บ่อยครั้งในชีวิตเราต้องเผชิญกับความจำเป็นในการประเมินโอกาสของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ไม่ว่าจะเป็นการซื้อลอตเตอรีหรือไม่ก็ตามเพศของลูกคนที่สามในครอบครัวจะเป็นอย่างไรไม่ว่าพรุ่งนี้อากาศจะแจ่มใสหรือฝนจะตกอีกครั้ง - มีตัวอย่างมากมายเช่นนี้ ในกรณีที่ง่ายที่สุด คุณควรหารจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจด้วยจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด ถ้าจับสลากมี 10 ใบ และมีทั้งหมด 50 ใบ โอกาสถูกรางวัล 10/50=0.2 คือ 20 ต่อ 100 แต่ถ้ามีหลายเหตุการณ์และใกล้เคียงกัน ที่เกี่ยวข้อง? ในกรณีนี้ เราจะไม่สนใจเรื่องง่ายๆ อีกต่อไป แต่เป็นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ค่านี้คืออะไรและคำนวณได้อย่างไร - จะกล่าวถึงในบทความของเรา
แนวคิด
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือโอกาสที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น เนื่องจากเหตุการณ์อื่นที่เกี่ยวข้องได้เกิดขึ้นแล้ว พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ กับโยนเหรียญ หากยังไม่มีการเสมอกัน โอกาสในการได้หัวหรือก้อยจะเท่าเดิม แต่ถ้าห้าครั้งติดต่อกันที่เหรียญวางเสื้อคลุมแขนขึ้น จากนั้นตกลงที่จะคาดหวังวันที่ 6, 7 และมากยิ่งขึ้นดังนั้นการทำซ้ำครั้งที่ 10 ของผลลัพธ์ดังกล่าวจะไร้เหตุผล ทุกครั้งที่มุ่งหน้าซ้ำ โอกาสที่หางจะปรากฏขึ้นและไม่ช้าก็เร็วหลุดออกมา
สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
มาดูวิธีการคำนวณค่านี้กัน ให้เรากำหนดให้เหตุการณ์แรกเป็น B และครั้งที่สองเป็น A หากโอกาสในการเกิดของ B แตกต่างจากศูนย์ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะมีผลบังคับใช้:
P (A|B)=P (AB) / P (B) โดยที่:
- P (A|B) – ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของผลลัพธ์ A;
- P (AB) - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A และ B ร่วมกัน;
- P (B) – ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B.
เปลี่ยนอัตราส่วนนี้เล็กน้อย จะได้ P (AB)=P (A|B)P (B) และถ้าเราใช้วิธีการเหนี่ยวนำ เราก็จะได้สูตรผลิตภัณฑ์และใช้สำหรับจำนวนเหตุการณ์ตามอำเภอใจ:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
ฝึกหัด
เพื่อให้เข้าใจวิธีคำนวณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ได้ง่ายขึ้น มาดูตัวอย่างกัน สมมติว่ามีแจกันที่บรรจุช็อกโกแลต 8 ชิ้นและมินต์ 7 ชิ้น พวกมันมีขนาดเท่ากันและสุ่มสองคนถูกดึงออกมาตามลำดับ โอกาสที่ทั้งคู่จะเป็นช็อคโกแล็ตมีมากน้อยแค่ไหน? ให้เราแนะนำสัญกรณ์ ให้ผล A หมายความว่าขนมแรกเป็นช็อคโกแลต ผล B คือขนมช็อคโกแลตที่สอง จากนั้นคุณจะได้สิ่งต่อไปนี้:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
ลองพิจารณาอีกสักกรณีหนึ่ง สมมติว่ามีครอบครัวลูกสองคน และเรารู้ว่าเด็กอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นผู้หญิง
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่พ่อแม่เหล่านี้ยังไม่มีลูกชายเป็นเท่าไหร่? อย่างในกรณีก่อนหน้านี้ เราเริ่มต้นด้วยสัญกรณ์ ให้ P(B) เป็นความน่าจะเป็นที่ในครอบครัวมีเด็กผู้หญิงอย่างน้อยหนึ่งคน P(A|B) เป็นความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองเป็นเด็กผู้หญิงด้วย P(AB) เป็นโอกาสที่มีเด็กผู้หญิงสองคนเข้า ครอบครัว. ทีนี้มาทำการคำนวณกัน โดยรวมแล้ว เพศของเด็กสามารถผสมกันได้ 4 แบบ และในกรณีนี้ ในกรณีเดียวเท่านั้น (เมื่อมีเด็กชายสองคนในครอบครัว) จะไม่มีเด็กผู้หญิงในหมู่เด็ก ดังนั้น ความน่าจะเป็น P (B)=3/4 และ P (AB)=1/4 จากนั้นตามสูตรของเรา เราจะได้
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
ผลลัพธ์สามารถตีความได้ดังนี้: หากเราไม่รู้เพศของเด็กคนหนึ่ง โอกาสที่เด็กผู้หญิงสองคนจะเป็น 25 ต่อ 100 แต่เนื่องจากเรารู้ว่าเด็กคนหนึ่งเป็นเด็กผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวของเด็กผู้ชายไม่ เพิ่มขึ้นถึงหนึ่งในสาม