บ่อยครั้งในทางคณิตศาสตร์มักมีปัญหาและคำถามมากมาย และคำตอบก็ไม่ชัดเจนเสมอไป ไม่มีข้อยกเว้นในหัวข้อเช่นคาร์ดินาลลิตี้ของเซต อันที่จริง นี่ไม่ใช่แค่การแสดงออกเชิงตัวเลขของจำนวนอ็อบเจกต์ โดยทั่วไป เซตคือสัจพจน์ ไม่มีคำจำกัดความ มันขึ้นอยู่กับอ็อบเจกต์ใดๆ หรือค่อนข้างเป็นเซตของพวกมัน ซึ่งสามารถว่างเปล่า มีขอบเขต หรืออนันต์ นอกจากนี้ยังประกอบด้วยจำนวนเต็มหรือจำนวนธรรมชาติ เมทริกซ์ ลำดับ เซ็กเมนต์ และเส้น
เกี่ยวกับตัวแปรที่มีอยู่
ชุดว่างหรือชุดว่างที่ไม่มีค่าที่แท้จริงถือเป็นองค์ประกอบที่สำคัญเพราะเป็นเซตย่อย คอลเล็กชันของเซตย่อยทั้งหมดของเซตที่ไม่ว่างเปล่า S คือชุดของเซต ดังนั้น เซตกำลังของเซตที่กำหนดจึงถือว่ามีจำนวนมาก ที่คิดได้ แต่เป็นแบบเดี่ยว เซตนี้เรียกว่าเซตของกำลังของ S และเขียนแทนด้วย P (S) ถ้า S มีองค์ประกอบ N ดังนั้น P(S) จะมีเซตย่อย 2^n เนื่องจากเซตย่อยของ P(S) คือ ∅ หรือเซตย่อยที่มีองค์ประกอบ r จาก S, r=1, 2, 3, … ประกอบด้วยทุกสิ่งที่ไม่มีที่สิ้นสุดชุด M เรียกว่า ปริมาณกำลัง และแสดงสัญลักษณ์ด้วย P (M)
องค์ประกอบของทฤษฎีเซต
ความรู้ด้านนี้พัฒนาโดย George Cantor (1845-1918) วันนี้มีการใช้ในเกือบทุกสาขาของคณิตศาสตร์และทำหน้าที่เป็นส่วนพื้นฐาน ในทฤษฎีเซต องค์ประกอบจะแสดงในรูปแบบของรายการและกำหนดตามประเภท (เซตว่าง, ซิงเกิลตัน, เซตจำกัดและอนันต์, เซตเท่ากันและเท่ากัน, สากล), ยูเนี่ยน, ทางแยก, ความแตกต่าง, และการบวกตัวเลข ในชีวิตประจำวัน เรามักจะพูดถึงคอลเลกชั่นของสิ่งของต่างๆ เช่น พวงกุญแจ ฝูงนก ซองการ์ด เป็นต้น ในเกรด 5 คณิตศาสตร์ขึ้นไป มีจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม จำนวนเฉพาะ และจำนวนประกอบ
ชุดต่อไปนี้ถือได้:
- ตัวเลขธรรมชาติ;
- ตัวอักษร;
- อัตราต่อรองหลัก;
- สามเหลี่ยมที่มีด้านต่างกัน
จะเห็นได้ว่าตัวอย่างที่ระบุเหล่านี้เป็นชุดของอ็อบเจกต์ที่กำหนดไว้อย่างดี ลองพิจารณาตัวอย่างเพิ่มเติม:
- ห้านักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในโลก
- เจ็ดสาวสวยในสังคม;
- สามศัลยแพทย์ที่ดีที่สุด
ตัวอย่างเหล่านี้ไม่ใช่คอลเลกชั่นของวัตถุที่กำหนดไว้อย่างดี เพราะเกณฑ์สำหรับ "ที่มีชื่อเสียงที่สุด" "สวยที่สุด" "ดีที่สุด" จะแตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล
ชุด
ค่านี้เป็นจำนวนออบเจ็กต์ที่แตกต่างกันจำนวนมากที่กำหนดไว้อย่างดีสมมติว่า:
- wordset เป็นคำพ้อง รวม คลาส และมีองค์ประกอบ
- วัตถุ สมาชิกมีเงื่อนไขเท่ากัน;
- ชุดมักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ A, B, C;
- ชุดองค์ประกอบแสดงด้วยตัวอักษรขนาดเล็ก a, b, c.
ถ้า "a" เป็นองค์ประกอบของเซต A แสดงว่า "a" เป็นของ A ให้แทนวลี "เป็นของ" ด้วยตัวอักษรกรีก "∈" (epsilon) ดังนั้น ปรากฎว่า a ∈ A. ถ้า 'b' เป็นองค์ประกอบที่ไม่ใช่ของ A, นี่จะแสดงเป็น b ∉ A. ชุดสำคัญบางชุดที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 จะแสดงโดยใช้สามวิธีต่อไปนี้:
- applications;
- ทะเบียนหรือตาราง;
- กฎสำหรับการสร้างรูปแบบ
เมื่อสอบอย่างใกล้ชิด แบบฟอร์มการสมัครมีดังต่อไปนี้ ในกรณีนี้ จะมีการให้คำอธิบายที่ชัดเจนเกี่ยวกับองค์ประกอบของชุด พวกเขาทั้งหมดอยู่ในวงเล็บปีกกา ตัวอย่างเช่น:
- ชุดเลขคี่น้อยกว่า 7 - เขียนเป็น {น้อยกว่า 7};
- ชุดตัวเลขที่มากกว่า 30 และน้อยกว่า 55;
- จำนวนนักเรียนในชั้นเรียนที่หนักกว่าครู
ในรูปแบบรีจิสตรี (ตาราง) องค์ประกอบของชุดจะแสดงอยู่ในวงเล็บปีกกา {} และคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตัวอย่างเช่น:
- ให้ N แทนเซตของตัวเลขธรรมชาติห้าตัวแรก ดังนั้น N=→ แบบฟอร์มลงทะเบียน
- ชุดสระทั้งหมดของตัวอักษรภาษาอังกฤษ ดังนั้น V={a, e, i, o, u, y} → แบบฟอร์มลงทะเบียน
- เซตของเลขคี่ทั้งหมดมีค่าน้อยกว่า 9 ดังนั้น X={1, 3, 5, 7} → formทะเบียน
- ชุดตัวอักษรทั้งหมดในคำว่า "คณิตศาสตร์" ดังนั้น Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → แบบฟอร์มการลงทะเบียน
- W คือชุดของสี่เดือนสุดท้ายของปี ดังนั้น W={กันยายน ตุลาคม พฤศจิกายน ธันวาคม} → การลงทะเบียน
โปรดทราบว่าลำดับขององค์ประกอบที่แสดงรายการนั้นไม่สำคัญ แต่จะต้องไม่ทำซ้ำ รูปแบบการก่อสร้างที่กำหนดไว้ ในกรณีที่กำหนด กฎ สูตร หรือตัวดำเนินการจะถูกเขียนในวงเล็บคู่ เพื่อให้ชุดมีการกำหนดอย่างถูกต้อง ในแบบฟอร์มตัวสร้างชุด องค์ประกอบทั้งหมดจะต้องมีคุณสมบัติเหมือนกันจึงจะเป็นสมาชิกของค่าที่เป็นปัญหาได้
ในรูปแบบการแสดงเซตนี้ องค์ประกอบของเซตจะถูกอธิบายด้วยอักขระ "x" หรือตัวแปรอื่น ๆ ที่ตามด้วยโคลอน (":" หรือ "|" ใช้เพื่อระบุ) ตัวอย่างเช่น ให้ P เป็นเซตของจำนวนนับได้ที่มากกว่า 12 P ในรูปแบบ set-builder เขียนเป็น - {countable number and more than 12} มันจะอ่านในทางใดทางหนึ่ง นั่นคือ "P คือชุดขององค์ประกอบ x โดยที่ x นับได้และมากกว่า 12"
ตัวอย่างที่แก้ไขโดยใช้วิธีการแทนเซตสามวิธี: จำนวนเต็มระหว่าง -2 ถึง 3 ด้านล่างนี้คือตัวอย่างของชุดประเภทต่างๆ:
- ชุดว่างหรือว่างที่ไม่มีองค์ประกอบใด ๆ และแสดงด้วยสัญลักษณ์ ∅ และอ่านว่า phi ในรูปแบบรายการ ∅ เขียน {} ชุดจำกัดว่างเปล่า เนื่องจากจำนวนองค์ประกอบเป็น 0 ตัวอย่างเช่น ชุดของค่าจำนวนเต็มน้อยกว่า 0
- แน่นอนว่าไม่ควรมี <0 เพราะฉะนั้น นี่ชุดเปล่า
- ชุดที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเรียกว่าชุดเดี่ยว ไม่ใช่เรื่องง่ายและไม่ซับซ้อน
ชุดจบ
ชุดที่มีองค์ประกอบจำนวนหนึ่งเรียกว่าชุดไฟไนต์หรือชุดอนันต์ ว่างเปล่าหมายถึงครั้งแรก ตัวอย่างเช่น ชุดสีทั้งหมดในรุ้ง
อินฟินิตี้เป็นเซต ไม่สามารถระบุองค์ประกอบในนั้นได้ กล่าวคือมีตัวแปรที่คล้ายกันเรียกว่าชุดอนันต์ ตัวอย่าง:
- พลังของเซตของจุดทั้งหมดในเครื่องบิน;
- ชุดของจำนวนเฉพาะทั้งหมด
แต่คุณควรเข้าใจว่าหัวใจสำคัญของสหภาพของชุดไม่สามารถแสดงในรูปแบบของรายการได้ ตัวอย่างเช่น จำนวนจริง เนื่องจากองค์ประกอบของมันไม่สอดคล้องกับรูปแบบเฉพาะใดๆ
จำนวนคาร์ดินัลของเซตคือจำนวนขององค์ประกอบต่าง ๆ ในปริมาณที่กำหนด A. มันถูกแทนด้วย n (A).
ตัวอย่าง:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4} ดังนั้น n (A)=4.
- B=ชุดตัวอักษรในคำว่า ALGEBRA.
ชุดเทียบเท่าสำหรับการเปรียบเทียบชุด
การนับสองชุดของเซต A และ B เป็นจำนวนดังกล่าว ถ้าเลขคาร์ดินัลเท่ากัน สัญลักษณ์สำหรับชุดที่เทียบเท่าคือ "↔" ตัวอย่างเช่น: A ↔ B.
เซตเท่ากัน: คาร์ดินัลลิตี้สองชุดของเซต A และ B ถ้าพวกมันมีองค์ประกอบเหมือนกัน แต่ละค่าสัมประสิทธิ์จาก A เป็นตัวแปรจาก B และแต่ละค่าของ B คือค่าที่ระบุของ Aดังนั้น A=B สหพันธ์คาร์ดินาลิตี้ประเภทต่างๆ และคำจำกัดความจะอธิบายโดยใช้ตัวอย่างที่ให้มา
แก่นแท้ของความไม่มีที่สิ้นสุดและอนันต์
คาร์ดินัลลิตี้ของชุดไฟท์และเซตอนันต์ต่างกันอย่างไร
ค่าแรกมีชื่อต่อไปนี้ หากว่างเปล่าหรือมีองค์ประกอบจำนวนจำกัด ในชุดจำกัด สามารถระบุตัวแปรได้หากมีการนับจำนวนจำกัด ตัวอย่างเช่น ใช้จำนวนธรรมชาติ 1, 2, 3 และกระบวนการแสดงรายการสิ้นสุดที่ N บางส่วน จำนวนองค์ประกอบต่างๆ ที่นับในชุดจำกัด S จะแสดงด้วย n (S) เรียกอีกอย่างว่าคำสั่งหรือพระคาร์ดินัล แสดงสัญลักษณ์ตามหลักการมาตรฐาน ดังนั้นหากชุด S เป็นตัวอักษรรัสเซีย แสดงว่าชุดดังกล่าวมี 33 องค์ประกอบ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าองค์ประกอบจะไม่เกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งในชุด
ไม่มีที่สิ้นสุดในชุด
ชุดจะเรียกว่าอนันต์หากไม่สามารถแจงนับองค์ประกอบได้ ถ้ามันมีจำนวนธรรมชาติที่ไม่ จำกัด (นั่นคือนับไม่ได้) 1, 2, 3, 4 สำหรับ n ใด ๆ เซตที่ไม่สิ้นสุดเรียกว่าอนันต์ ตอนนี้เราสามารถพูดถึงตัวอย่างค่าตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณาได้ ตัวเลือกค่าสุดท้าย:
- ให้ Q={จำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 25}. แล้ว Q เป็นเซตจำกัด และ n (P)=24.
- ให้ R={จำนวนเต็มระหว่าง 5 ถึง 45} R คือเซตจำกัด และ n (R)=38.
- ให้ S={ตัวเลข modulo 9}. แล้ว S={-9, 9} เป็นเซตจำกัดและ n (S)=2.
- ชุดทุกคน
- จำนวนนกทั้งหมด
ตัวอย่างไม่มีที่สิ้นสุด:
- จำนวนจุดที่มีอยู่บนเครื่องบิน;
- จำนวนจุดทั้งหมดในส่วนของเส้นตรง;
- เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 3 ลงตัวเป็นอนันต์
- จำนวนเต็มและธรรมชาติทั้งหมด
ดังนั้น จากเหตุผลข้างต้น จะแยกแยะระหว่างเซตจำกัดและเซตอนันต์ได้อย่างไร
พลังของชุดต่อเนื่อง
ถ้าเราเปรียบเทียบชุดกับค่าอื่นที่มีอยู่ การเพิ่มเติมจะแนบมากับชุด ถ้า ξ เป็นสากลและ A เป็นสับเซตของ ξ แล้ว คอมพลีเมนต์ของ A คือจำนวนของสมาชิกทั้งหมดของ ξ ที่ไม่ใช่สมาชิกของ A ในเชิงสัญลักษณ์ คอมพลีเมนต์ของ A เทียบกับ ξ คือ A' ตัวอย่างเช่น 2, 4, 5, 6 เป็นองค์ประกอบเดียวของ ξ ที่ไม่ได้เป็นของ A ดังนั้น A'={2, 4, 5, 6}
ชุดที่มีความต่อเนื่องของจำนวนสมาชิกมีคุณลักษณะดังต่อไปนี้:
- การเติมเต็มของปริมาณสากลคือค่าว่างที่เป็นปัญหา
- ตัวแปรชุดว่างนี้เป็นสากล
- จำนวนเงินและส่วนประกอบไม่ปะติดปะต่อ
ตัวอย่าง:
- ให้จำนวนธรรมชาติเป็นเซตสากลและ A เป็นคู่ แล้ว A '{x: x เป็นเซตคี่ที่มีตัวเลขเหมือนกัน}.
- ให้ξ=ชุดตัวอักษรในตัวอักษร A=ชุดพยัญชนะ จากนั้น A '=จำนวนสระ
- ส่วนเติมเต็มของชุดสากลคือปริมาณที่ว่างเปล่า สามารถเขียนแทนด้วย ξ จากนั้น ξ '=ชุดขององค์ประกอบเหล่านั้นที่ไม่รวมอยู่ใน ξ ชุดว่าง φ ถูกเขียนและแทนค่า ดังนั้น ξ=φ ดังนั้น ส่วนเสริมของชุดสากลจึงว่างเปล่า
ในทางคณิตศาสตร์ บางครั้งคำว่า "ต่อเนื่อง" จะใช้แทนเส้นจริง และโดยทั่วไปให้อธิบายวัตถุที่คล้ายกัน:
- continuum (ในทฤษฎีเซต) - เส้นจริงหรือหมายเลขคาร์ดินัลที่สอดคล้องกัน
- เชิงเส้น - ชุดคำสั่งใด ๆ ที่แบ่งปันคุณสมบัติบางอย่างของเส้นจริง
- continuum (ในโทโพโลยี) - พื้นที่เมตริกที่เชื่อมต่อแบบกะทัดรัดไม่ว่าง (บางครั้ง Hausdorff);
- สมมติฐานที่ว่าไม่มีเซตอนันต์ใดที่มากกว่าจำนวนเต็มแต่น้อยกว่าจำนวนจริง
- พลังของคอนตินิวอัมคือจำนวนนับที่แทนขนาดของเซตของจำนวนจริง
โดยพื้นฐานแล้ว ความต่อเนื่อง (การวัด) ทฤษฎีหรือแบบจำลองที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงทีละน้อยจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน
ปัญหาสหภาพและสี่แยก
เป็นที่ทราบกันว่าจุดตัดของชุดตั้งแต่สองชุดขึ้นไปคือตัวเลขที่มีองค์ประกอบทั้งหมดที่มีร่วมกันในค่าเหล่านี้ งานคำในชุดจะได้รับการแก้ไขเพื่อให้ได้แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับวิธีการใช้คุณสมบัติสหภาพและการตัดกันของชุด แก้ไขปัญหาหลักของคำบนชุดมีลักษณะดังนี้:
ให้ A และ B เป็นเซตจำกัด พวกมันเป็นเช่นนั้น n (A)=20, n (B)=28 และ n (A ∪ B)=36, ค้นหา n (A ∩ B)
ความสัมพันธ์ในชุดโดยใช้แผนภาพเวนน์:
- การรวมกันของสองชุดสามารถแสดงด้วยพื้นที่แรเงาแทน A ∪ B. A ∪ B เมื่อ A และ B เป็นชุดที่ไม่ปะติดปะต่อกัน
- จุดตัดของสองชุดสามารถแสดงด้วยแผนภาพเวนน์ โดยมีพื้นที่แรเงาแทน A ∩ B.
- ความแตกต่างระหว่างทั้งสองชุดสามารถแสดงด้วยแผนภาพเวนน์ โดยมีพื้นที่แรเงาแทน A - B.
- ความสัมพันธ์ระหว่างสามชุดโดยใช้แผนภาพเวนน์ ถ้า ξ แทนปริมาณสากล A, B, C จะเป็นชุดย่อยสามชุด ทั้งสามชุดซ้อนทับกัน
สรุปข้อมูลชุด
คาร์ดินัลลิตี้ของเซตถูกกำหนดเป็นจำนวนรวมขององค์ประกอบแต่ละอย่างในชุด และค่าที่ระบุล่าสุดจะอธิบายเป็นจำนวนชุดย่อยทั้งหมด เมื่อศึกษาประเด็นดังกล่าว ต้องอาศัยวิธีการ วิธีการ และแนวทางแก้ไข ดังนั้น สำหรับคาร์ดินัลลิตี้ของเซต ตัวอย่างต่อไปนี้สามารถใช้เป็น:
ให้ A={0, 1, 2, 3}| |=4 โดยที่ | A | เป็นตัวแทนของเซต A
ตอนนี้คุณสามารถหาพาวเวอร์แพ็คของคุณได้แล้ว มันค่อนข้างง่ายด้วย ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ชุดกำลังถูกตั้งค่าจากชุดย่อยทั้งหมดของหมายเลขที่กำหนด ดังนั้นโดยพื้นฐานแล้วควรกำหนดตัวแปรองค์ประกอบและค่าอื่น ๆ ของ Aซึ่งได้แก่ {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
ตอนนี้กำลังหา P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} ซึ่งมี 16 องค์ประกอบ ดังนั้นคาร์ดินาลิตี้ของเซต A=16 เห็นได้ชัดว่านี่เป็นวิธีการที่ยุ่งยากและยุ่งยากในการแก้ปัญหา อย่างไรก็ตาม มีสูตรง่ายๆ ซึ่งคุณสามารถทราบจำนวนองค์ประกอบในชุดกำลังของตัวเลขที่กำหนดได้โดยตรง | พี |=2 ^ N โดยที่ N คือจำนวนขององค์ประกอบในบาง A. สูตรนี้สามารถหาได้โดยใช้ combinatorics อย่างง่าย ดังนั้นคำถามคือ 2^11 เนื่องจากจำนวนองค์ประกอบในชุด A คือ 11
ดังนั้น ชุดคือปริมาณที่แสดงเป็นตัวเลข ซึ่งสามารถเป็นวัตถุอะไรก็ได้ เช่น รถยนต์ คน ตัวเลข ในแง่คณิตศาสตร์ แนวคิดนี้กว้างกว่าและเป็นภาพรวมมากกว่า หากในขั้นเริ่มต้น ตัวเลขและตัวเลือกสำหรับการแก้ปัญหาของพวกเขาถูกแยกออก จากนั้นในขั้นกลางและระดับสูง เงื่อนไขและงานจะซับซ้อน อันที่จริงคาร์ดินาลิตี้ของการรวมชุดถูกกำหนดโดยความเป็นเจ้าของของวัตถุในกลุ่มใด ๆ นั่นคือองค์ประกอบหนึ่งเป็นของคลาส แต่มีตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป
