มุมระหว่างระนาบ. วิธีการกำหนดมุมระหว่างระนาบ

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

เมื่อต้องแก้ปัญหาเรขาคณิตในอวกาศ มักมีปัญหาที่จำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างวัตถุเชิงพื้นที่ต่างๆ ในบทความนี้ เราจะพิจารณาประเด็นในการหามุมระหว่างระนาบและระหว่างพวกมันกับเส้นตรง

บรรทัดในช่องว่าง

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเส้นตรงใดๆ ในระนาบสามารถกำหนดได้ด้วยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

y=ax + b

a และ b คือตัวเลขบางส่วน หากเราแสดงเส้นตรงในอวกาศด้วยนิพจน์เดียวกัน เราก็ได้ระนาบขนานกับแกน z สำหรับคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของเส้นเชิงพื้นที่ จะใช้วิธีการแก้ปัญหาที่แตกต่างจากกรณีสองมิติ ประกอบด้วยการใช้แนวคิด "เวกเตอร์ทิศทาง"

เวกเตอร์กำกับของเส้นตรงแสดงการวางแนวในช่องว่าง พารามิเตอร์นี้เป็นของบรรทัด เนื่องจากมีชุดเวกเตอร์อนันต์ขนานกันในอวกาศ ดังนั้นเพื่อกำหนดวัตถุเรขาคณิตที่พิจารณาโดยเฉพาะ จึงจำเป็นต้องทราบพิกัดของจุดที่เป็นของวัตถุนั้นด้วย

สมมุติว่ามีจุด P(x₀; y₀; z_{0) และเวกเตอร์ทิศทาง v¯(a; b; c) จากนั้นสมการของเส้นตรงจะได้ดังนี้:}

(x; y; z)=P + αv¯ หรือ

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

นิพจน์นี้เรียกว่าสมการเวกเตอร์พาราเมตริกของเส้นตรง สัมประสิทธิ์ α เป็นพารามิเตอร์ที่สามารถรับค่าจริงใดๆ ก็ได้ พิกัดของเส้นสามารถแสดงได้อย่างชัดเจนโดยการขยายความเท่าเทียมกันนี้:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

สมการระนาบ

มีหลายรูปแบบในการเขียนสมการสำหรับระนาบในอวกาศ เราจะพิจารณาหนึ่งในนั้น ซึ่งมักใช้ในการคำนวณมุมระหว่างระนาบสองระนาบหรือระหว่างระนาบหนึ่งกับเส้นตรง

ถ้ารู้จักเวกเตอร์ n¯(A; B; C) ซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่ต้องการ และจุด P(x₀; y ₀; z_{0) ซึ่งเป็นของมัน จากนั้นสมการทั่วไปของสมการหลังคือ:}

Ax + By + Cz + D=0 โดยที่ D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

เราได้ละเว้นที่มาของนิพจน์นี้ ซึ่งค่อนข้างง่าย ที่นี่เราทราบเพียงว่า เมื่อรู้สัมประสิทธิ์ของตัวแปรในสมการของระนาบแล้ว เราสามารถหาเวกเตอร์ทั้งหมดที่ตั้งฉากกับมันได้อย่างง่ายดาย หลังเรียกว่านอร์มัลและใช้ในการคำนวณมุมระหว่างความเอียงและระนาบและระหว่างอะนาล็อกโดยพลการ

ตำแหน่งของระนาบและสูตรมุมระหว่างพวกมัน

สมมุติว่ามีเครื่องบินสองลำ ตัวเลือกสำหรับตำแหน่งสัมพัทธ์ในอวกาศคืออะไร เนื่องจากเครื่องบินมีมิติอนันต์สองมิติและหนึ่งศูนย์ จึงมีเพียงสองตัวเลือกสำหรับการวางแนวร่วมกันเท่านั้น:

จะขนานกัน
อาจทับซ้อนกัน

มุมระหว่างระนาบคือดัชนีระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง เช่น ระหว่างเส้นตั้งฉาก n₁¯ และ n_2¯.

แน่นอน ถ้าขนานกับระนาบ มุมของจุดตัดระหว่างพวกมันจะเป็นศูนย์ หากตัดกัน แสดงว่าไม่ใช่ศูนย์ แต่คมเสมอ กรณีพิเศษของทางแยกจะเป็นมุม 90o เมื่อระนาบตั้งฉากกัน

มุม α ระหว่าง n₁¯ และ n_{2¯ หาได้ง่ายจากผลคูณของสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้ นั่นคือสูตรเกิดขึ้น:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

สมมติว่าพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้คือ: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). จากนั้น ใช้สูตรคำนวณผลคูณสเกลาร์และโมดูลของเวกเตอร์ผ่านพิกัด นิพจน์ด้านบนสามารถเขียนใหม่เป็น:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

โมดูลัสในตัวเศษปรากฏขึ้นเนื่องจากไม่รวมค่าของมุมป้าน

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการหามุมตัดของระนาบ

รู้วิธีหามุมระหว่างระนาบ เราจะแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ ให้ระนาบสองระนาบ สมการคือ:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

มุมระหว่างระนาบเป็นเท่าไหร่

เพื่อตอบคำถามของปัญหา จำไว้ว่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในสมการทั่วไปของระนาบคือพิกัดของเวกเตอร์ไกด์ สำหรับเครื่องบินที่ระบุ เรามีพิกัดปกติดังต่อไปนี้:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

ตอนนี้เราพบผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้และโมดูลของพวกมันแล้ว เรามี:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ตัวเลขที่พบลงในสูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า เราได้:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

ผลลัพธ์ที่ได้คือมุมแหลมของจุดตัดของระนาบที่ระบุในเงื่อนไขงาน

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ให้เครื่องบินสองลำ:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

ตัดกันมั้ย? มาเขียนค่าพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางกัน คำนวณผลิตภัณฑ์สเกลาร์และโมดูลกัน:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

จากนั้นมุมของทางแยกคือ:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

มุมนี้แสดงว่าระนาบไม่ตัดกันแต่ขนานกัน ข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาไม่ตรงกันนั้นง่ายต่อการตรวจสอบ ลองใช้จุดใดก็ได้ที่เป็นของจุดแรกเช่น P(0; 3; 2) แทนที่พิกัดของมันเป็นสมการที่สอง เราได้:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

นั่นคือจุด P เป็นของระนาบแรกเท่านั้น

ดังนั้นระนาบสองระนาบจะขนานกันเมื่อเส้นปกติของพวกมัน

เครื่องบินและเส้นตรง

ในกรณีที่พิจารณาตำแหน่งสัมพัทธ์ระหว่างระนาบกับเส้นตรง มีตัวเลือกมากกว่าสองระนาบ ความจริงข้อนี้เชื่อมโยงกับความจริงที่ว่าเส้นตรงเป็นวัตถุหนึ่งมิติ สายและเครื่องบินสามารถ:

ขนานกัน ในกรณีนี้ เครื่องบินไม่ตัดเส้น
อันหลังอาจเป็นของระนาบ ในขณะที่มันขนานกับมันด้วย
วัตถุทั้งสองได้ตัดกันเป็นบางมุม

พิจารณากรณีสุดท้ายก่อน เนื่องจากต้องมีการแนะนำแนวคิดของมุมสี่แยก

เส้นและระนาบมุมระหว่างพวกเขา

ถ้าเส้นตรงตัดกับระนาบ จะเรียกว่าเอียงเทียบกับระนาบ จุดตัดเรียกว่าฐานของความชัน ในการกำหนดมุมระหว่างวัตถุเรขาคณิตเหล่านี้ จำเป็นต้องลดเส้นตรงในแนวตั้งฉากกับระนาบจากจุดใดก็ได้ จากนั้นจุดตัดของเส้นตั้งฉากกับระนาบและจุดตัดของเส้นเอียงที่ก่อให้เกิดเป็นเส้นตรง ส่วนหลังนี้เรียกว่าการฉายภาพของเส้นเดิมบนระนาบที่กำลังพิจารณา มุมแหลมระหว่างเส้นกับการฉายคือมุมที่ต้องการ

คำจำกัดความที่ค่อนข้างสับสนของมุมระหว่างระนาบกับเฉียงจะทำให้รูปด้านล่างกระจ่าง

มุม ABO คือมุมระหว่างเส้น AB กับระนาบ a.

การจดสูตร ลองพิจารณาตัวอย่าง ให้มีเส้นตรงและระนาบซึ่งอธิบายโดยสมการ:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

มันง่ายที่จะคำนวณมุมที่ต้องการสำหรับวัตถุเหล่านี้ ถ้าคุณพบผลคูณสเกลาร์ระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นกับระนาบ มุมแหลมที่เป็นผลลัพธ์ควรลบออกจาก 90o จากนั้นจะได้มาระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

รูปด้านบนแสดงอัลกอริธึมที่อธิบายสำหรับการค้นหาถือว่ามุม โดยที่ β คือมุมระหว่างเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง และ α อยู่ระหว่างเส้นกับการฉายภาพบนระนาบ จะเห็นว่าผลรวมของพวกเขาคือ 90o.

ด้านบน มีการนำเสนอสูตรที่ตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการหามุมระหว่างระนาบ ตอนนี้เราให้นิพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับกรณีของเส้นตรงและระนาบ:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

โมดูลัสในสูตรอนุญาตให้คำนวณเฉพาะมุมแหลมเท่านั้น ฟังก์ชันอาร์กไซน์ปรากฏขึ้นแทนอาร์คโคไซน์เนื่องจากการใช้สูตรการรีดิวซ์ที่สอดคล้องกันระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α))

ปัญหา: เครื่องบินตัดกับเส้นตรง

ตอนนี้เรามาดูวิธีการทำงานกับสูตรข้างต้นกัน มาแก้ปัญหากันเถอะ: จำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างแกน y กับระนาบที่กำหนดโดยสมการ:

y - z + 12=0

เครื่องบินลำนี้อยู่ในภาพ

คุณจะเห็นว่ามันตัดแกน y และ z ที่จุด (0; -12; 0) และ (0; 0; 12) ตามลำดับ และขนานกับแกน x

เวกเตอร์ทิศทางของเส้น y มีพิกัด (0; 1; 0). เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดมีลักษณะเป็นพิกัด (0; 1; -1) เราใช้สูตรสำหรับมุมตัดของเส้นตรงและระนาบ เราได้

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

ปัญหา: เส้นตรงขนานกับเครื่องบิน

มาตัดสินใจกันคล้ายกับปัญหาที่แล้วซึ่งคำถามที่ถูกวางแตกต่างออกไป รู้จักสมการระนาบและเส้นตรง:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

จำเป็นต้องค้นหาว่าวัตถุเรขาคณิตเหล่านี้ขนานกันหรือไม่

เรามีเวกเตอร์สองตัว: ทิศทางของเส้นตรงคือ (0; 2; 2) และทิศทางของระนาบคือ (1; 1; -1) ค้นหาผลิตภัณฑ์ dot ของพวกเขา:

01 + 12 - 12=0

ศูนย์ที่เป็นผลลัพธ์แสดงว่ามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้คือ 90o ซึ่งพิสูจน์ว่าเส้นและระนาบขนานกัน

ตอนนี้เรามาดูกันว่าเส้นนี้เป็นเพียงเส้นขนานหรืออยู่ในระนาบด้วย ในการดำเนินการนี้ ให้เลือกจุดใดก็ได้บนเส้นและตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นของระนาบหรือไม่ ตัวอย่างเช่น ลองหา λ=0 จากนั้นจุด P(1; 0; 0) เป็นของเส้น แทนที่ลงในสมการของระนาบ P:

1 - 3=-2 ≠ 0

จุด P ไม่ได้อยู่ในระนาบ ซึ่งหมายความว่าทั้งเส้นไม่อยู่ในนั้นเช่นกัน

การรู้มุมระหว่างวัตถุเรขาคณิตที่พิจารณามีความสำคัญที่ไหน

สูตรข้างต้นและตัวอย่างการแก้ปัญหาไม่ได้เป็นเพียงความสนใจทางทฤษฎีเท่านั้น มักใช้เพื่อกำหนดปริมาณทางกายภาพที่สำคัญของตัวเลขสามมิติจริง เช่น ปริซึมหรือปิรามิด สิ่งสำคัญคือต้องสามารถกำหนดมุมระหว่างระนาบเมื่อคำนวณปริมาตรของตัวเลขและพื้นที่ของพื้นผิวได้ ยิ่งกว่านั้นถ้าในกรณีของปริซึมตรงเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้สูตรเหล่านี้เพื่อกำหนดค่าที่ระบุ ดังนั้นสำหรับปิรามิดประเภทใดก็ตาม การใช้งานนั้นย่อมหลีกเลี่ยงไม่ได้

ด้านล่าง ลองพิจารณาตัวอย่างการใช้ทฤษฎีข้างต้นกำหนดมุมของปิรามิดที่มีฐานสี่เหลี่ยม

ปิรามิดและมุมปิรามิด

รูปด้านล่างเป็นรูปปิรามิดที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน a ความสูงของรูปคือ h ต้องหาสองมุม:

ระหว่างพื้นผิวด้านข้างและฐาน;
ระหว่างซี่โครงข้างกับฐาน

ในการแก้ปัญหา ก่อนอื่นคุณต้องเข้าสู่ระบบพิกัดและกำหนดพารามิเตอร์ของจุดยอดที่สอดคล้องกัน จากรูปแสดงว่าจุดกำเนิดของพิกัดตรงกับจุดศูนย์กลางของฐานสี่เหลี่ยม ในกรณีนี้ ระนาบฐานถูกอธิบายโดยสมการ:

z=0

นั่นคือ สำหรับ x และ y ใดๆ ค่าของพิกัดที่สามจะเป็นศูนย์เสมอ ระนาบด้านข้าง ABC ตัดกับแกน z ที่จุด B(0; 0; h) และแกน y ที่จุดด้วยพิกัด (0; a/2; 0) มันไม่ข้ามแกน x ซึ่งหมายความว่าสมการของระนาบ ABC สามารถเขียนได้ดังนี้: