ในการค้นหาฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มและตัวแปร จำเป็นต้องศึกษาคุณลักษณะทั้งหมดของสาขาความรู้นี้ มีหลายวิธีในการค้นหาค่าที่เป็นปัญหา รวมถึงการเปลี่ยนตัวแปรและสร้างช่วงเวลา การกระจายเป็นแนวคิดที่ยึดตามองค์ประกอบต่างๆ เช่น การกระจาย การแปรผัน อย่างไรก็ตาม พวกมันแสดงลักษณะเฉพาะระดับของแอมพลิจูดการกระเจิง
ฟังก์ชันที่สำคัญกว่าของตัวแปรสุ่มคือหน้าที่ที่เกี่ยวข้องและเป็นอิสระและกระจายอย่างเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น ถ้า X1 คือน้ำหนักของบุคคลที่สุ่มเลือกจากประชากรชาย X2 คือน้ำหนักของอีกกลุ่มหนึ่ง … และ Xn คือน้ำหนักของบุคคลอีกคนหนึ่งจากประชากรชาย เราจำเป็นต้องรู้ว่าฟังก์ชันสุ่มเป็นอย่างไร X ถูกแจกจ่าย ในกรณีนี้ จะใช้ทฤษฎีบทคลาสสิกที่เรียกว่าทฤษฎีขีดจำกัดกลาง ช่วยให้คุณแสดงว่าสำหรับฟังก์ชันขนาดใหญ่นั้นเป็นไปตามการแจกแจงมาตรฐาน
ฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มหนึ่งตัว
The Central Limit Theorem ใช้สำหรับประมาณค่าที่ไม่ต่อเนื่องที่กำลังพิจารณา เช่น ทวินามและปัวซองประการแรกพิจารณาฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มในค่าง่าย ๆ ของตัวแปรเดียว ตัวอย่างเช่น ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวเอง ในกรณีนี้ เราจะสำรวจวิธีค้นหาฟังก์ชันความหนาแน่นของ Y โดยใช้สองวิธีที่แตกต่างกัน ได้แก่ วิธีฟังก์ชันการกระจายและการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ขั้นแรกให้พิจารณาเฉพาะค่าหนึ่งต่อหนึ่งเท่านั้น จากนั้นคุณต้องปรับเปลี่ยนเทคนิคในการเปลี่ยนตัวแปรเพื่อหาความน่าจะเป็น สุดท้ายนี้ เราต้องเรียนรู้ว่าฟังก์ชันการกระจายสะสมแบบผกผันสามารถช่วยจำลองตัวเลขสุ่มที่เป็นไปตามรูปแบบการเรียงตามลำดับได้อย่างไร
วิธีการแจกแจงค่าที่พิจารณา
วิธีการของฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มถูกนำมาใช้เพื่อค้นหาความหนาแน่นของมัน เมื่อใช้วิธีนี้จะคำนวณค่าสะสม จากนั้น เมื่อแยกความแตกต่าง คุณจะได้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ตอนนี้ เรามีวิธีฟังก์ชันการกระจายแล้ว เราสามารถดูตัวอย่างเพิ่มเติมได้ ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่แน่นอน
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ x2 คืออะไร หากคุณดูหรือสร้างกราฟฟังก์ชัน (บนและขวา) y \u003d x2 คุณจะสังเกตได้ว่ามันคือค่า X ที่เพิ่มขึ้นและ 0 <y<1 ตอนนี้ คุณต้องใช้วิธีการที่พิจารณาเพื่อหา Y ก่อนอื่น พบฟังก์ชันการแจกแจงสะสม คุณแค่ต้องแยกความแตกต่างเพื่อให้ได้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น เมื่อทำเช่นนั้น เราได้: 0<y<1ใช้วิธีการกระจายสำเร็จเพื่อค้นหา Y เมื่อ Y เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นของ X อย่างไรก็ตาม f(y) รวมเป็น 1 ส่วน y
ในตัวอย่างที่แล้ว ใช้ความระมัดระวังอย่างยิ่งในการจัดทำดัชนีฟังก์ชันสะสมและความหนาแน่นของความน่าจะเป็นด้วย X หรือ Y เพื่อระบุว่าตัวแปรสุ่มนั้นเป็นของตัวแปรสุ่มใด ตัวอย่างเช่น เมื่อค้นหาฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของ Y เราได้ X หากคุณต้องการค้นหาตัวแปรสุ่ม X และความหนาแน่นของตัวแปร คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่าง
เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร
ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่กำหนดโดยฟังก์ชันการแจกแจงที่มีตัวส่วนร่วม f (x) ในกรณีนี้ หากคุณใส่ค่าของ y ใน X=v (Y) คุณก็จะได้ค่าของ x เช่น v (y) ตอนนี้ เราต้องได้ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง Y โดยที่ความเท่าเทียมกันที่หนึ่งและที่สองเกิดขึ้นจากคำจำกัดความของ Y สะสม ความเท่าเทียมกันที่สามถือไว้เพราะเป็นส่วนหนึ่งของฟังก์ชันที่ u (X) ≦ y คือ จริงด้วยว่า X ≦ v (Y) และอันสุดท้ายทำขึ้นเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นในตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ตอนนี้เราต้องหาอนุพันธ์ของ FY (y) ซึ่งเป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของ Y เพื่อให้ได้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น Y
ลักษณะทั่วไปสำหรับฟังก์ชันลด
ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องโดยกำหนด f (x) ร่วมกันบน c1<x<c2 และให้ Y=u (X) เป็นฟังก์ชันลดลงของ X โดยมีค่าผกผัน X=v (Y) เนื่องจากฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่องและลดลง จึงมีฟังก์ชันผกผัน X=v (Y)
เพื่อแก้ไขปัญหานี้ คุณสามารถรวบรวมข้อมูลเชิงปริมาณและใช้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมเชิงประจักษ์ ด้วยข้อมูลนี้และน่าสนใจ คุณจะต้องรวมตัวอย่างค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ข้อมูลสื่อ และอื่นๆ
ในทำนองเดียวกัน แบบจำลองความน่าจะเป็นที่ค่อนข้างง่ายก็สามารถให้ผลลัพธ์จำนวนมากได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น หากคุณพลิกเหรียญ 332 ครั้ง จากนั้นจำนวนผลลัพธ์ที่ได้จากการพลิกกลับนั้นมากกว่าของ Google (10100) ซึ่งเป็นตัวเลข แต่สูงกว่าอนุภาคมูลฐานในจักรวาลที่รู้จักไม่น้อยกว่า 100 ล้านล้านเท่า ไม่สนใจการวิเคราะห์ที่ให้คำตอบสำหรับทุกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ จำเป็นต้องมีแนวคิดที่ง่ายกว่า เช่น จำนวนหัว หรือจังหวะที่ยาวที่สุดของหาง เพื่อเน้นประเด็นที่น่าสนใจจึงยอมรับผลเฉพาะ คำจำกัดความในกรณีนี้มีดังนี้: ตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชันจริงที่มีการเว้นวรรคความน่าจะเป็น
ช่วง S ของตัวแปรสุ่มบางครั้งเรียกว่าพื้นที่สถานะ ดังนั้น หาก X เป็นค่าที่เป็นปัญหา ดังนั้น N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc และอื่นๆ ตัวสุดท้ายที่ปัดเศษ X เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด เรียกว่าฟังก์ชันพื้น
ฟังก์ชั่นการกระจาย
เมื่อกำหนดฟังก์ชันการกระจายที่น่าสนใจสำหรับตัวแปรสุ่ม x แล้ว คำถามมักจะกลายเป็น: "โอกาสที่ X จะตกลงไปในเซตย่อยของค่า B คืออะไร" ตัวอย่างเช่น B={เลขคี่}, B={มากกว่า 1} หรือ B={ระหว่าง 2 ถึง 7} เพื่อระบุผลลัพธ์เหล่านั้นที่มี X ค่าตัวแปรสุ่มในเซตย่อย A ดังนั้น ในตัวอย่างข้างต้น คุณสามารถอธิบายเหตุการณ์ได้ดังนี้
{X เป็นเลขคี่}, {X มากกว่า 1}={X> 1}, {X อยู่ระหว่าง 2 ถึง 7}={2 <X <7} เพื่อให้ตรงกับสามตัวเลือกด้านบนสำหรับเซตย่อย B คุณสมบัติหลายอย่างของปริมาณสุ่มไม่เกี่ยวข้องกับ X ใดโดยเฉพาะ แต่ขึ้นอยู่กับว่า X จัดสรรค่าอย่างไร สิ่งนี้นำไปสู่คำจำกัดความที่ฟังดูเหมือน: ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม x เป็นแบบสะสมและถูกกำหนดโดยการสังเกตเชิงปริมาณ
ตัวแปรสุ่มและฟังก์ชันการกระจาย
ดังนั้น คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม x จะใช้ค่าในช่วงนั้นโดยการลบ ลองนึกถึงการรวมหรือยกเว้นปลายทาง
เราจะเรียกตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องถ้ามันมีพื้นที่สถานะจำกัดหรือนับไม่ถ้วน ดังนั้น X คือจำนวนหัวในการพลิกเหรียญเอนเอียงสามครั้งโดยอิสระ ซึ่งเพิ่มขึ้นด้วยความน่าจะเป็น p เราต้องหาฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง FX สำหรับ X ให้ X เป็นจำนวนพีคในชุดไพ่สามใบ จากนั้น Y=X3 ผ่าน FX FX เริ่มต้นที่ 0 สิ้นสุดที่ 1 และไม่ลดลงเมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ฟังก์ชันการกระจาย FX สะสมของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X เป็นค่าคงที่ ยกเว้นการกระโดด เมื่อกระโดด FX จะต่อเนื่อง พิสูจน์ข้อความเกี่ยวกับความถูกต้องความต่อเนื่องของฟังก์ชันการแจกแจงจากคุณสมบัติความน่าจะเป็นเป็นไปได้โดยใช้คำจำกัดความ ดูเหมือนว่า: ตัวแปรสุ่มคงที่มี FX สะสมที่หาอนุพันธ์ได้
เพื่อแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร เราสามารถยกตัวอย่าง: เป้าหมายที่มีรัศมีหน่วย น่าจะเป็น ลูกดอกจะกระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วพื้นที่ที่กำหนด สำหรับ λ> 0 บางส่วน ดังนั้น ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องจึงเพิ่มขึ้นอย่างราบรื่น FX มีคุณสมบัติของฟังก์ชันการกระจาย
ชายคนหนึ่งรอที่ป้ายรถเมล์จนกว่ารถจะมาถึง เมื่อตัดสินใจด้วยตัวเองว่าจะปฏิเสธเมื่อรอถึง 20 นาที ที่นี่จำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันการกระจายสะสมของ T เวลาที่บุคคลจะยังคงอยู่ที่สถานีขนส่งหรือจะไม่จากไป แม้ว่าจะมีการกำหนดฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับตัวแปรสุ่มแต่ละตัว ในทำนองเดียวกัน คุณลักษณะอื่นๆ จะถูกใช้ค่อนข้างบ่อย: มวลสำหรับตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องและฟังก์ชันความหนาแน่นของการกระจายของตัวแปรสุ่ม โดยปกติ ค่าจะถูกส่งออกโดยใช้ค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่านี้
ฟังก์ชั่นมวล
ค่าเหล่านี้พิจารณาโดยคุณสมบัติต่อไปนี้ซึ่งมีอักขระทั่วไป (มวล) ประการแรกขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าความน่าจะเป็นไม่เป็นลบ ลำดับที่สองตามมาจากการสังเกตว่าเซตสำหรับ x=2S ทั้งหมด ซึ่งเป็นสเตจสเปซสำหรับ X ก่อตัวเป็นพาร์ทิชันของความน่าจะเป็นของอิสระของ X ตัวอย่าง: การโยนเหรียญแบบเอนเอียงซึ่งผลลัพธ์ไม่ขึ้นต่อกัน ทำต่อไปได้การกระทำบางอย่างจนกว่าคุณจะได้รับการม้วนหัว ให้ X แทนตัวแปรสุ่มที่ให้จำนวนก้อยอยู่ข้างหน้าส่วนหัวแรก และ p หมายถึงความน่าจะเป็นในการดำเนินการใดๆ
ดังนั้น ฟังก์ชันความน่าจะเป็นโดยรวมมีลักษณะเฉพาะดังต่อไปนี้ เนื่องจากเงื่อนไขต่างๆ อยู่ในลำดับตัวเลข X จึงเรียกว่าตัวแปรสุ่มทางเรขาคณิต รูปแบบทางเรขาคณิต c, cr, cr2,.,,, crn มีผลรวม ดังนั้น sn มีขีดจำกัดเท่ากับ n 1 ในกรณีนี้ ผลรวมอนันต์คือขีดจำกัด
ฟังก์ชันมวลด้านบนสร้างลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน ดังนั้น จำนวนธรรมชาติ a และ b ผลต่างของค่าในฟังก์ชันการกระจายเท่ากับค่าของฟังก์ชันมวล
ค่าความหนาแน่นภายใต้การพิจารณามีคำจำกัดความ: X คือตัวแปรสุ่มที่มีการกระจาย FX มีอนุพันธ์ FX ที่น่าพอใจ Z xFX (x)=fX (t) dt-1 เรียกว่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น และ X เรียกว่าตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ในทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส ฟังก์ชันความหนาแน่นคืออนุพันธ์ของการแจกแจง คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นได้โดยการคำนวณปริพันธ์ที่แน่นอน
เนื่องจากข้อมูลถูกรวบรวมจากการสังเกตหลายครั้ง จึงต้องพิจารณาตัวแปรสุ่มมากกว่าหนึ่งตัวในแต่ละครั้งเพื่อสร้างแบบจำลองขั้นตอนการทดลอง ดังนั้นชุดของค่าเหล่านี้และการแจกแจงร่วมกันสำหรับตัวแปรทั้งสอง X1 และ X2 หมายถึงการดูเหตุการณ์ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง จะมีการกำหนดฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็นร่วม สำหรับการต่อเนื่อง จะพิจารณา fX1, X2 โดยที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นร่วมเป็นที่น่าพอใจ
ตัวแปรสุ่มอิสระ
สองตัวแปรสุ่ม X1 และ X2 เป็นอิสระจากกัน ถ้าสองเหตุการณ์ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเหล่านั้นเหมือนกัน กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์สองเหตุการณ์ {X1 2 B1} และ {X2 2 B2} เกิดขึ้นพร้อมกันคือ y เท่ากับผลคูณของตัวแปรด้านบน ซึ่งเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์เกิดขึ้นแยกกัน สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องกัน มีฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็นร่วม ซึ่งเป็นผลคูณของปริมาตรไอออนที่จำกัด สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่ไม่ขึ้นต่อกัน ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นร่วมเป็นผลคูณของค่าความหนาแน่นส่วนเพิ่ม สุดท้าย เราพิจารณา n การสังเกตอิสระ x1, x2,.,,, xn ที่เกิดจากความหนาแน่นหรือฟังก์ชันมวลที่ไม่ทราบค่า f. ตัวอย่างเช่น พารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในฟังก์ชันสำหรับตัวแปรสุ่มเลขชี้กำลังที่อธิบายเวลารอรถบัส
การเลียนแบบตัวแปรสุ่ม
เป้าหมายหลักของสาขาทฤษฎีนี้คือการจัดหาเครื่องมือที่จำเป็นในการพัฒนาขั้นตอนการอนุมานตามหลักวิทยาศาสตร์ทางสถิติที่ดี ดังนั้น กรณีการใช้งานที่สำคัญมากสำหรับซอฟต์แวร์คือความสามารถในการสร้างข้อมูลเทียมเพื่อเลียนแบบข้อมูลจริง ทำให้สามารถทดสอบและปรับปรุงวิธีการวิเคราะห์ก่อนนำไปใช้ในฐานข้อมูลจริงได้ สิ่งนี้จำเป็นในการสำรวจคุณสมบัติของข้อมูลผ่านการสร้างแบบจำลอง สำหรับกลุ่มตัวแปรสุ่มที่ใช้กันทั่วไปจำนวนมาก R จัดเตรียมคำสั่งสำหรับการสร้างตัวแปรเหล่านี้ สำหรับสถานการณ์อื่นๆ จำเป็นต้องใช้วิธีการในการสร้างแบบจำลองลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงร่วมกัน
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและรูปแบบคำสั่ง คำสั่งตัวอย่างใช้เพื่อสร้างตัวอย่างสุ่มแบบง่ายและแบ่งชั้น ดังนั้น หากป้อนลำดับ x ตัวอย่าง (x, 40) จะเลือกระเบียน 40 รายการจาก x เพื่อให้ตัวเลือกขนาด 40 ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน สิ่งนี้ใช้คำสั่ง R เริ่มต้นสำหรับการดึงข้อมูลโดยไม่มีการแทนที่ นอกจากนี้ยังสามารถใช้เพื่อสร้างแบบจำลองตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ในการทำเช่นนี้ คุณต้องจัดเตรียมพื้นที่สถานะในเวกเตอร์ x และฟังก์ชันมวล f การเรียกเพื่อแทนที่=TRUE บ่งชี้ว่าการสุ่มตัวอย่างเกิดขึ้นพร้อมกับการแทนที่ จากนั้น ในการให้ตัวอย่างตัวแปรสุ่มอิสระ n ตัวที่มีฟังก์ชันมวลร่วม f จะใช้ตัวอย่าง (x, n, แทนที่=TRUE, prob=f)
กำหนดว่า 1 คือค่าที่น้อยที่สุดที่แสดง และ 4 คือค่าที่มากที่สุด หากละเว้นคำสั่ง prob=f ตัวอย่างจะสุ่มตัวอย่างอย่างสม่ำเสมอจากค่าในเวกเตอร์ x คุณสามารถตรวจสอบการจำลองกับฟังก์ชันมวลที่สร้างข้อมูลได้โดยดูที่เครื่องหมายเท่ากับ==และคำนวณการสังเกตใหม่ที่ใช้ค่า x ทุกค่าที่เป็นไปได้ คุณสามารถสร้างตาราง ทำซ้ำสำหรับ 1,000 และเปรียบเทียบการจำลองกับฟังก์ชันมวลที่เกี่ยวข้อง
ภาพประกอบการแปลงความน่าจะเป็น
แรกจำลองฟังก์ชันการกระจายที่เป็นเนื้อเดียวกันของตัวแปรสุ่ม u1, u2,.,,, un บนช่วง [0, 1] ประมาณ 10% ของตัวเลขควรอยู่ภายใน [0, 3, 0, 4] ซึ่งสอดคล้องกับ 10% ของการจำลองในช่วงเวลา [0, 28, 0, 38] สำหรับตัวแปรสุ่มที่แสดงฟังก์ชันการกระจาย FX ในทำนองเดียวกัน ตัวเลขสุ่มประมาณ 10% ควรอยู่ในช่วง [0, 7, 0, 8] ซึ่งสอดคล้องกับการจำลอง 10% ในช่วงเวลา [0, 96, 1, 51] ของตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันการกระจาย FX ค่าเหล่านี้บนแกน x สามารถหาได้โดยหาค่าผกผันจาก FX ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่มีความหนาแน่น fX เป็นบวกทุกที่ในโดเมน ฟังก์ชันการแจกแจงจะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ในกรณีนี้ FX มีฟังก์ชันผกผัน FX-1 ที่เรียกว่าฟังก์ชันควอนไทล์ FX (x) u เฉพาะเมื่อ x FX-1 (u) การแปลงความน่าจะเป็นตามมาจากการวิเคราะห์ตัวแปรสุ่ม U=FX (X).
FX มีช่วง 0 ถึง 1 ต้องไม่ต่ำกว่า 0 หรือสูงกว่า 1 สำหรับค่าของ u ระหว่าง 0 ถึง 1 หาก U สามารถจำลองได้ ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจง FX จะต้องเป็น จำลองผ่านฟังก์ชันควอนไทล์ หาอนุพันธ์เพื่อดูว่าความหนาแน่น u แปรผันภายใน 1 เนื่องจากตัวแปรสุ่ม U มีความหนาแน่นคงที่ตลอดช่วงค่าที่เป็นไปได้ จึงเรียกว่าสม่ำเสมอในช่วงเวลา [0, 1] มันถูกจำลองใน R ด้วยคำสั่ง runif เอกลักษณ์เรียกว่าการแปลงความน่าจะเป็น คุณสามารถดูว่ามันทำงานอย่างไรในตัวอย่างกระดานปาเป้า X ระหว่าง 0 ถึง 1, ฟังก์ชันการกระจาย u=FX (x)=x2 และด้วยเหตุนี้ฟังก์ชันควอนไทล์ x=FX-1 (u) เป็นไปได้ที่จะจำลองการสังเกตระยะห่างจากศูนย์กลางของแผงโผโดยอิสระ และสร้างตัวแปรสุ่มที่เหมือนกัน U1, U2,.,, อุ. ฟังก์ชันการกระจายและฟังก์ชันเชิงประจักษ์อิงจากการจำลองการกระจายของกระดานปาเป้า 100 แบบ สำหรับตัวแปรสุ่มเลขชี้กำลัง น่าจะเป็น u=FX (x)=1 - exp (- x) และด้วยเหตุนี้ x=- 1 ln (1 - u) บางครั้งตรรกะก็ประกอบด้วยคำสั่งที่เทียบเท่ากัน ในกรณีนี้ คุณต้องเชื่อมอาร์กิวเมนต์สองส่วนเข้าด้วยกัน เอกลักษณ์ของทางแยกจะคล้ายกันสำหรับทั้ง 2 {S i i} S แทนที่จะเป็นค่าบางอย่าง ยูเนี่ยน Ci เท่ากับพื้นที่ของรัฐ S และแต่ละคู่จะไม่เกิดร่วมกัน เนื่องจาก Bi - แบ่งออกเป็นสามสัจพจน์ การตรวจสอบแต่ละครั้งขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็น P สำหรับเซตย่อยใดๆ การใช้ข้อมูลประจำตัวเพื่อให้แน่ใจว่าคำตอบไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ารวมจุดสิ้นสุดช่วงเวลาหรือไม่
ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและตัวแปร
ในแต่ละผลลัพธ์ในทุกเหตุการณ์ ท้ายที่สุดแล้วจะใช้คุณสมบัติที่สองของความต่อเนื่องของความน่าจะเป็น ซึ่งถือเป็นสัจธรรม กฎการแจกแจงฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มที่นี่แสดงให้เห็นว่าแต่ละตัวมีคำตอบและคำตอบของตัวเอง