟส และความถี่ในทันทีโดยไม่ต้องอ้างอิงถึงระบบจำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิค
การดัดแปลงอินทิกรัล
เราดำเนินการต่อโดยขยายสูตรอินทิกรัลฟูริเยร์ที่แก้ไขแล้วไปยังหลายมิติ และกำหนดส่วนประกอบที่เปลี่ยนเฟสที่จำเป็นทั้งหมดที่เราสามารถรวบรวมเป็นแอมพลิจูดและเฟสในทันที ประการที่สอง เราหันไปที่คำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิคของตัวแปรไฮเปอร์คอมเพล็กซ์หลายตัว หลังจาก [Sch93] ปรากฎว่าพีชคณิตเชิงสลับซับซ้อนและเชื่อมโยงที่สร้างโดยชุดกำเนิดของวงรี (e2i=−1) เป็นพื้นที่ที่เหมาะสมสำหรับสัญญาณวิเคราะห์ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ที่จะมีชีวิตอยู่ เราเรียกพีชคณิตไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ดังกล่าวว่าสเปซแชเฟอร์และแสดงว่า มันSd.
ดังนั้น ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ของสัญญาณวิเคราะห์ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิคบนขอบเขตของโพลีดิสก์ / ครึ่งบนของระนาบในพื้นที่ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์บางพื้นที่ ซึ่งเราเรียกว่าสเปซแชเฟอร์ทั่วไป และเขียนแทนด้วย Sd. จากนั้นเราสังเกตความถูกต้องของสูตรอินทิกรัล Cauchy สำหรับฟังก์ชัน Sd → Sd ซึ่งคำนวณผ่านไฮเปอร์เซอร์เฟซภายในโพลีดิสก์ใน Sd และรับการแปลง Hilbert ที่เป็นเศษส่วนที่เกี่ยวข้องกันซึ่งสัมพันธ์กับส่วนประกอบคอนจูเกตไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ ในที่สุดปรากฎว่าการแปลงฟูริเยร์ด้วยค่าในพื้นที่ Schaefers รองรับเฉพาะความถี่ที่ไม่เป็นลบ ขอบคุณบทความนี้ คุณได้เรียนรู้ว่าสัญญาณการวิเคราะห์คืออะไร
