ปริซึมหกเหลี่ยมและลักษณะเด่น

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

เรขาคณิตเชิงพื้นที่คือการศึกษาปริซึม ลักษณะสำคัญของพวกมันคือปริมาตรที่บรรจุอยู่ในนั้น พื้นที่ผิว และจำนวนขององค์ประกอบที่เป็นส่วนประกอบ ในบทความ เราจะพิจารณาคุณสมบัติทั้งหมดเหล่านี้สำหรับปริซึมหกเหลี่ยม

เรากำลังพูดถึงปริซึมไหน

ปริซึมหกเหลี่ยมเป็นรูปที่เกิดจากรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่มีด้านหกด้านและมุมหกมุม และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหกรูปที่เชื่อมรูปหกเหลี่ยมที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูปแบบเรขาคณิตเดียว

รูปตัวอย่างปริซึมนี้

รูปหกเหลี่ยมที่มีสีแดงเรียกว่าฐานของรูป แน่นอน จำนวนฐานของมันคือสอง และทั้งสองเหมือนกัน ใบหน้าสีเหลืองอมเขียวของปริซึมเรียกว่าด้าน ในรูปจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่โดยทั่วไปจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ปริซึมหกเหลี่ยมเอียงและตั้งตรงได้ ในกรณีแรก มุมระหว่างฐานกับด้านข้างไม่ตรง ส่วนที่สองจะเท่ากับ 90o นอกจากนี้ ปริซึมนี้สามารถถูกและผิดได้ หกเหลี่ยมปกติปริซึมจะต้องตรงและมีรูปหกเหลี่ยมปกติที่ฐาน ปริซึมด้านบนในรูปเป็นไปตามข้อกำหนดเหล่านี้จึงเรียกว่าถูกต้อง เพิ่มเติมในบทความ เราจะศึกษาเฉพาะคุณสมบัติของมันเท่านั้น เป็นกรณีทั่วไป

องค์ประกอบ

สำหรับปริซึมใดๆ องค์ประกอบหลักคือขอบ ใบหน้า และจุดยอด ปริซึมหกเหลี่ยมก็ไม่มีข้อยกเว้น รูปด้านบนช่วยให้คุณนับจำนวนองค์ประกอบเหล่านี้ได้ ดังนั้นเราจึงได้ 8 หน้าหรือด้าน (ฐานสองฐานและสี่เหลี่ยมด้านขนานหกด้าน) จำนวนจุดยอดคือ 12 (6 จุดยอดสำหรับแต่ละฐาน) จำนวนขอบของปริซึมหกเหลี่ยมคือ 18 (หกด้านและ 12 สำหรับฐาน).

ในยุค 1750 ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์ (นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส) ได้ก่อตั้งขึ้นสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมด ซึ่งรวมถึงปริซึม ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างตัวเลขขององค์ประกอบที่ระบุ ความสัมพันธ์นี้ดูเหมือน:

จำนวนขอบ=จำนวนหน้า + จำนวนจุดยอด - 2.

ตัวเลขด้านบนเป็นไปตามสูตรนี้

ปริซึมเส้นทแยงมุม

เส้นทแยงมุมทั้งหมดของปริซึมหกเหลี่ยมแบ่งออกเป็นสองประเภท:

• นอนคว่ำหน้า
• ที่อยู่ในเล่มทั้งหมด

ภาพด้านล่างแสดงเส้นทแยงมุมทั้งหมด

จะเห็นว่า D₁ คือเส้นทแยงมุม D₂ และ D₃ คือ เส้นทแยงมุมของปริซึมทั้งหมด D₄ และ D_{5 - เส้นทแยงมุมของฐาน}

เส้นทแยงมุมด้านข้างยาวเท่ากันง่ายต่อการคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดี ให้ a เป็นความยาวของด้านของรูปหกเหลี่ยม b เป็นความยาวของขอบด้านข้าง จากนั้นเส้นทแยงมุมจะมีความยาว:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ นั้นง่ายต่อการตรวจสอบเช่นกัน หากเราจำได้ว่ารูปหกเหลี่ยมปกติพอดีกับวงกลมที่มีรัศมี a แล้ว D_{4 คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้ นั่นคือ เราได้สูตรต่อไปนี้:}

D_4=2a.

แนวทแยง D₅ฐานค่อนข้างหายาก ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC (ดูรูป) สำหรับเขา AB=BC=a มุม ABC คือ 120^{o หากเราลดความสูงจากมุมนี้ (มันจะเป็นครึ่งแบ่งครึ่งและมัธยฐานด้วย) จากนั้นครึ่งหนึ่งของฐาน AC จะเท่ากับ:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

ด้าน AC คือเส้นทแยงมุมของ D_{5 เราจึงได้:}

D_5=AC=√3a.

ตอนนี้ยังคงหาเส้นทแยงมุม D₂และ D_{3ของปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเห็นว่ามันคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ตรงกัน จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

ดังนั้น เส้นทแยงมุมที่ใหญ่ที่สุดสำหรับค่าใด ๆ ของ a และ b คือด_2.

พื้นผิว

เพื่อทำความเข้าใจกับสิ่งที่เสี่ยง วิธีที่ง่ายที่สุดคือการพิจารณาการพัฒนาของปริซึมนี้ อยู่ในรูป

จะเห็นได้ว่าการหาพื้นที่ของทุกด้านของรูปที่พิจารณานั้นจำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมแยกกันแล้วคูณมัน โดยจำนวนเต็มที่สอดคล้องกันเท่ากับจำนวน n-gon แต่ละตัวในปริซึม และเพิ่มผลลัพธ์ หกเหลี่ยม 2, สี่เหลี่ยม 6.

สำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมเราจะได้:

S_1=ab.

จากนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างคือ:

S_2=6ab.

ในการหาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยม วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้สูตรที่สอดคล้องกันซึ่งมีลักษณะดังนี้:

S=n/4a2ctg(pi/n).

แทนที่ตัวเลข n เท่ากับ 6 ในนิพจน์นี้ เราได้พื้นที่ของหกเหลี่ยมหนึ่ง:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

นิพจน์นี้ควรคูณด้วยสองเพื่อให้ได้พื้นที่ฐานของปริซึม:

S_os=3√3a^2.

ยังคงเพิ่ม S_os และ S_{2 เพื่อให้ได้พื้นที่ผิวทั้งหมดของรูป:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

ปริซึมปริซึม

หลังสูตรสำหรับพื้นที่ฐานหกเหลี่ยม การคำนวณปริมาตรที่มีอยู่ในปริซึมที่เป็นปัญหานั้นง่ายพอ ๆ กับปลอกเปลือกลูกแพร์ ในการทำเช่นนี้คุณเพียงแค่คูณพื้นที่ของฐาน (หกเหลี่ยม) ด้วยความสูงของรูปซึ่งมีความยาวเท่ากับความยาวของขอบด้านข้าง เราได้สูตร:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

โปรดทราบว่าผลคูณของฐานและส่วนสูงให้ค่าปริมาตรของปริซึมใดๆ ก็ตาม รวมทั้งปริซึมด้วย อย่างไรก็ตาม ในกรณีหลัง การคำนวณความสูงนั้นซับซ้อน เนื่องจากจะไม่เท่ากับความยาวของซี่โครงด้านข้างอีกต่อไป สำหรับปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ค่าของปริมาตรนั้นเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว: ด้าน a และ b