นี่อะไร - โคน? ความหมาย คุณสมบัติ สูตร และตัวอย่างการแก้ปัญหา

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

กรวยเป็นหนึ่งในตัวเลขเชิงพื้นที่ของการหมุน ลักษณะและคุณสมบัติที่ศึกษาโดยสเตอริโอเมทรี ในบทความนี้ เราจะนิยามตัวเลขนี้และพิจารณาสูตรพื้นฐานที่เชื่อมพารามิเตอร์เชิงเส้นตรงของกรวยกับพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย

โคนคืออะไร

จากมุมมองของเรขาคณิต เรากำลังพูดถึงรูปทรงเชิงพื้นที่ซึ่งเกิดขึ้นจากชุดของส่วนตรงที่เชื่อมต่อจุดหนึ่งในอวกาศกับจุดทั้งหมดที่เป็นเส้นโค้งเรียบเรียบ เส้นโค้งนี้อาจเป็นวงกลมหรือวงรีก็ได้ รูปด้านล่างแสดงกรวย

รูปที่นำเสนอไม่มีปริมาตร เนื่องจากผนังของพื้นผิวมีความหนาเพียงเล็กน้อย อย่างไรก็ตาม ถ้ามันเต็มไปด้วยสารและถูกล้อมรอบจากด้านบนไม่ใช่เส้นโค้ง แต่ด้วยรูปร่างแบนๆ เช่น วงกลม เราก็จะได้ตัวปริมาตรที่เป็นของแข็ง ซึ่งเรียกกันทั่วไปว่ากรวย

รูปทรงกรวยมักพบเห็นได้ในชีวิต ดังนั้นจึงมีไอศกรีมโคนหรือกรวยจราจรสีดำและส้มที่ติดบนถนนเพื่อดึงดูดความสนใจของผู้เข้าร่วมการจราจร

องค์ประกอบของกรวยและประเภทของมัน

เนื่องจากกรวยไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยม จำนวนองค์ประกอบที่ก่อตัวจึงไม่ใหญ่เท่ากับรูปทรงหลายเหลี่ยม ในเรขาคณิต กรวยทั่วไปประกอบด้วยองค์ประกอบต่อไปนี้:

• ฐาน เส้นโค้งขอบเขตที่เรียกว่าไดเร็กทริกซ์หรือ generatrix;
• ของพื้นผิวด้านข้าง ซึ่งเป็นจุดรวมของส่วนเส้นตรงทั้งหมด (ทั่วไป) ที่เชื่อมระหว่างจุดยอดและจุดของเส้นโค้งไกด์
• จุดยอด ซึ่งเป็นจุดตัดของรุ่นพี่

หมายเหตุว่าจุดยอดต้องไม่อยู่ในระนาบของฐาน เนื่องจากในกรณีนี้กรวยจะเสื่อมสภาพเป็นรูปแบน

ถ้าเราวาดส่วนตั้งฉากจากบนลงล่าง เราจะได้ความสูงของรูป หากฐานสุดท้ายตัดกันที่จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต แสดงว่าเป็นทรงกรวยตรง หากเส้นตั้งฉากไม่ตรงกับจุดศูนย์กลางเรขาคณิตของฐาน รูปจะเอียง

โคนตรงและเฉียงอยู่ในรูป ที่นี่ความสูงและรัศมีของฐานของกรวยแสดงด้วย h และ r ตามลำดับ เส้นที่เชื่อมระหว่างส่วนบนของร่างกับศูนย์กลางทางเรขาคณิตของฐานคือแกนของกรวย สังเกตได้จากรูปที่สำหรับรูปร่างตรง ความสูงอยู่บนแกนนี้ และสำหรับรูปร่างเอียง ความสูงจะสร้างมุมกับแกน แกนของกรวยแสดงด้วยตัวอักษร a.

โคนตรงฐานกลม

บางที รูปทรงกรวยนี้อาจเป็นตัวเลขที่พบได้บ่อยที่สุด ประกอบด้วยวงกลมและด้านพื้นผิว ไม่ยากที่จะได้รับโดยวิธีทางเรขาคณิต เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้สามเหลี่ยมมุมฉากแล้วหมุนไปรอบ ๆ แกนที่ประจวบกับขาข้างหนึ่ง เห็นได้ชัดว่าขานี้จะกลายเป็นความสูงของร่าง และความยาวของขาที่สองของรูปสามเหลี่ยมจะสร้างรัศมีของฐานของรูปกรวย แผนภาพด้านล่างแสดงให้เห็นถึงรูปแบบที่อธิบายไว้สำหรับการได้รับตัวเลขการหมุนที่เป็นปัญหา

รูปสามเหลี่ยมที่วาดไว้สามารถหมุนรอบขาอีกข้างหนึ่งได้ ซึ่งจะส่งผลให้มีรูปกรวยที่มีรัศมีฐานที่ใหญ่กว่าและความสูงต่ำกว่าขาแรก

เพื่อกำหนดพารามิเตอร์ทั้งหมดของกรวยตรงทรงกลมอย่างไม่น่าสงสัย เราควรทราบลักษณะเชิงเส้นสองประการใดๆ ของมัน ในหมู่พวกเขารัศมี r ความสูง h หรือความยาวของ generatrix g มีความโดดเด่น ปริมาณทั้งหมดเหล่านี้เป็นความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่พิจารณา ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงใช้ได้กับการเชื่อมต่อของมัน:

g²=r²+ h^2.

พื้นผิว

เมื่อศึกษาพื้นผิวของรูปทรงสามมิติ จะสะดวกที่จะใช้การพัฒนาบนเครื่องบิน กรวยก็ไม่มีข้อยกเว้น สำหรับกรวยกลม การพัฒนาแสดงอยู่ด้านล่าง

เราเห็นว่าการตีแผ่ของร่างนั้นประกอบด้วยสองส่วน:

1. วงกลมที่เป็นฐานของกรวย
2. เซกเตอร์ของวงกลมซึ่งเป็นพื้นผิวรูปกรวยของร่าง

พื้นที่ของวงกลมนั้นหาง่าย และนักเรียนทุกคนก็รู้จักสูตรที่สอดคล้องกัน เมื่อพูดถึงภาควงกลม เราสังเกตว่ามันเป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่มีรัศมี g (ความยาวของกำเนิดของกรวย) ความยาวของส่วนโค้งของส่วนนี้เท่ากับเส้นรอบวงของฐาน พารามิเตอร์เหล่านี้ทำให้สามารถระบุพื้นที่ได้อย่างชัดเจน สูตรที่สอดคล้องกันคือ:

S=pir2+ pirg.

คำแรกและคำที่สองในนิพจน์คือรูปกรวยของฐานและพื้นผิวด้านข้างของพื้นที่ตามลำดับ

ถ้าไม่ทราบความยาวของตัวสร้าง g แต่ให้ความสูง h ของรูป จากนั้นสูตรสามารถเขียนใหม่เป็น:

S=pir²+ pir√(r²+ ชั่วโมง^2).

ปริมาณของรูป

ถ้าเรานำพีระมิดเส้นตรงและเพิ่มจำนวนด้านของฐานที่ระยะอนันต์ รูปร่างของฐานจะมีแนวโน้มเป็นวงกลม และพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดจะเข้าใกล้พื้นผิวทรงกรวย การพิจารณาเหล่านี้ทำให้เราสามารถใช้สูตรสำหรับปริมาตรของปิรามิดเมื่อคำนวณค่าที่ใกล้เคียงกันสำหรับรูปกรวย หาปริมาตรของกรวยโดยใช้สูตร:

V=1/3hS_o.

สูตรนี้เป็นจริงเสมอ ไม่ว่าฐานของกรวยจะเป็นอย่างไร โดยมีพื้นที่ S_{o นอกจากนี้ สูตรนี้ใช้กับกรวยเฉียงด้วย}

เนื่องจากเรากำลังศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงตรงที่มีฐานกลม เราจึงสามารถใช้นิพจน์ต่อไปนี้เพื่อกำหนดปริมาตรของมัน:

V=1/3hpir2.

สูตรมันชัดเจน

ปัญหาการหาพื้นที่ผิวและปริมาตร

ให้กรวยมีรัศมี 10 ซม. และความยาวของตัวกำเนิดคือ 20ดูจำเป็นต้องกำหนดปริมาตรและพื้นที่ผิวสำหรับรูปร่างนี้

ในการคำนวณพื้นที่ S คุณสามารถใช้สูตรที่เขียนด้านบนนี้ได้ทันที เรามี:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

ในการหาปริมาตร คุณต้องรู้ความสูง h ของรูปก่อน เราคำนวณโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์เชิงเส้นของกรวย เราได้:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 ซม.}

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับ V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

สังเกตว่าปริมาตรของกรวยกลมคือหนึ่งในสามของทรงกระบอกที่มันจารึกไว้