การศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มต้นด้วยการแก้ปัญหาการบวกและการคูณความน่าจะเป็น เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญทันทีว่าเมื่อเชี่ยวชาญด้านความรู้นี้ นักเรียนอาจประสบปัญหา: ถ้ากระบวนการทางกายภาพหรือทางเคมีสามารถแสดงด้วยสายตาและเข้าใจได้เชิงประจักษ์ ระดับของนามธรรมทางคณิตศาสตร์จะสูงมาก และความเข้าใจในที่นี้มาเฉพาะกับ ประสบการณ์
อย่างไรก็ตาม เกมนี้คุ้มค่าที่จะเทียน เพราะสูตร - ทั้งในบทความนี้และที่ซับซ้อนกว่า - ถูกใช้ทุกที่ในปัจจุบันและอาจมีประโยชน์ในการทำงาน
กำเนิด
แรงผลักดันสำหรับการพัฒนาวิชาคณิตศาสตร์ในส่วนนี้คือ … การพนัน อันที่จริง การทอยลูกเต๋า การโยนเหรียญ โป๊กเกอร์ รูเล็ต เป็นตัวอย่างทั่วไปที่ใช้การบวกและการคูณความน่าจะเป็น จากตัวอย่างงานในตำราใด ๆ จะเห็นได้ชัดเจน ผู้คนต่างสนใจที่จะเรียนรู้วิธีเพิ่มโอกาสในการชนะ และต้องบอกว่าบางคนประสบความสำเร็จในเรื่องนี้
ตัวอย่างเช่นในศตวรรษที่ 21 คนหนึ่งซึ่งเราจะไม่เปิดเผยชื่อใช้ความรู้นี้ที่สะสมมาเป็นเวลาหลายศตวรรษเพื่อ "ทำความสะอาด" คาสิโนอย่างแท้จริง โดยได้รับรางวัลหลายสิบล้านดอลลาร์จากรูเล็ต
อย่างไรก็ตาม แม้ว่าจะมีความสนใจในวิชานี้เพิ่มขึ้น จนกระทั่งศตวรรษที่ 20 กรอบทฤษฎีได้รับการพัฒนาซึ่งทำให้ "ทฤษฎี" เป็นองค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ที่เต็มเปี่ยม ทุกวันนี้ ในเกือบทุกศาสตร์ คุณสามารถค้นหาการคำนวณโดยใช้วิธีความน่าจะเป็น
การบังคับใช้
จุดสำคัญเมื่อใช้สูตรการบวกและการคูณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือความพอใจของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง มิฉะนั้น แม้ว่านักเรียนอาจไม่รู้ แต่การคำนวณทั้งหมดไม่ว่าจะดูน่าเชื่อถือเพียงใดก็จะไม่ถูกต้อง
ใช่ ผู้เรียนที่มีแรงจูงใจสูงถูกล่อลวงให้ใช้ความรู้ใหม่ในทุกโอกาส แต่ในกรณีนี้ ควรจะช้าลงเล็กน้อยและร่างขอบเขตการบังคับใช้อย่างเคร่งครัด
ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์สุ่ม ซึ่งในแง่เชิงประจักษ์เป็นผลของการทดลอง: เราสามารถทอยลูกเต๋าหกด้าน จั่วไพ่จากสำรับ ทำนายจำนวนชิ้นส่วนที่บกพร่องในชุดงาน อย่างไรก็ตาม ในบางคำถาม เป็นไปไม่ได้อย่างแน่ชัดที่จะใช้สูตรจากคณิตศาสตร์หมวดนี้ เราจะพูดถึงคุณสมบัติของการพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ทฤษฎีบทของการบวกและการคูณเหตุการณ์ที่ท้ายบทความ แต่สำหรับตอนนี้ เรามาดูตัวอย่างกัน
แนวคิดพื้นฐาน
เหตุการณ์สุ่มหมายถึงกระบวนการหรือผลลัพธ์บางอย่างที่อาจหรือไม่ปรากฏอันเป็นผลมาจากการทดลอง ตัวอย่างเช่น เราโยนแซนวิช - มันอาจจะตกเนยหรือเนยลง ทั้งสองผลลัพธ์จะเป็นการสุ่ม และเราไม่รู้ล่วงหน้าว่าผลลัพธ์ใดจะเกิดขึ้น
เมื่อศึกษาการบวกและการคูณความน่าจะเป็น เราต้องการแนวคิดเพิ่มอีกสองแนวคิด
งานร่วมกันคืองานที่เกิดขึ้น เหตุการณ์หนึ่งไม่นับรวมอีกงานหนึ่ง สมมุติว่าคนสองคนยิงไปที่เป้าหมายพร้อมกัน หากหนึ่งในนั้นยิงได้สำเร็จ จะไม่ส่งผลต่อความสามารถในการตีหรือพลาดของอีกฝ่าย
เหตุการณ์ดังกล่าวจะไม่สอดคล้องกันซึ่งเป็นไปไม่ได้พร้อมกัน ตัวอย่างเช่น การดึงลูกบอลเพียงลูกเดียวออกจากกล่อง คุณไม่สามารถได้ทั้งสีน้ำเงินและสีแดงในคราวเดียว
การกำหนด
แนวคิดของความน่าจะเป็นแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ P ถัดไปในวงเล็บคืออาร์กิวเมนต์ที่แสดงถึงเหตุการณ์บางอย่าง
ในสูตรของทฤษฎีบทการบวก ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ทฤษฎีบทการคูณ คุณจะเห็นนิพจน์ในวงเล็บ เช่น A+B, AB หรือ A|B พวกเขาจะคำนวณด้วยวิธีต่างๆ ตอนนี้เราจะหันไปหาพวกเขา
เพิ่มเติม
ลองพิจารณากรณีที่ใช้สูตรการบวกและการคูณ
สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ สูตรการบวกที่ง่ายที่สุดมีความเกี่ยวข้อง: ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แบบสุ่มใดๆ จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการเหล่านี้
สมมุติว่ามีลูกโป่งสีน้ำเงิน 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีเหลือง 5 ลูก ในกล่องมีทั้งหมด 10 ชิ้น เปอร์เซ็นต์ของความจริงของข้อความที่ว่าเราจะจับลูกบอลสีน้ำเงินหรือสีแดงเป็นเท่าใด จะเท่ากับ 2/10 + 3/10 คือ 50 เปอร์เซ็นต์
ในกรณีของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ สูตรจะซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากมีการเพิ่มคำศัพท์เพิ่มเติม เราจะกลับไปที่มันในหนึ่งย่อหน้าหลังจากพิจารณาอีกสูตรหนึ่งแล้ว
การคูณ
การบวกและการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระจะใช้ในกรณีต่างๆ หากตามเงื่อนไขของการทดสอบ เราพอใจกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งสองอย่าง เราจะคำนวณผลรวม หากเราต้องการผลลัพธ์ที่แน่นอนสองอย่างต่อจากนี้ เราจะใช้สูตรอื่น
กลับไปที่ตัวอย่างจากส่วนก่อนหน้า เราต้องการที่จะวาดลูกบอลสีน้ำเงินก่อนแล้วจึงให้ลูกบอลสีแดง ตัวเลขแรกที่เรารู้คือ 2/10 จะเกิดอะไรขึ้นต่อไป? เหลือ 9 ลูก ยังแดงอยู่สามลูก จากการคำนวณ คุณจะได้ 3/9 หรือ 1/3 แต่จะทำอย่างไรกับตัวเลขสองตัวในตอนนี้? คำตอบที่ถูกต้องคือการคูณเพื่อให้ได้ 2/30
กิจกรรมร่วม
ตอนนี้เราทบทวนสูตรผลรวมของงานร่วมได้แล้ว ทำไมเราถึงพูดนอกเรื่องจากหัวข้อ? เพื่อเรียนรู้วิธีคูณความน่าจะเป็น ตอนนี้ความรู้นี้จะเป็นประโยชน์
เรารู้แล้วว่าสองเทอมแรกคืออะไร (เหมือนกับในสูตรการบวกที่พิจารณาก่อนหน้านี้) ตอนนี้เราต้องลบผลคูณของความน่าจะเป็นที่เราเพิ่งเรียนรู้การคำนวณ เพื่อความชัดเจน เราเขียนสูตร: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB) ปรากฎว่าใช้ทั้งการบวกและการคูณความน่าจะเป็นในหนึ่งนิพจน์
สมมุติว่าเราต้องแก้ปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่งถึงจะได้เครดิต เราสามารถแก้อันแรกด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และอันที่สอง - 0.6 วิธีแก้ปัญหา: 0.3 + 0.6 - 0.18=0.72 โปรดทราบว่าการสรุปตัวเลขที่นี่ไม่เพียงพอ
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
สุดท้าย มีแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ซึ่งอาร์กิวเมนต์ดังกล่าวจะระบุไว้ในวงเล็บและคั่นด้วยแถบแนวตั้ง รายการ P(A|B) อ่านว่า “ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่กำหนด B”.
มาดูตัวอย่างกัน: เพื่อนให้อุปกรณ์เป็นโทรศัพท์ หักได้ (20%) หรือดี (80%) คุณสามารถซ่อมแซมอุปกรณ์ใด ๆ ที่ตกอยู่ในมือของคุณด้วยความน่าจะเป็น 0.4 หรือคุณไม่สามารถทำได้ (0.6) สุดท้ายนี้ หากอุปกรณ์ใช้งานได้ดี คุณสามารถเข้าถึงคนที่ต้องการได้โดยมีโอกาส 0.7
กรณีนี้ง่ายที่จะเห็นว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขทำงานอย่างไร: คุณไม่สามารถติดต่อกับบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้หากโทรศัพท์เสีย และหากดี คุณไม่จำเป็นต้องแก้ไข ดังนั้น เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ใน "ระดับที่สอง" คุณจำเป็นต้องรู้ว่าเหตุการณ์ใดถูกดำเนินการในครั้งแรก
การคำนวณ
มาดูตัวอย่างการแก้ปัญหาเรื่องการบวกและการคูณความน่าจะเป็นโดยใช้ข้อมูลจากย่อหน้าที่แล้วกัน
อันดับแรก หาความน่าจะเป็นที่คุณซ่อมแซมอุปกรณ์ที่มอบให้คุณ ในการทำเช่นนี้ประการแรกจะต้องมีข้อผิดพลาดและประการที่สองคุณต้องรับมือกับการซ่อมแซม นี่เป็นปัญหาการคูณทั่วไป: เราได้ 0.20.4=0.08
ความน่าจะเป็นที่คุณจะเข้าถึงคนที่ใช่ทันทีเป็นเท่าไหร่? ง่ายกว่าง่าย: 0.80.7=0.56 ในกรณีนี้ คุณพบว่าโทรศัพท์ใช้งานได้และโทรออกได้สำเร็จ
สุดท้าย พิจารณาสถานการณ์นี้: คุณได้รับโทรศัพท์ที่เสีย แก้ไขแล้วกดหมายเลข และคนที่อยู่ฝั่งตรงข้ามรับโทรศัพท์ ในที่นี้จำเป็นต้องคูณสามองค์ประกอบแล้ว: 0, 20, 40, 7=0, 056.
แล้วถ้าคุณมีโทรศัพท์ที่ไม่ทำงานสองเครื่องพร้อมกันล่ะ คุณมีแนวโน้มที่จะแก้ไขอย่างน้อยหนึ่งข้อมากน้อยเพียงใด นี่เป็นปัญหาของการบวกและการคูณความน่าจะเป็น เนื่องจากมีการใช้เหตุการณ์ร่วมกัน วิธีแก้ปัญหา: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
ใช้อย่างระมัดระวัง
ดังที่กล่าวในตอนต้นของบทความ การใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นควรจะไตร่ตรองและมีสติ
ยิ่งชุดการทดลองใหญ่เท่าใด ค่าที่ทำนายตามทฤษฎีก็จะยิ่งเข้าใกล้ของจริงมากขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เรากำลังโยนเหรียญ ในทางทฤษฎี เมื่อทราบถึงการมีอยู่ของสูตรสำหรับการบวกและการคูณความน่าจะเป็น เราสามารถคาดการณ์ได้ว่าหัวและก้อยจะหลุดออกมากี่ครั้งหากเราทำการทดลอง 10 ครั้ง เราทำการทดลองและบังเอิญอัตราส่วนของด้านที่หล่นลงมาคือ 3 ต่อ 7 แต่ถ้าคุณพยายามทำอนุกรม 100, 1,000 หรือมากกว่านั้น ปรากฎว่ากราฟการแจกแจงนั้นเข้าใกล้ทางทฤษฎีมากขึ้นเรื่อยๆ: 44 ถึง 56, 482 ถึง 518 เป็นต้น
ลองนึกภาพว่าการทดลองนี้ไม่ได้ทำด้วยเหรียญ แต่ด้วยการผลิตสารเคมีชนิดใหม่ ซึ่งความน่าจะเป็นที่เราไม่รู้ เราจะทำการทดลอง 10 ครั้ง และหากเราไม่ได้ผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จ เราก็สามารถสรุปได้ว่า: "ไม่สามารถรับสารได้" แต่ใครจะรู้ถ้าเราพยายามครั้งที่สิบเอ็ด เราจะบรรลุเป้าหมายหรือไม่
ดังนั้น หากคุณกำลังเข้าสู่ดินแดนที่ไม่รู้จัก ดินแดนที่ยังไม่ได้สำรวจ ทฤษฎีความน่าจะเป็นอาจใช้ไม่ได้ ความพยายามครั้งต่อๆ ไปในกรณีนี้อาจประสบความสำเร็จ และการทำให้เป็นนัยทั่วไป เช่น "X ไม่มีอยู่" หรือ "X เป็นไปไม่ได้" จะเกิดก่อนกำหนด
ปิดคำ
เราได้ดูการบวกสองประเภทแล้ว การคูณและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ด้วยการศึกษาเพิ่มเติมในพื้นที่นี้ จำเป็นต้องเรียนรู้ที่จะแยกแยะสถานการณ์ต่าง ๆ เมื่อใช้สูตรเฉพาะแต่ละสูตร นอกจากนี้ คุณต้องเข้าใจว่าโดยทั่วไปวิธีการความน่าจะเป็นนั้นใช้ได้กับการแก้ปัญหาของคุณหรือไม่
ถ้าคุณฝึกฝน หลังจากนั้นไม่นาน คุณจะเริ่มดำเนินการที่จำเป็นทั้งหมดที่อยู่ในใจของคุณเท่านั้น สำหรับผู้ที่ชื่นชอบเกมไพ่ ทักษะนี้ถือได้ว่ามีค่ามาก - คุณจะเพิ่มโอกาสในการชนะได้อย่างมาก เพียงแค่คำนวณความน่าจะเป็นของไพ่ใบใดใบหนึ่งหรือชุดที่หลุดออกมา อย่างไรก็ตาม ความรู้ที่ได้รับสามารถนำไปใช้ในกิจกรรมอื่นๆ ได้อย่างง่ายดาย