การเกิดขึ้นของแนวคิดอินทิกรัลเกิดจากความจำเป็นในการค้นหาฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟด้วยอนุพันธ์ของมัน ตลอดจนการกำหนดปริมาณงาน พื้นที่ของตัวเลขที่ซับซ้อน ระยะทางที่เดินทางด้วย พารามิเตอร์ที่สรุปโดยเส้นโค้งที่อธิบายโดยสูตรไม่เชิงเส้น
จากหลักสูตร
และฟิสิกส์รู้ว่างานมีค่าเท่ากับผลคูณของแรงและระยะทาง หากการเคลื่อนไหวทั้งหมดเกิดขึ้นที่ความเร็วคงที่หรือระยะทางถูกเอาชนะด้วยการใช้แรงเดียวกัน ทุกอย่างก็ชัดเจน คุณเพียงแค่ต้องคูณมัน อินทิกรัลของค่าคงที่คืออะไร? นี่คือฟังก์ชันเชิงเส้นของรูปแบบ y=kx+c
แต่พลังระหว่างการทำงานสามารถเปลี่ยนแปลงได้และการพึ่งพาอาศัยกันตามธรรมชาติบางอย่าง สถานการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นกับการคำนวณระยะทางที่เดินทางหากความเร็วไม่คงที่
ดังนั้น มันชัดเจนว่าอินทิกรัลมีไว้ทำอะไร คำจำกัดความเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าฟังก์ชันโดยการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่น้อยที่สุดอธิบายความหมายหลักของแนวคิดนี้อย่างเต็มที่ว่าเป็นพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบจากด้านบนโดยเส้นของฟังก์ชันและที่ ขอบตามขอบเขตของคำจำกัดความ
Jean Gaston Darboux นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ในช่วงครึ่งหลังของ XIXศตวรรษอธิบายไว้อย่างชัดเจนว่าอินทิกรัลคืออะไร เขาชี้แจงอย่างชัดเจนว่าโดยทั่วไปแล้วแม้แต่นักเรียนมัธยมต้นที่จะเข้าใจปัญหานี้ก็ไม่ยาก
สมมติว่ามีฟังก์ชันของรูปแบบที่ซับซ้อนใดๆ แกน y ซึ่งค่าของอาร์กิวเมนต์ถูกพล็อตแบ่งออกเป็นช่วงเวลาเล็ก ๆ โดยอุดมคติแล้วพวกมันมีขนาดเล็กอนันต์ แต่เนื่องจากแนวคิดของอนันต์ค่อนข้างเป็นนามธรรม มันก็เพียงพอแล้วที่จะจินตนาการถึงส่วนเล็ก ๆ ค่า ซึ่งมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก Δ (เดลต้า)
ฟังก์ชั่นกลายเป็นก้อนอิฐเล็กๆ
แต่ละค่าอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับจุดบนแกน y ซึ่งค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกันจะถูกพล็อต แต่เนื่องจากพื้นที่ที่เลือกมีสองเส้นขอบ จะมีค่าของฟังก์ชันสองค่ามากน้อยเช่นกัน
ผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่มีค่ามากกว่าด้วยการเพิ่มขึ้น Δ เรียกว่าผลรวม Darboux จำนวนมาก และแสดงเป็น S ดังนั้นค่าที่น้อยกว่าในพื้นที่จำกัด คูณด้วย Δ รวมกันทั้งหมด สร้างผลรวม Darboux ขนาดเล็ก s ส่วนนี้มีลักษณะคล้ายกับสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม เนื่องจากความโค้งของเส้นของฟังก์ชันที่มีการเพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อยนั้นสามารถละเลยได้ วิธีที่ง่ายที่สุดในการหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวคือการบวกผลคูณของค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ขึ้นและเล็กลงด้วยการเพิ่มขึ้น Δ และหารด้วยสอง นั่นคือ กำหนดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต
นี่คือสิ่งที่อินทิกรัล Darboux คือ:
s=Σf(x) Δ เป็นจำนวนเล็กน้อย;
S=Σf(x+Δ)Δ เป็นจำนวนมหาศาล
อินทิกรัลคืออะไร? พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นฟังก์ชันและขอบเขตคำจำกัดความจะเป็น:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
นั่นคือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ Darboux sums.c ขนาดใหญ่และขนาดเล็กคือค่าคงที่ซึ่งถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ในระหว่างการสร้างความแตกต่าง
จากการแสดงออกทางเรขาคณิตของแนวคิดนี้ ความหมายทางกายภาพของอินทิกรัลจะชัดเจน พื้นที่ของรูปที่แสดงโดยฟังก์ชันความเร็วและจำกัดด้วยช่วงเวลาตามแกน abscissa จะเป็นความยาวของเส้นทางที่เดินทาง
L=∫f(x)dx บนช่วงจาก t1 ถึง t2, ที่ไหน
f(x) – ฟังก์ชันความเร็ว นั่นคือสูตรที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
L – ความยาวเส้นทาง;
t1 – เวลาเริ่ม;
t2 – เวลาสิ้นสุดของการเดินทาง
ตามหลักการเดียวกันนั้น ปริมาณงานถูกกำหนด ระยะทางจะถูกวาดตาม abscissa เท่านั้น และปริมาณของแรงที่ใช้ในแต่ละจุดจะถูกวาดตามพิกัด