ในเรขาคณิต หลังจากจุดหนึ่ง เส้นตรงอาจเป็นองค์ประกอบที่ง่ายที่สุด ใช้ในการก่อสร้างตัวเลขที่ซับซ้อนบนเครื่องบินและในพื้นที่สามมิติ ในบทความนี้ เราจะพิจารณาสมการทั่วไปของเส้นตรงและแก้ปัญหาสองสามข้อโดยใช้สมการนี้ เริ่มกันเลย!
เส้นตรงในเรขาคณิต
ใครๆ ก็รู้ว่ารูปทรงต่างๆ เช่น สี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม ปริซึม ลูกบาศก์ และอื่นๆ เกิดจากการตัดกันเป็นเส้นตรง เส้นตรงในเรขาคณิตเป็นวัตถุหนึ่งมิติที่ได้มาโดยการถ่ายโอนจุดหนึ่งไปยังเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันหรือตรงกันข้าม เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความนี้มากขึ้น ให้จินตนาการว่ามีจุด P ในช่องว่าง หาเวกเตอร์ u¯ ตามอำเภอใจในช่องว่างนี้ จากนั้นจุด Q ใดๆ ของเส้นสามารถหาได้จากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้:
Q=P + λu¯.
ที่นี่ λ เป็นจำนวนที่บวกหรือลบได้ตามใจชอบ หากเท่าเทียมกันเขียนในรูปของพิกัดด้านบน แล้วเราจะได้สมการเส้นตรงดังนี้
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
ความเสมอภาคนี้เรียกว่าสมการของเส้นตรงในรูปเวกเตอร์ และเวกเตอร์ u¯ เรียกว่าไกด์
สมการทั่วไปของเส้นตรงในระนาบ
นักเรียนทุกคนเขียนได้ไม่ยาก แต่ส่วนใหญ่มักจะเขียนสมการแบบนี้:
y=kx + b.
โดยที่ k และ b เป็นตัวเลขใดๆ หมายเลข b เรียกว่าสมาชิกฟรี พารามิเตอร์ k เท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากจุดตัดของเส้นตรงที่มีแกน x
สมการข้างต้นแสดงเทียบกับตัวแปร y ถ้าเรานำเสนอในรูปแบบทั่วไปมากขึ้น เราก็จะได้สัญลักษณ์ต่อไปนี้:
Ax + By + C=0.
มันง่ายที่จะแสดงว่ารูปแบบการเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงบนระนาบนี้แปลงเป็นรูปแบบก่อนหน้าได้อย่างง่ายดาย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ส่วนซ้ายและขวาควรหารด้วยตัวประกอบ B และแสดง y
รูปด้านบนแสดงเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด
เส้นในอวกาศ 3 มิติ
มาเรียนกันต่อครับ เราพิจารณาคำถามว่าสมการของเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปถูกกำหนดบนระนาบได้อย่างไร หากเราใช้สัญกรณ์ที่ระบุในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความสำหรับกรณีเชิงพื้นที่ เราจะได้อะไร? ทุกอย่างเรียบง่าย - ไม่เป็นเส้นตรงอีกต่อไป แต่เป็นระนาบ อันที่จริง นิพจน์ต่อไปนี้อธิบายระนาบที่ขนานกับแกน z:
Ax + By + C=0.
ถ้า C=0 เครื่องบินก็จะผ่านไปผ่านแกน z นี่เป็นคุณสมบัติที่สำคัญ
แล้วจะเป็นเช่นไรกับสมการทั่วไปของเส้นตรงในอวกาศ? เพื่อให้เข้าใจวิธีการถาม คุณต้องจำบางอย่าง เครื่องบินสองลำตัดกันตามเส้นตรงเส้นหนึ่ง สิ่งนี้หมายความว่า? เฉพาะว่าสมการทั่วไปเป็นผลจากการแก้ระบบสมการสองสมการสำหรับระนาบเท่านั้น มาเขียนระบบนี้กันเถอะ:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
ระบบนี้เป็นสมการทั่วไปของเส้นตรงในอวกาศ โปรดทราบว่าระนาบต้องไม่ขนานกัน กล่าวคือ เวกเตอร์ปกติของพวกมันจะต้องเอียงในมุมหนึ่งที่สัมพันธ์กัน มิฉะนั้นระบบจะไม่มีทางแก้ไข
ด้านบนเราให้รูปแบบเวกเตอร์ของสมการสำหรับเส้นตรง สะดวกในการใช้เมื่อแก้ระบบนี้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหาผลคูณเวกเตอร์ของเส้นปกติของระนาบเหล่านี้ก่อน ผลลัพธ์ของการดำเนินการนี้จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง จากนั้นควรคำนวณจุดใดๆ ที่เป็นของเส้น ในการดำเนินการนี้ คุณต้องตั้งค่าตัวแปรใดๆ ให้เท่ากับค่าหนึ่ง ตัวแปรสองตัวที่เหลือสามารถพบได้โดยการแก้ระบบรีดิวซ์
จะแปลงสมการเวกเตอร์เป็นสมการทั่วไปได้อย่างไร ความแตกต่าง
นี่คือปัญหาที่เกิดขึ้นจริงหากคุณต้องการเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงโดยใช้พิกัดที่ทราบของจุดสองจุดให้เราแสดงวิธีแก้ปัญหานี้ด้วยตัวอย่าง ให้ทราบพิกัดของสองจุด:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
สมการในรูปเวกเตอร์นั้นง่ายต่อการเขียน พิกัดเวกเตอร์ทิศทางคือ:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
โปรดทราบว่าไม่มีความแตกต่างหากเราลบพิกัด Q จากพิกัดของจุด P เวกเตอร์จะเปลี่ยนทิศทางของมันไปทางตรงกันข้ามเท่านั้น ตอนนี้คุณควรใช้จุดใดก็ได้แล้วเขียนสมการเวกเตอร์:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
ในการเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรง พารามิเตอร์ λ ควรแสดงทั้งสองกรณี แล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์ เรามี:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
มันยังคงเป็นเพียงการเปิดวงเล็บและโอนเงื่อนไขทั้งหมดของสมการไปที่ด้านหนึ่งของสมการเพื่อให้ได้นิพจน์ทั่วไปสำหรับเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่รู้จัก
ในกรณีของปัญหาสามมิติ อัลกอริธึมของการแก้ปัญหาจะถูกรักษาไว้ ผลลัพธ์ของมันจะเป็นระบบของสมการสองสมการสำหรับระนาบเท่านั้น
งาน
จำเป็นต้องสร้างสมการทั่วไปเส้นตรงที่ตัดแกน x ที่ (-3, 0) และขนานกับแกน y
มาเริ่มแก้ปัญหาโดยการเขียนสมการในรูปเวกเตอร์กัน เนื่องจากเส้นขนานกับแกน y ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นจึงเป็นดังนี้:
u¯=(0, 1).
จากนั้นบรรทัดที่ต้องการจะถูกเขียนดังนี้:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
ตอนนี้ ให้แปลนิพจน์นี้เป็นรูปแบบทั่วไป สำหรับสิ่งนี้ เราแสดงพารามิเตอร์ λ:
- x=-3;
- y=λ.
ดังนั้น ค่าใดๆ ของตัวแปร y จะเป็นของบรรทัด อย่างไรก็ตาม มีเพียงค่าเดียวของตัวแปร x เท่านั้นที่สอดคล้องกับค่านั้น ดังนั้นสมการทั่วไปจะอยู่ในรูปแบบ:
x + 3=0.
ปัญหาเกี่ยวกับเส้นตรงในช่องว่าง
เป็นที่ทราบกันว่าระนาบที่ตัดกันสองระนาบถูกกำหนดโดยสมการต่อไปนี้:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
จำเป็นต้องหาสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ระนาบเหล่านี้ตัดกัน เริ่มกันเลย
ดังที่กล่าวไว้ สมการทั่วไปของเส้นตรงในปริภูมิสามมิติมีอยู่แล้วในรูปของระบบสองที่มีสามนิรนาม ก่อนอื่น เรากำหนดเวกเตอร์ทิศทางที่ระนาบตัดกัน การคูณพิกัดเวกเตอร์ของเส้นตั้งฉากกับระนาบ เราจะได้
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
เนื่องจากการคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนลบกลับทิศทาง เราจึงเขียนได้ว่า:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
ถึงในการหานิพจน์เวกเตอร์สำหรับเส้นตรง นอกจากเวกเตอร์ทิศทางแล้ว เราควรรู้จุดหนึ่งของเส้นตรงนี้ด้วย ค้นหาเนื่องจากพิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามระบบสมการในเงื่อนไขของปัญหาแล้วเราจะหามันเจอ ตัวอย่างเช่น ลองใส่ x=0 แล้วเราจะได้
y=z;
y=3/2=1, 5.
ดังนั้น จุดที่เป็นของเส้นตรงที่ต้องการจึงมีพิกัด:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
จากนั้นเราก็ได้คำตอบของปัญหานี้ สมการเวกเตอร์ของเส้นที่ต้องการจะออกมาเป็น:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
สามารถตรวจสอบความถูกต้องของสารละลายได้ง่าย ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเลือกค่าที่กำหนดเองของพารามิเตอร์ λ และแทนที่พิกัดที่ได้รับของจุดเส้นตรงเป็นสมการทั้งสองของระนาบ คุณจะได้ข้อมูลประจำตัวในทั้งสองกรณี