สมการระนาบ. มุมระหว่างระนาบสองระนาบ

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

ระนาบพร้อมกับจุดและเส้นตรงเป็นองค์ประกอบทางเรขาคณิตพื้นฐาน ด้วยการใช้งาน ตัวเลขจำนวนมากในเรขาคณิตเชิงพื้นที่จึงถูกสร้างขึ้น ในบทความนี้ เราจะพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคำถามในการหามุมระหว่างระนาบสองระนาบ

แนวคิด

ก่อนที่จะพูดถึงมุมระหว่างระนาบสองระนาบ คุณควรเข้าใจให้ดีก่อนว่าเรากำลังพูดถึงองค์ประกอบอะไรในเรขาคณิต มาทำความเข้าใจคำศัพท์กัน เครื่องบินคือกลุ่มของจุดต่างๆ ในอวกาศที่ไม่มีที่สิ้นสุด เชื่อมต่อซึ่งเราได้รับเวกเตอร์ อันหลังจะตั้งฉากกับเวกเตอร์หนึ่งตัว ปกติจะเรียกว่าปกติขึ้นเครื่อง

รูปด้านบนแสดงระนาบและเวกเตอร์ปกติสองตัวไปที่เครื่องบิน จะเห็นว่าเวกเตอร์ทั้งสองอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุมระหว่างพวกเขาคือ 180o.

สมการ

มุมระหว่างระนาบสองระนาบสามารถกำหนดได้หากทราบสมการทางคณิตศาสตร์ขององค์ประกอบทางเรขาคณิตที่พิจารณาแล้ว สมการดังกล่าวมีหลายประเภทซึ่งมีรายชื่ออยู่ด้านล่าง:

• ประเภททั่วไป;
• เวกเตอร์;
• ในเซ็กเมนต์

สามประเภทนี้สะดวกที่สุดในการแก้ปัญหาประเภทต่างๆ จึงมักใช้บ่อยที่สุด

สมการประเภททั่วไปมีลักษณะดังนี้:

Ax + By + Cz + D=0.

ที่นี่ x, y, z คือพิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของระนาบที่กำหนด พารามิเตอร์ A, B, C และ D เป็นตัวเลข ความสะดวกของสัญกรณ์นี้อยู่ที่ว่าตัวเลข A, B, C เป็นพิกัดของเวกเตอร์ปกติกับระนาบ

รูปแบบเวกเตอร์ของเครื่องบินสามารถแสดงได้ดังนี้:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

ที่นี่ (a₂, b₂, c₂) และ (a ₁, b₁, c₁) - พารามิเตอร์ของเวกเตอร์พิกัดสองตัวที่เป็นระนาบที่พิจารณา จุด (x₀, y₀, z_{0) ก็อยู่บนระนาบนี้เช่นกัน พารามิเตอร์ α และ β สามารถใช้ค่าที่เป็นอิสระและกำหนดเองได้}

สุดท้าย สมการของระนาบในส่วนต่างๆ จะแสดงในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้:

x/p + y/q + z/l=1.

ในที่นี้ p, q, l คือตัวเลขเฉพาะ (รวมค่าลบด้วย) สมการประเภทนี้มีประโยชน์เมื่อจำเป็นต้องแสดงระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เนื่องจากตัวเลข p, q, l แสดงจุดตัดกันด้วยแกน x, y และ zเครื่องบิน

โปรดทราบว่าสมการแต่ละประเภทสามารถแปลงเป็นสมการอื่นได้โดยใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย

สูตรสำหรับมุมระหว่างระนาบสองระนาบ

ลองพิจารณาความแตกต่างต่อไปนี้ ในพื้นที่สามมิติ ระนาบสองระนาบสามารถหาได้เพียงสองวิธีเท่านั้น ตัดกันหรือขนานกัน ระหว่างระนาบสองระนาบ มุมคือสิ่งที่อยู่ระหว่างเวกเตอร์ไกด์ (ปกติ) ตัดกัน เวกเตอร์ 2 ตัวสร้างมุม 2 มุม (เฉียบพลันและป้านในกรณีทั่วไป) มุมระหว่างระนาบถือเป็นมุมแหลม พิจารณาสมการ

สูตรสำหรับมุมระหว่างระนาบสองระนาบคือ:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

มันง่ายที่จะเดาว่านิพจน์นี้เป็นผลโดยตรงจากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ปกติ n₁¯ และ n₂ ¯ สำหรับเครื่องบินที่พิจารณา โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ดอทในตัวเศษระบุว่ามุม θ จะใช้ค่าตั้งแต่ 0^o ถึง 90^{o เท่านั้น ผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์ปกติในตัวส่วนหมายถึงผลคูณของความยาว}

หมายเหตุ ถ้า (n₁¯n2_{¯)=0 แล้วระนาบตัดกันเป็นมุมฉาก}

ปัญหาตัวอย่าง

เมื่อหาว่ามุมระหว่างระนาบสองระนาบเรียกว่าอะไร เราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้ ตัวอย่างเช่น. ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างระนาบดังกล่าว:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

ในการแก้ปัญหา คุณต้องรู้เวกเตอร์ทิศทางของเครื่องบิน สำหรับระนาบแรก เวกเตอร์ตั้งฉากคือ: n₁¯=(2, -3, 0) ในการหาเวกเตอร์ปกติระนาบที่สอง เราควรคูณเวกเตอร์หลังพารามิเตอร์ α และ β ผลลัพธ์คือเวกเตอร์: n_{2¯=(5, -3, 2).}

ในการหามุม θ เราใช้สูตรจากย่อหน้าที่แล้ว เราได้:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0.5455 rad.

มุมที่คำนวณเป็นเรเดียนสอดคล้องกับ 31.26^o ดังนั้นระนาบจากเงื่อนไขของปัญหาตัดกันที่มุม 31, 26^o.