เมื่อพิจารณาตัวเลขในอวกาศ ปัญหามักจะเกิดขึ้นในการกำหนดพื้นที่ผิวของพวกมัน หนึ่งในรูปดังกล่าวคือกรวย ลองพิจารณาในบทความว่าพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่มีฐานกลมและกรวยที่ถูกตัดปลายคืออะไร
โคนฐานกลม
ก่อนจะพิจารณาพื้นผิวด้านข้างของกรวย มาดูว่ามันคือรูปทรงแบบไหนและทำอย่างไรจึงจะได้มันมาโดยใช้วิธีทางเรขาคณิต
ใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC โดยที่ AB และ AC เป็นขา ลองวางสามเหลี่ยมนี้บนขา AC แล้วหมุนรอบขา AB เป็นผลให้ด้าน AC และ BC อธิบายพื้นผิวสองของรูปที่แสดงด้านล่าง
รูปที่ได้จากการหมุนเรียกว่ากรวยตรงกลม เป็นรูปทรงกลมเนื่องจากฐานเป็นวงกลม และตรงเนื่องจากเส้นตั้งฉากที่ลากจากด้านบนของรูป (จุด B) ตัดกับวงกลมตรงกลาง ความยาวของเส้นตั้งฉากนี้เรียกว่าความสูง แน่นอน มันเท่ากับขา ABความสูงมักเขียนแทนด้วยตัวอักษร h.
นอกจากความสูงแล้ว กรวยที่พิจารณาแล้วยังอธิบายลักษณะเชิงเส้นอีกสองลักษณะ:
- กำลังสร้าง, หรือ generatrix (ด้านตรงข้ามมุมฉาก BC);
- รัศมีฐาน (ขา AC).
รัศมีจะแสดงด้วยตัวอักษร r และตัวสร้างตัวสร้างโดย g จากนั้น เมื่อพิจารณาทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันที่สำคัญสำหรับตัวเลขที่กำลังพิจารณา:
g2=h2+ r2
พื้นผิวทรงกรวย
ผลรวมของ generatrices ทั้งหมดสร้างรูปกรวยหรือพื้นผิวด้านข้างของกรวย ในลักษณะที่ปรากฏเป็นการยากที่จะบอกได้ว่ารูปร่างแบนใดที่สอดคล้องกับ หลังเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องรู้เมื่อกำหนดพื้นที่ของพื้นผิวรูปกรวย เพื่อแก้ปัญหานี้ ใช้วิธีกวาด ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้: พื้นผิวถูกตัดตามเครื่องกำเนิดไฟฟ้าตามอำเภอใจแล้วจึงคลี่ออกบนระนาบ ด้วยวิธีการกวาดแบบนี้ จะเกิดรูปทรงแบนต่อไปนี้
คุณอาจเดาได้ว่าวงกลมตรงกับฐาน แต่เซกเตอร์วงกลมเป็นพื้นผิวทรงกรวยซึ่งเป็นพื้นที่ที่เราสนใจ เซกเตอร์นี้ล้อมรอบด้วยสองเจนเนอเรเตอร์และส่วนโค้ง ความยาวของส่วนหลังเท่ากับเส้นรอบวง (ความยาว) ของฐานพอดี ลักษณะเหล่านี้กำหนดคุณสมบัติทั้งหมดของเซกเตอร์วงกลมโดยเฉพาะ เราจะไม่ให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ระดับกลาง แต่ให้เขียนสูตรสุดท้ายทันที ซึ่งคุณสามารถคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยได้ สูตรคือ:
Sb=pigr
พื้นที่ของพื้นผิวรูปกรวย Sb เท่ากับผลคูณของพารามิเตอร์สองตัวและ Pi
กรวยที่ถูกตัดและพื้นผิว
ถ้าเราเอากรวยธรรมดาแล้วตัดยอดด้วยระนาบขนาน ตัวเลขที่เหลือจะเป็นทรงกรวยที่ถูกตัดทอน พื้นผิวด้านข้างถูกจำกัดด้วยฐานกลมสองอัน ลองแสดงว่ารัศมีของพวกมันเป็น R และ r เราระบุความสูงของตัวเลขโดย h และตัวสร้างโดย g ด้านล่างเป็นกระดาษตัดสำหรับรูปนี้
จะเห็นได้ว่าพื้นผิวด้านข้างไม่ใช่เซกเตอร์วงกลมอีกต่อไป แต่มีพื้นที่เล็กกว่า เนื่องจากส่วนกลางถูกตัดออก การพัฒนาถูกจำกัดไว้ที่สี่เส้น สองเส้นเป็นเส้นตรง-ส่วนกำเนิด ส่วนอีกสองส่วนเป็นส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับวงกลมที่สอดคล้องกันของฐานของกรวยที่ถูกตัดทอน
พื้นผิวด้านข้าง Sbคำนวณดังนี้:
Sb=pig(r + R)
Generatrix รัศมี และส่วนสูงสัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
g2=h2+ (R - r)2
ปัญหาความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของตัวเลข
ให้กรวยที่มีความสูง 20 ซม. และรัศมีฐาน 8 ซม. จำเป็นต้องหาความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอนซึ่งพื้นผิวด้านข้างจะมีพื้นที่เท่ากับกรวยนี้ ฟิกเกอร์ที่ตัดแล้วสร้างบนฐานเดียวกัน และรัศมีของฐานบนคือ 3 ซม.
ก่อนอื่น มาเขียนเงื่อนไขความเท่าเทียมกันของพื้นที่กรวยและรูปที่ถูกตัดทอนกัน เรามี:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
ตอนนี้ มาเขียนนิพจน์สำหรับตัวกำเนิดของแต่ละรูปกัน:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
แทนที่ g1 และ g2 ลงในสูตรสำหรับพื้นที่เท่ากันและยกกำลังสองด้านซ้ายและขวา เราจะได้:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
ที่เราได้นิพจน์สำหรับ h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
เราจะไม่ลดความเท่าเทียมกันนี้ให้ง่ายขึ้น แต่เพียงแค่แทนที่ข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไข:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14.85 cm
ดังนั้น ในการปรับพื้นที่ผิวด้านข้างของร่างให้เท่ากัน กรวยที่ถูกตัดทอนต้องมีพารามิเตอร์: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 ซม.
