สูตรกำหนดปริมาตรของทรงกรวย ตัวอย่างการแก้ปัญหา

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

นักเรียนแต่ละคนในการศึกษา stereometry ในโรงเรียนมัธยมปลายเจอรูปกรวย ลักษณะสำคัญสองประการของรูปทรงเชิงพื้นที่นี้คือพื้นที่ผิวและปริมาตร ในบทความนี้ เราจะแสดงวิธีหาปริมาตรของกรวยทรงกลม

โคนทรงกลมเป็นรูปการหมุนของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะไปที่หัวข้อของบทความโดยตรง จำเป็นต้องอธิบายกรวยจากมุมมองทางเรขาคณิต

ให้มีสามเหลี่ยมมุมฉากบ้าง. หากคุณหมุนไปรอบ ๆ ขาใด ๆ ผลลัพธ์ของการกระทำนี้จะเป็นตัวเลขที่ต้องการ ดังแสดงในรูปด้านล่าง

ที่นี่ ขา AB เป็นส่วนหนึ่งของแกนของกรวย และความยาวสอดคล้องกับความสูงของร่าง ขาที่สอง (ส่วน CA) จะเป็นรัศมีของกรวย ในระหว่างการหมุน มันจะอธิบายวงกลมที่ล้อมรอบฐานของร่าง ด้านตรงข้ามมุมฉาก BC เรียกว่า generatrix ของรูป หรือ generatrix ของมัน จุด B คือจุดยอดเพียงจุดเดียวของกรวย

จากคุณสมบัติของสามเหลี่ยม ABC เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ระหว่างตัวกำเนิด g รัศมี r และความสูง h ได้ดังนี้ความเท่าเทียมกัน:

g²=h²+ r²

สูตรนี้มีประโยชน์ในการแก้ปัญหาเรขาคณิตจำนวนมากกับตัวเลขที่เป็นปัญหา

สูตรปริมาตรกรวย

ปริมาตรของรูปทรงเชิงพื้นที่ใด ๆ คือพื้นที่ของพื้นที่ซึ่งถูก จำกัด ด้วยพื้นผิวของรูปนี้ มีพื้นผิวสองแบบนี้สำหรับกรวย:

1. ด้านข้างหรือทรงกรวย มันถูกสร้างขึ้นโดยคนทั่วไปทั้งหมด
2. รองพื้น. ในกรณีนี้ มันคือวงกลม

รับสูตรการหาปริมาตรของกรวย ในการทำเช่นนี้เราตัดมันออกเป็นหลายชั้นขนานกับฐาน แต่ละชั้นมีความหนา dx ซึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์ พื้นที่ S_x ของเลเยอร์ที่ระยะห่าง x จากด้านบนของรูปเท่ากับนิพจน์ต่อไปนี้:

S_x=pir²x²/h ²

ความถูกต้องของนิพจน์นี้สามารถตรวจสอบได้โดยสัญชาตญาณโดยการแทนที่ค่า x=0 และ x=h ในกรณีแรกเราจะได้พื้นที่เท่ากับศูนย์ กรณีที่ 2 จะเท่ากับพื้นที่ฐานกลม

ในการหาปริมาตรของกรวย คุณต้องบวก "ปริมาตร" เล็กๆ ของแต่ละเลเยอร์ นั่นคือ คุณควรใช้แคลคูลัสอินทิกรัล:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

การคำนวณอินทิกรัลนี้ เรามาถึงสูตรสุดท้ายสำหรับกรวยกลม:

V=1/3pir²h

น่าสนใจที่จะทราบว่าสูตรนี้คล้ายกับสูตรที่ใช้คำนวณปริมาตรของปิรามิดตามอำเภอใจอย่างสิ้นเชิง ความบังเอิญนี้ไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญ เพราะปิรามิดใดๆ จะกลายเป็นรูปกรวยเมื่อจำนวนขอบของมันเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์

ปัญหาการคำนวณปริมาณ

เป็นตัวอย่างการแก้ปัญหาที่เป็นประโยชน์ ซึ่งจะแสดงการใช้สูตรที่ได้รับสำหรับปริมาตร V

ให้รูปกรวยกลมที่มีพื้นที่ฐาน 37 ซม.² และเครื่องกำเนิดของรูปคือรัศมีสามเท่า กรวยมีปริมาตรเท่าไร

เรามีสิทธิ์ใช้สูตรปริมาตรถ้ารู้ค่าสองปริมาณ: ความสูง h และรัศมี r มาหาสูตรที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหากันเถอะ

รัศมี r สามารถคำนวณได้โดยรู้พื้นที่ของวงกลม S_o เรามี:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

โดยใช้เงื่อนไขของปัญหา เราเขียนความเท่าเทียมกันสำหรับตัวกำเนิด g:

g=3r=3√(S_o/pi)

รู้สูตรสำหรับ r และ g คำนวณส่วนสูง h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

เราพบพารามิเตอร์ที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว ตอนนี้ได้เวลารวมเข้ากับสูตรสำหรับ V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

ยังคงทดแทนพื้นที่ฐาน S_o และคำนวณค่าปริมาตร: V=119.75 cm³.