นักเรียนแต่ละคนในการศึกษา stereometry ในโรงเรียนมัธยมปลายเจอรูปกรวย ลักษณะสำคัญสองประการของรูปทรงเชิงพื้นที่นี้คือพื้นที่ผิวและปริมาตร ในบทความนี้ เราจะแสดงวิธีหาปริมาตรของกรวยทรงกลม
โคนทรงกลมเป็นรูปการหมุนของสามเหลี่ยมมุมฉาก
ก่อนที่จะไปที่หัวข้อของบทความโดยตรง จำเป็นต้องอธิบายกรวยจากมุมมองทางเรขาคณิต
ให้มีสามเหลี่ยมมุมฉากบ้าง. หากคุณหมุนไปรอบ ๆ ขาใด ๆ ผลลัพธ์ของการกระทำนี้จะเป็นตัวเลขที่ต้องการ ดังแสดงในรูปด้านล่าง
ที่นี่ ขา AB เป็นส่วนหนึ่งของแกนของกรวย และความยาวสอดคล้องกับความสูงของร่าง ขาที่สอง (ส่วน CA) จะเป็นรัศมีของกรวย ในระหว่างการหมุน มันจะอธิบายวงกลมที่ล้อมรอบฐานของร่าง ด้านตรงข้ามมุมฉาก BC เรียกว่า generatrix ของรูป หรือ generatrix ของมัน จุด B คือจุดยอดเพียงจุดเดียวของกรวย
จากคุณสมบัติของสามเหลี่ยม ABC เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ระหว่างตัวกำเนิด g รัศมี r และความสูง h ได้ดังนี้ความเท่าเทียมกัน:
g2=h2+ r2
สูตรนี้มีประโยชน์ในการแก้ปัญหาเรขาคณิตจำนวนมากกับตัวเลขที่เป็นปัญหา
สูตรปริมาตรกรวย
ปริมาตรของรูปทรงเชิงพื้นที่ใด ๆ คือพื้นที่ของพื้นที่ซึ่งถูก จำกัด ด้วยพื้นผิวของรูปนี้ มีพื้นผิวสองแบบนี้สำหรับกรวย:
- ด้านข้างหรือทรงกรวย มันถูกสร้างขึ้นโดยคนทั่วไปทั้งหมด
- รองพื้น. ในกรณีนี้ มันคือวงกลม
รับสูตรการหาปริมาตรของกรวย ในการทำเช่นนี้เราตัดมันออกเป็นหลายชั้นขนานกับฐาน แต่ละชั้นมีความหนา dx ซึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์ พื้นที่ Sx ของเลเยอร์ที่ระยะห่าง x จากด้านบนของรูปเท่ากับนิพจน์ต่อไปนี้:
Sx=pir2x2/h 2
ความถูกต้องของนิพจน์นี้สามารถตรวจสอบได้โดยสัญชาตญาณโดยการแทนที่ค่า x=0 และ x=h ในกรณีแรกเราจะได้พื้นที่เท่ากับศูนย์ กรณีที่ 2 จะเท่ากับพื้นที่ฐานกลม
ในการหาปริมาตรของกรวย คุณต้องบวก "ปริมาตร" เล็กๆ ของแต่ละเลเยอร์ นั่นคือ คุณควรใช้แคลคูลัสอินทิกรัล:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
การคำนวณอินทิกรัลนี้ เรามาถึงสูตรสุดท้ายสำหรับกรวยกลม:
V=1/3pir2h
น่าสนใจที่จะทราบว่าสูตรนี้คล้ายกับสูตรที่ใช้คำนวณปริมาตรของปิรามิดตามอำเภอใจอย่างสิ้นเชิง ความบังเอิญนี้ไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญ เพราะปิรามิดใดๆ จะกลายเป็นรูปกรวยเมื่อจำนวนขอบของมันเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์
ปัญหาการคำนวณปริมาณ
เป็นตัวอย่างการแก้ปัญหาที่เป็นประโยชน์ ซึ่งจะแสดงการใช้สูตรที่ได้รับสำหรับปริมาตร V
ให้รูปกรวยกลมที่มีพื้นที่ฐาน 37 ซม.2 และเครื่องกำเนิดของรูปคือรัศมีสามเท่า กรวยมีปริมาตรเท่าไร
เรามีสิทธิ์ใช้สูตรปริมาตรถ้ารู้ค่าสองปริมาณ: ความสูง h และรัศมี r มาหาสูตรที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหากันเถอะ
รัศมี r สามารถคำนวณได้โดยรู้พื้นที่ของวงกลม So เรามี:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
โดยใช้เงื่อนไขของปัญหา เราเขียนความเท่าเทียมกันสำหรับตัวกำเนิด g:
g=3r=3√(So/pi)
รู้สูตรสำหรับ r และ g คำนวณส่วนสูง h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
เราพบพารามิเตอร์ที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว ตอนนี้ได้เวลารวมเข้ากับสูตรสำหรับ V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
ยังคงทดแทนพื้นที่ฐาน So และคำนวณค่าปริมาตร: V=119.75 cm3.
