คณิตศาสตร์มีต้นกำเนิดมาจากสมัยโบราณ ต้องขอบคุณเธอ สถาปัตยกรรม การก่อสร้าง และวิทยาศาสตร์การทหารทำให้เกิดการพัฒนารอบใหม่ ความสำเร็จที่ได้รับด้วยความช่วยเหลือของคณิตศาสตร์นำไปสู่การเคลื่อนไหวที่ก้าวหน้า จนถึงทุกวันนี้ คณิตศาสตร์ยังคงเป็นศาสตร์หลักที่พบในสาขาอื่นๆ ทั้งหมด
เพื่อให้ได้รับการศึกษา เด็กตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 จะเริ่มค่อยๆ รวมเข้ากับสภาพแวดล้อมนี้ เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะเข้าใจคณิตศาสตร์เนื่องจากเกิดขึ้นกับทุกคนตลอดชีวิตของเขาในระดับหนึ่งหรือระดับอื่น บทความนี้จะวิเคราะห์องค์ประกอบหลักอย่างหนึ่ง - การค้นหาและการใช้อนุพันธ์ ไม่ใช่ทุกคนที่สามารถจินตนาการได้ว่าแนวคิดนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายเพียงใด พิจารณาการประยุกต์ใช้อนุพันธ์มากกว่า 10 รายการในบางสาขาหรือวิทยาศาสตร์
การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชัน
อนุพันธ์มีขีดจำกัดอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อเลขชี้กำลังของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ อนุพันธ์เป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการศึกษาฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อตรวจสอบการเพิ่มขึ้นและลดลงของส่วนหลัง สุดโต่ง ความนูน และความเว้า แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์รวมอยู่ในหลักสูตรภาคบังคับสำหรับนักศึกษาชั้นปีที่ 1 และ 2 ของมหาวิทยาลัยคณิตศาสตร์แล้ว
ขอบเขตและฟังก์ชันศูนย์
ขั้นตอนแรกของการศึกษากราฟเริ่มต้นด้วยการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ ในบางกรณีที่หายากกว่านั้น - ค่า โดเมนของคำจำกัดความถูกกำหนดตามแกน abscissa กล่าวคือ ค่าเหล่านี้เป็นค่าตัวเลขบนแกน OX มักจะมีการกำหนดขอบเขตไว้แล้ว แต่ถ้าไม่ใช่ ค่าของอาร์กิวเมนต์ x ควรถูกประเมิน สมมติว่าฟังก์ชันไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าบางค่าของอาร์กิวเมนต์ อาร์กิวเมนต์นี้จะถูกแยกออกจากขอบเขต
ศูนย์ของฟังก์ชันพบได้ด้วยวิธีง่ายๆ: ฟังก์ชัน f(x) ควรเท่ากับศูนย์ และสมการผลลัพธ์ควรแก้ด้วยค่าตัวแปร x ตัวเดียว รากที่ได้จากสมการคือศูนย์ของฟังก์ชัน นั่นคือใน x ฟังก์ชันนี้คือ 0
เพิ่มขึ้นและลดลง
การใช้อนุพันธ์เพื่อศึกษาฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจสามารถพิจารณาได้จากสองตำแหน่ง ฟังก์ชันโมโนโทนิกคือหมวดหมู่ที่มีค่าบวกของอนุพันธ์เท่านั้นหรือค่าลบเท่านั้น พูดง่ายๆ ก็คือ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงเท่านั้นตลอดช่วงเวลาที่ศึกษา:
- เพิ่มพารามิเตอร์ การทำงานf(x) จะเพิ่มขึ้นหากอนุพันธ์ของ f'(x) มากกว่าศูนย์
- พารามิเตอร์จากมากไปน้อย ฟังก์ชัน f(x) จะลดลงหากอนุพันธ์ของ f'(x) น้อยกว่าศูนย์
สัมผัสและลาด
การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชันถูกกำหนดโดยแทนเจนต์ (เส้นตรงที่ชี้ไปที่มุม) กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด แทนเจนต์ที่จุด (x0) - เส้นที่ผ่านจุดและเป็นของฟังก์ชันที่มีพิกัดคือ (x0, f(x 0 )) และมีความชัน f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - สมการของแทนเจนต์ถึงจุดที่กำหนดของกราฟของฟังก์ชัน
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับความชันของเส้นสัมผัสที่เกิดขึ้นกับกราฟของฟังก์ชันนี้ ณ จุดที่กำหนด x ในทางกลับกันสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับแกน OX (abscissa) ในทิศทางบวก ผลสืบเนื่องนี้เป็นพื้นฐานของการประยุกต์ใช้อนุพันธ์กับกราฟของฟังก์ชัน
จุดสุดขั้ว
การใช้อนุพันธ์ในการศึกษาเกี่ยวข้องกับการหาคะแนนสูงและต่ำ
ในการค้นหาและกำหนดจุดต่ำสุดและสูงสุด คุณต้อง:
- หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x).
- ตั้งสมการผลลัพธ์ให้เป็นศูนย์
- หารากของสมการ
- ค้นหาจุดสูงและจุดต่ำ
เพื่อค้นหาความสุดขั้วคุณสมบัติ:
- ค้นหาจุดต่ำสุดและสูงสุดโดยใช้วิธีการด้านบน
- แทนที่จุดเหล่านี้เป็นสมการดั้งเดิมแล้วคำนวณ ymax และ ymin
จุดสูงสุดของฟังก์ชันคือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลา กล่าวคือ xmax.
จุดต่ำสุดของฟังก์ชันคือค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลา กล่าวคือ xname
จุดสุดขั้วเหมือนกับจุดสูงสุดและต่ำสุด และจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน (ymax. และ yขั้นต่ำ) - ค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกับจุดสุดขั้ว
นูนและเว้า
คุณสามารถกำหนดความนูนและความเว้าได้โดยใช้อนุพันธ์สำหรับการวางแผน:
- ฟังก์ชัน f(x) ที่ตรวจสอบบนช่วง (a, b) จะเว้าถ้าฟังก์ชันนั้นอยู่ใต้แทนเจนต์ทั้งหมดภายในช่วงเวลานี้
- ฟังก์ชัน f(x) ที่ศึกษาในช่วงเวลา (a, b) จะนูนถ้าฟังก์ชันอยู่เหนือแทนเจนต์ทั้งหมดภายในช่วงเวลานี้
จุดที่แยกส่วนนูนและความเว้าออกเรียกว่าจุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชัน
การหาจุดเปลี่ยน:
- ค้นหาจุดวิกฤตของประเภทที่สอง (อนุพันธ์อันดับสอง)
- จุดเปลี่ยนคือจุดวิกฤตที่แยกสัญญาณตรงข้ามกัน
- คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดเปลี่ยนฟังก์ชัน
อนุพันธ์บางส่วน
ใบสมัครมีอนุพันธ์ของประเภทนี้ในปัญหาที่ใช้ตัวแปรที่ไม่รู้จักมากกว่าหนึ่งตัว บ่อยครั้ง อนุพันธ์ดังกล่าวจะพบเมื่อพล็อตกราฟฟังก์ชัน เพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้น บนพื้นผิวในอวกาศ ซึ่งแทนที่จะเป็นสองแกนจะมีสามปริมาณ ดังนั้น ปริมาณสามตัว (สองตัวแปรและหนึ่งค่าคงที่)
กฎพื้นฐานในการคำนวณอนุพันธ์ย่อยคือการเลือกตัวแปรหนึ่งตัวและถือว่าส่วนที่เหลือเป็นค่าคงที่ ดังนั้น เมื่อคำนวณอนุพันธ์ย่อยบางส่วน ค่าคงที่จะกลายเป็นค่าตัวเลข (ในอนุพันธ์หลายตาราง ค่าเหล่านี้จะแสดงเป็น C=const) ความหมายของอนุพันธ์ดังกล่าวคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน z=f(x, y) ตามแกน OX และ OY กล่าวคือ แสดงถึงความชันของความชันและส่วนนูนของพื้นผิวที่สร้างขึ้น
อนุพันธ์ทางฟิสิกส์
การใช้อนุพันธ์ในทางฟิสิกส์เป็นที่แพร่หลายและมีความสำคัญ ความหมายทางกายภาพ: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาคือความเร็ว และความเร่งคืออนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา จากความหมายทางกายภาพ กิ่งก้านจำนวนมากสามารถวาดไปยังสาขาต่าง ๆ ของฟิสิกส์ได้ ในขณะที่คงความหมายของอนุพันธ์ไว้อย่างสมบูรณ์
ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์จะพบค่าต่อไปนี้:
- ความเร็วในจลนศาสตร์ซึ่งคำนวณอนุพันธ์ของระยะทางที่เดินทาง หากพบอนุพันธ์อันดับสองของเส้นทางหรืออนุพันธ์อันดับแรกของความเร็ว ก็จะพบความเร่งของร่างกาย นอกจากนี้ยังสามารถค้นหาความเร็วชั่วขณะของจุดวัสดุได้ แต่สำหรับสิ่งนี้ จำเป็นต้องทราบการเพิ่มขึ้น ∆t และ ∆r
- ในอิเล็กโทรไดนามิก:การคำนวณความแรงทันทีของกระแสสลับเช่นเดียวกับ EMF ของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า โดยการคำนวณอนุพันธ์ คุณสามารถหากำลังสูงสุดได้ อนุพันธ์ของปริมาณประจุไฟฟ้าคือความแรงของกระแสในตัวนำ
อนุพันธ์ในวิชาเคมีและชีววิทยา
เคมี: อนุพันธ์ใช้เพื่อกำหนดอัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมี ความหมายทางเคมีของอนุพันธ์: ฟังก์ชัน p=p(t) ในกรณีนี้ p คือปริมาณของสารที่ทำปฏิกิริยาเคมีในช่วงเวลา t ∆t - การเพิ่มเวลา ∆p - การเพิ่มปริมาณสาร ขีดจำกัดของอัตราส่วน ∆p ต่อ ∆t ซึ่ง ∆t มีแนวโน้มเป็นศูนย์ เรียกว่าอัตราของปฏิกิริยาเคมี ค่าเฉลี่ยของปฏิกิริยาเคมีคืออัตราส่วน ∆p/∆t เมื่อกำหนดความเร็ว จำเป็นต้องทราบพารามิเตอร์ เงื่อนไขที่จำเป็นทั้งหมด เพื่อทราบสถานะรวมของสารและตัวกลางในการไหล นี่เป็นแง่มุมที่ค่อนข้างใหญ่ในวิชาเคมี ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรมต่างๆ และกิจกรรมของมนุษย์
ชีววิทยา: แนวคิดของอนุพันธ์ใช้เพื่อคำนวณอัตราการสืบพันธุ์เฉลี่ย ความหมายทางชีวภาพ: เรามีฟังก์ชัน y=x(t) ∆t - การเพิ่มเวลา จากนั้น ด้วยความช่วยเหลือของการแปลง เราได้ฟังก์ชัน y`=P(t)=x`(t) - กิจกรรมสำคัญของประชากรของเวลา t (อัตราการสืบพันธุ์เฉลี่ย) การใช้อนุพันธ์นี้ทำให้คุณสามารถเก็บสถิติ ติดตามอัตราการทำซ้ำ และอื่นๆ
อนุพันธ์ในภูมิศาสตร์และเศรษฐศาสตร์
อนุพันธ์ช่วยให้นักภูมิศาสตร์ตัดสินใจได้งานต่างๆ เช่น การหาประชากร การคำนวณค่าในคลื่นไหวสะเทือน การคำนวณกัมมันตภาพรังสีของตัวชี้วัดธรณีฟิสิกส์นิวเคลียร์ การคำนวณการแก้ไข
ในทางเศรษฐศาสตร์ ส่วนสำคัญของการคำนวณคือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และการคำนวณอนุพันธ์ ประการแรก สิ่งนี้ทำให้เราสามารถกำหนดขีดจำกัดของมูลค่าทางเศรษฐกิจที่จำเป็นได้ ตัวอย่างเช่น ผลผลิตแรงงาน ต้นทุน ผลกำไรสูงสุดและต่ำสุด โดยทั่วไป ค่าเหล่านี้คำนวณจากกราฟฟังก์ชัน ซึ่งพบ extrema กำหนดความซ้ำซากของฟังก์ชันในพื้นที่ที่ต้องการ
สรุป
บทบาทของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์นี้เกี่ยวข้องตามที่ระบุไว้ในบทความในโครงสร้างทางวิทยาศาสตร์ต่างๆ การใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์เป็นองค์ประกอบสำคัญในภาคปฏิบัติของวิทยาศาสตร์และการผลิต ไม่ใช่เพื่ออะไรที่เราถูกสอนในโรงเรียนมัธยมและมหาวิทยาลัยในการสร้างกราฟที่ซับซ้อน สำรวจ และทำงานเกี่ยวกับฟังก์ชันต่างๆ อย่างที่คุณเห็น หากไม่มีอนุพันธ์และการคำนวณเชิงอนุพันธ์ จะไม่สามารถคำนวณตัวบ่งชี้และปริมาณที่สำคัญได้ มนุษยชาติได้เรียนรู้ที่จะสร้างแบบจำลองกระบวนการต่างๆ และสำรวจเพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน อันที่จริง คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ทั้งหมด เพราะวิทยาศาสตร์นี้รองรับสาขาวิชาธรรมชาติและเทคนิคอื่นๆ ทั้งหมด