ปริซึมเอียงและปริมาตร ตัวอย่างการแก้ปัญหา

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

ความสามารถในการกำหนดปริมาตรของตัวเลขเชิงพื้นที่มีความสำคัญต่อการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตและทางปฏิบัติ หนึ่งในตัวเลขเหล่านี้คือปริซึม เราจะพิจารณาในบทความว่ามันคืออะไรและแสดงวิธีการคำนวณปริมาตรของปริซึมเอียง

ปริซึมในเรขาคณิตหมายความว่าอย่างไร

นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (รูปทรงหลายเหลี่ยม) ซึ่งประกอบขึ้นจากฐานที่เหมือนกันสองอันที่อยู่ในระนาบคู่ขนาน และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหลายอันที่เชื่อมต่อฐานที่ทำเครื่องหมายไว้

ฐานปริซึมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ต้องการ เช่น สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หกเหลี่ยม และอื่นๆ นอกจากนี้ จำนวนมุม (ด้าน) ของรูปหลายเหลี่ยมจะเป็นตัวกำหนดชื่อของรูป

ปริซึมใดๆ ที่มีฐาน n-gon (n คือจำนวนด้าน) ประกอบด้วย n+2 faces, 2 × n vertices และ 3 × n edge จากตัวเลขที่กำหนด จะเห็นว่าจำนวนองค์ประกอบของปริซึมสอดคล้องกับทฤษฎีบทออยเลอร์:

3 × n=2 × n + n + 2 - 2

ภาพด้านล่างแสดงให้เห็นว่าปริซึมสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมที่ทำจากแก้วเป็นอย่างไร

ประเภทของฟิกเกอร์ ปริซึมเอียง

มีการกล่าวไว้ข้างต้นแล้วว่าชื่อของปริซึมถูกกำหนดโดยจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ฐาน อย่างไรก็ตาม มีคุณลักษณะอื่นๆ ในโครงสร้างที่กำหนดคุณสมบัติของรูป ดังนั้น หากสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดที่ก่อตัวเป็นพื้นผิวด้านข้างของปริซึมแสดงด้วยสี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยม ตัวเลขดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง สำหรับปริซึมตรง ระยะห่างระหว่างฐานเท่ากับความยาวของขอบด้านข้างของสี่เหลี่ยมใดๆ

ถ้าด้านใดด้านหนึ่งหรือทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน แสดงว่าเรากำลังพูดถึงปริซึมเอียง ความสูงของมันจะน้อยกว่าความยาวของซี่โครงด้านข้าง

อีกเกณฑ์หนึ่งที่จำแนกตัวเลขที่พิจารณาคือความยาวของด้านและมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่ฐาน ถ้าเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมก็จะถูกต้อง รูปตรงที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ฐานเรียกว่าปกติ สะดวกในการใช้งานเมื่อกำหนดพื้นที่ผิวและปริมาตร ปริซึมเอียงในเรื่องนี้ทำให้เกิดปัญหา

รูปด้านล่างแสดงปริซึมสองตัวที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มุม 90° แสดงความแตกต่างพื้นฐานระหว่างปริซึมตรงและปริซึมเฉียง

สูตรกำหนดปริมาตรของตัวเลข

พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยปริซึมเรียกว่าปริมาตร สำหรับตัวเลขที่พิจารณาทุกประเภท ค่านี้สามารถกำหนดได้โดยสูตรต่อไปนี้:

V=h × S_o

ในที่นี้ สัญลักษณ์ h หมายถึงความสูงของปริซึมซึ่งเป็นการวัดระยะห่างระหว่างฐานทั้งสอง สัญลักษณ์ S_o- หนึ่งฐานสี่เหลี่ยม

พื้นที่ฐานหาง่าย จากข้อเท็จจริงที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติหรือไม่ และรู้จำนวนด้านของมัน คุณควรใช้สูตรที่เหมาะสมและรับ S_o ตัวอย่างเช่น สำหรับ n-gon ปกติที่มีความยาวด้าน a พื้นที่จะเป็น:

S=n / 4 × a^{2 ×} ctg (pi / n)

มาต่อกันที่ความสูงกันนะครับ h. สำหรับปริซึมตรง การกำหนดความสูงไม่ใช่เรื่องยาก แต่สำหรับปริซึมเฉียง นี่ไม่ใช่งานง่าย สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการทางเรขาคณิตต่างๆ โดยเริ่มจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่เฉพาะเจาะจง อย่างไรก็ตาม มีวิธีสากลในการกำหนดความสูงของร่าง อธิบายสั้น ๆ หน่อย

แนวคิดคือการหาระยะทางจากจุดในอวกาศถึงระนาบ สมมติว่าระนาบถูกกำหนดโดยสมการ:

A × x+ B × y + C × z + D=0

จากนั้นเครื่องบินจะอยู่ในระยะทาง:

h=|A × x₁ + B × y₁+ C × z₁ +D| / √ (A² + B²+ C²)

หากแกนพิกัดถูกจัดเรียงโดยจุด (0; 0; 0) อยู่ในระนาบของฐานล่างของปริซึม สมการของระนาบฐานสามารถเขียนได้ดังนี้:

z=0

นี่หมายความว่าสูตรส่วนสูงจะถูกเขียนดังนั้น:

h=z₁

การหาพิกัด z ของจุดใดๆ ของฐานบนเพื่อกำหนดความสูงของรูปก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

รูปด้านล่างแสดงปริซึมสี่เหลี่ยม ฐานของปริซึมเอียงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 10 ซม. จำเป็นต้องคำนวณปริมาตรถ้าทราบว่าขอบด้านข้างยาว 15 ซม. และมุมแหลมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหน้าผากคือ 70 °

เนื่องจากความสูง h ของรูปคือความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจึงใช้สูตรเพื่อกำหนดพื้นที่ของมันเพื่อค้นหา h แทนด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานดังนี้:

a=10cm;

b=15cm

จากนั้นคุณสามารถเขียนสูตรต่อไปนี้เพื่อกำหนดพื้นที่ S_p:

S_p=a × b × บาป (α);

S_p=a × h

จากที่เราได้มา:

h=b × บาป (α)

ที่นี่ α คือมุมแหลมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมเอียงจึงอยู่ในรูปแบบ:

V=a² × b × บาป (α)

เราแทนที่ข้อมูลจากเงื่อนไขลงในสูตรแล้วได้คำตอบ: V ≈ 1410 cm³.