โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุและวัตถุแข็งเกร็ง: สูตร ทฤษฎีบทของสไตเนอร์ ตัวอย่างการแก้ปัญหา

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

การศึกษาเชิงปริมาณของไดนามิกและจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับโมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุและวัตถุที่แข็งกระด้างเมื่อเทียบกับแกนของการหมุน เราจะพิจารณาในบทความเกี่ยวกับพารามิเตอร์ที่เรากำลังพูดถึงและยังให้สูตรในการพิจารณาด้วย

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับปริมาณทางกายภาพ

ขั้นแรก ให้กำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุและวัตถุที่แข็งกระด้าง จากนั้นจึงแสดงให้เห็นว่าควรใช้ในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติอย่างไร

ภายใต้ลักษณะทางกายภาพที่ระบุสำหรับจุดที่มีมวล m ซึ่งหมุนรอบแกนที่ระยะ r ค่าต่อไปนี้จะหมายถึง:

I=ม.r².

ตามนั้นหน่วยวัดของพารามิเตอร์ที่ศึกษาคือกิโลกรัมต่อตารางเมตร (กก.m²)

แทนที่จะเป็นจุดรอบแกน วัตถุที่มีรูปร่างซับซ้อนหมุนซึ่งมีการกระจายตัวของมวลภายในตัวมันเองตามอำเภอใจ แล้วจะกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยดังนั้น:

I=∫_m(r²dm)=ρ∫_V(r²dV).

โดยที่ ρ คือความหนาแน่นของร่างกาย คุณสามารถใช้สูตรอินทิกรัลเพื่อกำหนดค่า I สำหรับระบบการหมุนใดๆ ก็ได้

โมเมนต์ความเฉื่อยมีความหมายเดียวกันสำหรับการหมุนทุกประการกับมวลสำหรับการเคลื่อนที่เชิงแปล ตัวอย่างเช่น ทุกคนรู้ว่าการหมุนไม้ถูพื้นรอบแกนที่ลอดผ่านด้ามจับนั้นง่ายที่สุด แทนที่จะหมุนไม้ถูพื้นในแนวตั้งฉาก นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยในกรณีแรกนั้นน้อยกว่าในวินาทีมาก

ฉันให้คุณค่ากับรูปร่างที่ต่างกัน

ในการแก้ปัญหาทางฟิสิกส์เพื่อการหมุน มักจะจำเป็นต้องรู้โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุในรูปทรงเรขาคณิตโดยเฉพาะ เช่น ทรงกระบอก ลูกบอล หรือไม้เรียว หากเราใช้สูตรที่เขียนไว้ข้างต้นสำหรับ I จะเป็นเรื่องง่ายที่จะรับนิพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับเนื้อหาที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด ด้านล่างนี้คือสูตรสำหรับบางส่วน:

คัน: I=1 / 12ML²;

กระบอก: I=1 / 2MR²;

ทรงกลม: I=2 / 5MR².

ที่นี่ให้แกนหมุนซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย ในกรณีของทรงกระบอก แกนจะขนานกับตัวกำเนิดของรูป โมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับวัตถุทางเรขาคณิตอื่นๆ และตัวเลือกสำหรับตำแหน่งของแกนหมุนสามารถดูได้ในตารางที่เกี่ยวข้อง โปรดทราบว่าในการหาค่า I ตัวเลขต่างๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้พารามิเตอร์ทางเรขาคณิตเพียงตัวเดียวและมวลของร่างกาย

ทฤษฎีบทและสูตรของสไตเนอร์

โมเมนต์ความเฉื่อยสามารถกำหนดได้หากแกนของการหมุนอยู่ห่างจากร่างกายพอสมควร ในการทำเช่นนี้คุณควรทราบความยาวของส่วนนี้และค่า I_Oของร่างกายที่สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลซึ่งควรขนานกับใต้ การพิจารณา. การสร้างการเชื่อมต่อระหว่างพารามิเตอร์ I_O และค่าที่ไม่รู้จัก I ได้รับการแก้ไขในทฤษฎีบทของ Steiner โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุและวัตถุแข็งเกร็งเขียนทางคณิตศาสตร์ดังนี้:

I=I_O+ Mh².

ที่นี่ M คือมวลของร่างกาย h คือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลถึงแกนของการหมุน ซึ่งสัมพันธ์กับความจำเป็นที่จะต้องคำนวณ I นิพจน์นี้หาได้ง่ายด้วยตัวคุณเองหากคุณ ใช้สูตรอินทิกรัลสำหรับ I และคำนึงว่าทุกจุดของร่างกายอยู่ในระยะทาง r=r₀ + h.

ทฤษฎีบทของ Steiner ทำให้คำจำกัดความของ I ง่ายขึ้นอย่างมากสำหรับสถานการณ์เชิงปฏิบัติหลายๆ อย่าง ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการหา I สำหรับแท่งยาว L และมวล M เทียบกับแกนที่ผ่านปลายของมัน การใช้ทฤษฎีบท Steiner จะช่วยให้คุณเขียนได้ว่า:

I=I_O+ M(L / 2)²=1 / 12ML ²+ ML² / 4=ML² / 3.

คุณสามารถดูตารางที่เกี่ยวข้องและดูว่ามันมีสูตรนี้สำหรับแท่งบางๆ ที่มีแกนหมุนอยู่ที่ส่วนท้าย

สมการโมเมนต์

ในฟิสิกส์ของการหมุนมีสูตรที่เรียกว่าสมการของโมเมนต์ หน้าตาเป็นแบบนี้:

M=ฉันα.

ตรงนี้ M คือโมเมนต์ของแรง α คือความเร่งเชิงมุม ดังที่คุณเห็น โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุและวัตถุแข็งเกร็งและโมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กันเป็นเส้นตรง ค่า M กำหนดความเป็นไปได้ของแรง F บางส่วนเพื่อสร้างการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วยความเร่ง α ในระบบ ในการคำนวณ M ให้ใช้นิพจน์ง่าย ๆ ต่อไปนี้:

M=Fd.

โดยที่ d คือไหล่ของโมเมนต์ ซึ่งเท่ากับระยะห่างจากเวกเตอร์แรง F ถึงแกนของการหมุน ยิ่งแขน d เล็กเท่าไหร่ แรงก็จะยิ่งต้องสร้างการหมุนของระบบน้อยลงเท่านั้น

สมการของโมเมนต์ในความหมายของมันสอดคล้องกับกฎข้อที่สองของนิวตันอย่างสมบูรณ์ ในกรณีนี้ ฉันเล่นบทบาทของมวลเฉื่อย

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ลองนึกภาพระบบที่เป็นทรงกระบอกจับจ้องอยู่ที่แกนตั้งที่มีแกนแนวนอนไร้น้ำหนัก เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าแกนหมุนและแกนหลักของกระบอกสูบขนานกันและระยะห่างระหว่างกันคือ 30 ซม. มวลของกระบอกสูบคือ 1 กก. และรัศมีของมันคือ 5 ซม. แรง 10 ยังไม่มีข้อความสัมผัสกับวิถีของการหมุนกระทำบนร่างเวกเตอร์ซึ่งผ่านแกนหลักของทรงกระบอก จำเป็นต้องกำหนดความเร่งเชิงมุมของรูปซึ่งแรงนี้จะทำให้เกิด

อันดับแรก มาคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอก I กัน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้ทฤษฎีบท Steiner เรามี:

I=I_O+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210.05² + 10, 3²=0.09125 กก.m²

ก่อนใช้สมการโมเมนต์ คุณต้องทำกำหนดโมเมนต์ของแรง M ในกรณีนี้ เรามี:

M=Fd=100, 3=3 Nm.

ตอนนี้คุณสามารถกำหนดความเร่งได้:

α=M/I=3/0.09125 ≈ 32.9 rad/s².

ความเร่งเชิงมุมที่คำนวณได้บ่งชี้ว่าทุก ๆ วินาทีความเร็วของกระบอกสูบจะเพิ่มขึ้น 5.2 รอบต่อวินาที