หัวข้อ "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์" ศึกษาในหลักสูตรทั่วไปของพีชคณิตในโรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 หัวข้อนี้มีความสำคัญสำหรับการศึกษาเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของอนุกรมจำนวน ในบทความนี้ เราจะมาทำความรู้จักกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความแตกต่าง และงานทั่วไปที่เด็กนักเรียนอาจต้องเผชิญ
แนวคิดของความก้าวหน้าทางพีชคณิต
ความก้าวหน้าของตัวเลขคือลำดับของตัวเลขซึ่งแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาสามารถหาได้จากองค์ประกอบก่อนหน้า หากใช้กฎทางคณิตศาสตร์บางข้อ ความก้าวหน้าอย่างง่ายมีสองประเภท: เรขาคณิตและเลขคณิตซึ่งเรียกอีกอย่างว่าพีชคณิต มาดูรายละเอียดกันดีกว่า
ลองนึกภาพจำนวนตรรกยะ แทนด้วยสัญลักษณ์ a1 โดยดัชนีจะระบุเลขลำดับในชุดที่กำลังพิจารณา มาบวกตัวเลขอื่นใน a1 แทนกัน d แล้วที่สององค์ประกอบของชุดข้อมูลสามารถสะท้อนได้ดังนี้: a2=a1+d ทีนี้บวก d อีกครั้ง จะได้: a3=a2+d. จากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์นี้ต่อ คุณจะได้ตัวเลขทั้งชุด ซึ่งจะเรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ดังที่เข้าใจได้จากด้านบน ในการหาองค์ประกอบที่ n ของลำดับนี้ คุณต้องใช้สูตร: a =a1+ (n -1)d. อันที่จริง การแทนที่ n=1 ในนิพจน์ เราจะได้ a1=a1 ถ้า n=2 ดังนั้นสูตรจะมีความหมายว่า: a2=a1 + 1d และอื่นๆ
ตัวอย่างเช่น หากความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 5 และ a1=1 แสดงว่าชุดตัวเลขของประเภทที่เป็นปัญหาจะมีลักษณะดังนี้: 1, 6, 11, 16, 21, … อย่างที่คุณเห็น แต่ละเทอมมีค่ามากกว่าเทอมก่อนหน้า 5
สูตรความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
จากคำจำกัดความข้างต้นของชุดตัวเลขที่พิจารณาแล้ว คุณต้องรู้ตัวเลขสองตัวต่อไปนี้เพื่อระบุตัวเลข: a1 และ d หลังเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้านี้ โดยจะกำหนดพฤติกรรมของซีรีส์ทั้งหมดโดยเฉพาะ อันที่จริง ถ้า d เป็นบวก อนุกรมตัวเลขจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ในทางกลับกัน ในกรณีของลบ d ตัวเลขในชุดจะเพิ่มขึ้นเฉพาะโมดูโล ในขณะที่ค่าสัมบูรณ์จะลดลงเมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น n
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ต่างกันอย่างไร? พิจารณาสองสูตรหลักที่ใช้ในการคำนวณค่านี้:
- d=an+1-a สูตรนี้เป็นไปตามคำจำกัดความของชุดตัวเลขที่เป็นปัญหาโดยตรง
- d=(-a1+a)/(n-1) นิพจน์นี้ได้มาจากการแสดง d จากสูตรที่กำหนด ในวรรคก่อนของบทความ โปรดทราบว่านิพจน์นี้จะไม่แน่นอน (0/0) ถ้า n=1 เนื่องจากจำเป็นต้องรู้อย่างน้อย 2 องค์ประกอบของซีรีส์เพื่อหาความแตกต่าง
สูตรพื้นฐานสองสูตรนี้ใช้เพื่อแก้ปัญหาใดๆ ในการค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า อย่างไรก็ตาม มีอีกสูตรหนึ่งที่คุณต้องรู้ด้วย
ผลรวมขององค์ประกอบแรก
สูตรที่สามารถใช้ในการหาผลรวมของสมาชิกจำนวนเท่าใดก็ได้ของความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิตตามหลักฐานทางประวัติศาสตร์ ได้รับมาครั้งแรกโดย "เจ้าชาย" แห่งคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 18 คาร์ล เกาส์ นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันที่อายุยังน้อยในชั้นประถมศึกษาของโรงเรียนในหมู่บ้านสังเกตว่าในการเพิ่มจำนวนธรรมชาติในชุดตั้งแต่ 1 ถึง 100 คุณต้องรวมองค์ประกอบแรกและองค์ประกอบสุดท้ายก่อน (ค่าผลลัพธ์จะเท่ากัน ผลรวมขององค์ประกอบสุดท้ายและองค์ประกอบที่สอง องค์ประกอบสุดท้ายและองค์ประกอบที่สาม เป็นต้น) จากนั้นจำนวนนี้ควรคูณด้วยจำนวนของจำนวนเหล่านี้ นั่นคือ 50
สูตรที่สะท้อนผลลัพธ์ที่ระบุไว้ในตัวอย่างหนึ่งๆ สามารถสรุปให้เป็นกรณีทั่วไปได้ มันจะมีลักษณะดังนี้: S =n/2(a +a1) โปรดทราบว่าในการค้นหาค่าที่ระบุ ไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับความแตกต่าง dหากทราบความคืบหน้าสองคำ (a และ a1)
ตัวอย่าง 1. กำหนดความแตกต่าง รู้สองเทอมของซีรีส์ a1 และ an
มาดูวิธีการใช้สูตรที่กล่าวถึงข้างต้นในบทความกัน มายกตัวอย่างง่ายๆ กัน: ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นั้นไม่เป็นที่รู้จัก มีความจำเป็นต้องกำหนดว่ามันจะเท่ากับเท่าใดถ้า a13=-5, 6 และ a1 =-12, 1.
เนื่องจากเราทราบค่าของสององค์ประกอบของลำดับตัวเลข และหนึ่งในนั้นคือตัวเลขแรก เราจึงสามารถใช้สูตรหมายเลข 2 เพื่อกำหนดความแตกต่าง d เรามี: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0 54167 ในนิพจน์ เราใช้ค่า n=13 เนื่องจากสมาชิกที่มีหมายเลขซีเรียลนี้คือ รู้จัก
ผลต่างที่ออกมาบ่งชี้ว่าความก้าวหน้านั้นเพิ่มขึ้น แม้ว่าองค์ประกอบที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหาจะมีค่าเป็นลบก็ตาม จะเห็นได้ว่า a13>a1 แม้ว่า |a13|<|a 1 |.
ตัวอย่าง 2. สมาชิกที่เป็นบวกของความก้าวหน้าในตัวอย่าง 1
ลองใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับในตัวอย่างก่อนหน้านี้เพื่อแก้ปัญหาใหม่ มีสูตรดังนี้: องค์ประกอบของความก้าวหน้าในตัวอย่างที่ 1 เริ่มรับค่าบวกจากลำดับใด
ดังที่แสดง ความก้าวหน้าที่ a1=-12, 1 และ d=0 54167 กำลังเพิ่มขึ้น ดังนั้นจากตัวเลขบางตัว ตัวเลขจะเริ่มบวกเท่านั้น ค่านิยม ในการหาจำนวน n นี้ เราต้องแก้อสมการง่ายๆ ซึ่งก็คือเขียนทางคณิตศาสตร์ดังนี้: a >0 หรือโดยใช้สูตรที่เหมาะสม เราจะเขียนอสมการใหม่: a1 + (n-1)d>0 จำเป็นต้องค้นหา n ที่ไม่รู้จัก ให้แสดงออกมา: n>-1a1/d + 1 ตอนนี้ยังคงแทนที่ค่าที่ทราบของส่วนต่างและสมาชิกตัวแรก ของลำดับ เราได้รับ: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 หรือ n>23, 338 เนื่องจาก n รับได้เฉพาะค่าจำนวนเต็มเท่านั้น จึงเกิดความไม่เท่าเทียมกันตามผลลัพธ์ที่สมาชิกของชุดข้อมูลจะ มีจำนวนมากกว่า 23 จะเป็นบวก
ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยใช้สูตรด้านบนเพื่อคำนวณองค์ประกอบที่ 23 และ 24 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ เรามี: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (ตัวเลขติดลบ); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (ค่าบวก) ดังนั้น ผลลัพธ์ที่ได้จึงถูกต้อง: เริ่มตั้งแต่ n=24 สมาชิกทั้งหมดในชุดตัวเลขจะมากกว่าศูนย์
ตัวอย่าง 3. จะใส่กี่ท่อนก็ได้
เรามาพูดถึงปัญหาที่น่าสงสัยกันเถอะ: ระหว่างการตัดไม้ ได้มีการตัดสินใจวางท่อนซุงที่ตัดแล้วซ้อนกันดังแสดงในรูปด้านล่าง วิธีนี้สามารถซ้อนบันทึกได้กี่ท่อน โดยรู้ว่าจะเข้าได้ทั้งหมด 10 แถว
ในลักษณะของการซ้อนบันทึก คุณจะสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง: แต่ละแถวที่ตามมาจะมีบันทึกที่น้อยกว่าบันทึกก่อนหน้าหนึ่งรายการ นั่นคือ มีความก้าวหน้าทางพีชคณิต ซึ่งความแตกต่างคือ d=1 สมมติว่าจำนวนบันทึกในแต่ละแถวเป็นสมาชิกของความก้าวหน้านี้และให้ด้วยว่า a1=1 (มีบันทึกเพียงอันเดียวเท่านั้นที่จะอยู่ด้านบนสุด) เราจะพบตัวเลข a10 เรามี: a10=1 + 1(10-1)=10 นั่นคือ ในแถวที่ 10 ซึ่งอยู่บนพื้น จะมีท่อนซุง 10 ท่อน
จำนวนทั้งหมดของการก่อสร้าง "พีระมิด" นี้สามารถหาได้จากสูตรเกาส์ เราได้: S10=10/2(10+1)=55 บันทึก