ปัญหาทางเรขาคณิตทั่วไปในระนาบและปริภูมิสามมิติคือปัญหาในการกำหนดพื้นที่ผิวของรูปทรงต่างๆ ในบทความนี้เราจะนำเสนอสูตรสำหรับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติ
ปิรามิดคืออะไร
ให้คำจำกัดความเรขาคณิตที่เข้มงวดของปิรามิดกัน สมมติว่ามีรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน n และมุม n เราเลือกจุดใดก็ได้ในอวกาศซึ่งจะไม่อยู่ในระนาบของ n-gon ที่ระบุ และเชื่อมต่อกับจุดยอดแต่ละจุดของรูปหลายเหลี่ยม เราจะได้รูปที่มีปริมาตรที่เรียกว่าพีระมิด n-gonal ตัวอย่างเช่น ให้แสดงในรูปด้านล่างว่าพีระมิดห้าเหลี่ยมหน้าตาเป็นอย่างไร
สององค์ประกอบที่สำคัญของปิรามิดคือฐาน (n-gon) และด้านบน องค์ประกอบเหล่านี้เชื่อมต่อกันด้วยรูปสามเหลี่ยม n รูป ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะไม่เท่ากัน ตั้งฉากหลุดจากบนลงล่างเรียกว่าความสูงของรูป ถ้ามันตัดกับฐานในจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต (ตรงกับจุดศูนย์กลางมวลของรูปหลายเหลี่ยม) แสดงว่าปิรามิดดังกล่าวเรียกว่าเส้นตรง หากนอกเหนือจากเงื่อนไขนี้ ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ปิรามิดทั้งหมดจะเรียกว่าปกติ รูปด้านล่างแสดงให้เห็นว่าปิรามิดปกติมีลักษณะอย่างไรกับฐานรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม และหกเหลี่ยม
พื้นผิวพีระมิด
ก่อนที่จะถามเรื่องพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของพีระมิดสี่เหลี่ยมธรรมดา เราควรศึกษาแนวคิดของพื้นผิวก่อน
ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นและแสดงในรูป ปิรามิดใด ๆ ที่ประกอบขึ้นจากชุดของใบหน้าหรือด้านข้าง ด้านหนึ่งเป็นฐานและด้าน n เป็นรูปสามเหลี่ยม พื้นผิวของร่างทั้งหมดเป็นผลรวมของพื้นที่แต่ละด้าน
สะดวกที่จะศึกษาพื้นผิวจากตัวอย่างร่างที่คลี่ออก การสแกนหาพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติจะแสดงในรูปด้านล่าง
เราเห็นว่าพื้นที่ผิวของมันเท่ากับผลรวมของสี่พื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมือนกันและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
พื้นที่ทั้งหมดของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่อยู่ด้านข้างของรูปนั้นเรียกว่าพื้นที่ผิวด้านข้าง ต่อไป เราจะแสดงวิธีการคำนวณสำหรับปิรามิดสี่เหลี่ยมปกติ
พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดธรรมดารูปสี่เหลี่ยมจตุรัส
คำนวณพื้นที่ด้านข้างพื้นผิวของตัวเลขที่ระบุเรากลับไปที่การสแกนด้านบนอีกครั้ง สมมติว่าเรารู้ด้านของฐานสี่เหลี่ยมแล้ว ให้แทนด้วยสัญลักษณ์ a จะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่เหมือนกันสี่รูปแต่ละรูปมีฐานยาว a ในการคำนวณพื้นที่ทั้งหมด คุณจำเป็นต้องรู้ค่านี้สำหรับสามเหลี่ยมหนึ่งรูป เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากวิชาเรขาคณิตว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม St เท่ากับผลคูณของฐานและส่วนสูงซึ่งควรแบ่งครึ่ง นั่นคือ:
St=1/2hba.
โดยที่ hb คือความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐาน a สำหรับพีระมิด ความสูงนี้คือระยะตั้งฉาก ตอนนี้ยังคงคูณนิพจน์ผลลัพธ์ด้วย 4 เพื่อให้ได้พื้นที่ Sb ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่เป็นปัญหา:
Sb=4St=2hba.
สูตรนี้มีสองพารามิเตอร์: ระยะตั้งฉากและด้านฐาน หากรู้เงื่อนไขส่วนใหญ่แล้วจะต้องคำนวณค่าเดิมโดยรู้ปริมาณอื่น ต่อไปนี้เป็นสูตรสำหรับการคำนวณ apotema hb สำหรับสองกรณี:
- เมื่อทราบความยาวของซี่โครงด้านข้าง
- เมื่อรู้ความสูงของปิรามิด
ถ้าเราระบุความยาวของขอบด้านข้าง (ด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) ด้วยสัญลักษณ์ L ดังนั้น apotema hb ถูกกำหนดโดยสูตร:
hb=√(L2 - a2/4).
นิพจน์นี้เป็นผลจากการนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใช้กับสามเหลี่ยมพื้นผิวด้านข้าง
ถ้ารู้ความสูง h ของปิรามิด จากนั้น apotema hb สามารถคำนวณได้ดังนี้:
hb=√(h2 + a2/4).
การรับนิพจน์นี้ไม่ยากเช่นกันหากเราพิจารณาภายในพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากขา h และ a/2 และด้านตรงข้ามมุมฉาก hb.
มาดูวิธีการใช้สูตรเหล่านี้กันด้วยการแก้ปัญหาที่น่าสนใจสองข้อ
ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ผิวที่ทราบ
เป็นที่ทราบกันดีว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมปกติคือ 108 ซม.2 จำเป็นต้องคำนวณค่าความยาวของเส้นตั้งฉาก hb หากความสูงของปิรามิดเท่ากับ 7 ซม.
เขียนสูตรสำหรับพื้นที่ Sbของพื้นผิวด้านข้างผ่านความสูงกัน เรามี:
Sb=2√(h2 + a2/4) a.
ที่นี่เราแค่แทนที่สูตรอะโพเทมาที่สอดคล้องกันในนิพจน์สำหรับ Sb ลองยกกำลังสองของสมการทั้งสองข้าง:
Sb2=4a2h2 + a4.
ในการหาค่าของ a เรามาเปลี่ยนตัวแปรกัน:
a2=t;
t2+ 4h2t - Sb 2=0.
ตอนนี้เราแทนที่ค่าที่รู้จักแล้วแก้สมการกำลังสอง:
t2+ 196t - 11664=0.
t ≈ 47, 8355.
เราเขียนเฉพาะรากที่เป็นบวกของสมการนี้ จากนั้นด้านข้างของฐานปิรามิดจะเป็น:
a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.
หาความยาวของจุดยอดเพียงใช้สูตร:
hb=√(h2 + a2/4)=√(7 2+ 6, 9162/4) ≈ 7, 808 ดู
พื้นผิวด้านข้างของปิรามิด Cheops
หาค่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดอียิปต์ที่ใหญ่ที่สุด เป็นที่ทราบกันว่าที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว 230.363 เมตร ความสูงของโครงสร้างเดิมอยู่ที่ 146.5 เมตร แทนที่ตัวเลขเหล่านี้ลงในสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับ Sb เราจะได้:
Sb=2√(h2 + a2/4) a=2√(146, 52+230, 3632/4)230, 363 ≈ 85860 m2.
ค่าที่พบจะใหญ่กว่าสนามฟุตบอล 17 สนามเล็กน้อย
