วิชาคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่นักเรียนมีปัญหามากที่สุดคือวิชาตรีโกณมิติ ไม่น่าแปลกใจเลย: เพื่อที่จะเชี่ยวชาญด้านความรู้นี้อย่างอิสระ คุณต้องมีความคิดเชิงพื้นที่ ความสามารถในการค้นหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์โดยใช้สูตร ลดความซับซ้อนของนิพจน์ และสามารถใช้ตัวเลข pi ในการคำนวณได้ นอกจากนี้ คุณต้องใช้ตรีโกณมิติในการพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ และต้องใช้หน่วยความจำทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาแล้วหรือความสามารถในการอนุมานโซ่ตรวนที่ซับซ้อน
ต้นกำเนิดของตรีโกณมิติ
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์นี้ควรเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม แต่ก่อนอื่น คุณต้องคิดก่อนว่าตรีโกณมิติทำอะไรโดยทั่วไป
ในอดีต สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นเป้าหมายหลักของการวิจัยในวิชาคณิตศาสตร์หมวดนี้ การมีมุม 90 องศาทำให้สามารถดำเนินการต่าง ๆ ที่อนุญาตให้สองด้านหนึ่งและมุมหนึ่งหรือสองมุมและด้านหนึ่งเพื่อกำหนดค่าของพารามิเตอร์ทั้งหมดของตัวเลขที่เป็นปัญหา ในอดีต ผู้คนสังเกตเห็นรูปแบบนี้และเริ่มใช้มันอย่างแข็งขันในการสร้างอาคาร การนำทาง ดาราศาสตร์ และแม้แต่งานศิลปะ
การเริ่มต้น
ในขั้นต้น ผู้คนพูดถึงความสัมพันธ์ของมุมและด้านโดยเฉพาะในตัวอย่างของสามเหลี่ยมมุมฉาก จากนั้นจึงค้นพบสูตรพิเศษ ซึ่งทำให้สามารถขยายขอบเขตการใช้งานในชีวิตประจำวันของคณิตศาสตร์หมวดนี้
การศึกษาวิชาตรีโกณมิติที่โรงเรียนในวันนี้เริ่มต้นด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก หลังจากนั้น ความรู้ที่ได้รับจะถูกนำไปใช้โดยนักเรียนในวิชาฟิสิกส์และการแก้สมการตรีโกณมิตินามธรรม ซึ่งเริ่มดำเนินการในโรงเรียนมัธยมปลาย
ตรีโกณมิติทรงกลม
ต่อมา เมื่อวิทยาศาสตร์ไปถึงการพัฒนาระดับถัดไป สูตรที่มีไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์เริ่มถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตทรงกลม ซึ่งใช้กฎอื่น และผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมจะมากกว่าเสมอ กว่า 180 องศา ส่วนนี้ไม่มีการศึกษาที่โรงเรียน แต่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน อย่างน้อยก็เพราะพื้นผิวโลกและพื้นผิวของดาวเคราะห์ดวงอื่นมีลักษณะนูน ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายใดๆ ของพื้นผิวจะเป็น "รูปทรงโค้งมน" " ในพื้นที่สามมิติ
หยิบลูกโลกและด้าย ติดด้ายกับจุดสองจุดใดๆ ในโลกเพื่อให้ตึง ให้ความสนใจ - ได้รับรูปร่างของส่วนโค้ง มันเกี่ยวข้องกับรูปแบบดังกล่าวเรขาคณิตทรงกลมที่ใช้ในมาตร ดาราศาสตร์ และสาขาทฤษฎีและประยุกต์อื่นๆ
สามเหลี่ยมขวา
เมื่อเรียนรู้เล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการใช้ตรีโกณมิติแล้ว กลับไปที่ตรีโกณมิติพื้นฐานเพื่อทำความเข้าใจเพิ่มเติมว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์คืออะไร การคำนวณใดที่สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือและสูตรที่จะใช้
ก่อนอื่น คุณต้องเข้าใจแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉากเสียก่อน อย่างแรก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุม 90 องศา เธอเป็นคนที่ยาวที่สุด เราจำได้ว่าตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ค่าตัวเลขเท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้าน
เช่น ถ้าสองด้านยาว 3 และ 4 เซนติเมตรตามลำดับ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาว 5 เซนติเมตร อย่างไรก็ตาม ชาวอียิปต์โบราณรู้เรื่องนี้เมื่อสี่พันห้าพันปีที่แล้ว
อีกสองด้านที่เหลือที่ทำมุมฉากเรียกว่าขา นอกจากนี้ เราต้องจำไว้ว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคือ 180 องศา
คำจำกัดความ
สุดท้าย เมื่อเข้าใจฐานเรขาคณิตแล้ว เราก็สามารถเปลี่ยนนิยามของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมได้
ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (นั่นคือด้านตรงข้ามมุมที่ต้องการ) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
จำไว้ว่าไม่มีไซน์หรือโคไซน์มากกว่าหนึ่งตัว! ทำไมเนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยปริยาย ไม่ว่าขาจะยาวแค่ไหนก็จะสั้นกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนจะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ ดังนั้น หากคุณได้ไซน์หรือโคไซน์ที่มีค่ามากกว่า 1 ในคำตอบของปัญหา ให้มองหาข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือการใช้เหตุผล คำตอบนี้ผิดอย่างชัดเจน
สุดท้าย แทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด ผลลัพธ์เดียวกันจะให้การหารไซน์ด้วยโคไซน์ ดู: ตามสูตร เราหารความยาวของด้านด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก หลังจากนั้นเราหารด้วยความยาวของด้านที่สองแล้วคูณด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นเราจึงได้อัตราส่วนเดียวกับในนิยามของแทนเจนต์
โคแทนเจนต์ ตามลำดับ คืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกับมุมกับด้านตรงข้าม เราได้ผลลัพธ์เดียวกันโดยหารหน่วยด้วยแทนเจนต์
ดังนั้น เราได้พิจารณาคำจำกัดความของสิ่งที่เป็นไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ และเราสามารถจัดการกับสูตรได้
สูตรง่ายๆ
ในตรีโกณมิติไม่มีใครทำไม่ได้ถ้าไม่มีสูตร - จะหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ได้อย่างไรถ้าไม่มีพวกมัน แต่นี่คือสิ่งที่จำเป็นในการแก้ปัญหา
สูตรแรกที่คุณต้องรู้เมื่อเริ่มเรียนตรีโกณมิติบอกว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งมีค่าเท่ากับหนึ่ง สูตรนี้เป็นผลโดยตรงของทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่จะช่วยประหยัดเวลาหากคุณต้องการหาค่าของมุม ไม่ใช่ด้าน
นักเรียนหลายคนจำสูตรที่สองไม่ได้เช่นกันเป็นที่นิยมในการแก้ปัญหาของโรงเรียน: ผลรวมของหนึ่งกับกำลังสองของแทนเจนต์ของมุม เท่ากับหนึ่งหารด้วยกำลังสองของโคไซน์ของมุม พิจารณาให้ละเอียดยิ่งขึ้น: ท้ายที่สุด นี่เป็นข้อความเดียวกับในสูตรแรก เฉพาะทั้งสองด้านของเอกลักษณ์เท่านั้นที่ถูกหารด้วยกำลังสองของโคไซน์ ปรากฎว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายทำให้ไม่สามารถจดจำสูตรตรีโกณมิติได้อย่างสมบูรณ์ ข้อควรจำ: การรู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์คืออะไร กฎการแปลงและสูตรพื้นฐานสองสามสูตร คุณสามารถรับสูตรที่ซับซ้อนมากขึ้นที่จำเป็นบนแผ่นกระดาษได้ตลอดเวลา
สูตรมุมคู่และการบวกอาร์กิวเมนต์
อีกสองสูตรที่ต้องเรียนรู้เกี่ยวข้องกับค่าไซน์และโคไซน์สำหรับผลรวมและความแตกต่างของมุม จะแสดงในรูปด้านล่าง โปรดทราบว่าในกรณีแรก ไซน์และโคไซน์จะถูกคูณทั้งสองครั้ง และในกรณีที่สอง ผลิตภัณฑ์ที่เป็นคู่ของไซน์และโคไซน์จะถูกเพิ่มเข้าไป
นอกจากนี้ยังมีสูตรที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์มุมคู่ พวกมันได้มาจากอันที่แล้วทั้งหมด - ในทางปฏิบัติ พยายามหามันด้วยตัวเอง โดยหามุมของอัลฟ่าเท่ากับมุมของเบตา
สุดท้าย โปรดทราบว่าสูตรมุมคู่สามารถแปลงเพื่อลดระดับของไซน์ โคไซน์ อัลฟาแทนเจนต์ได้
ทฤษฎีบท
สองทฤษฎีบทหลักในตรีโกณมิติพื้นฐานคือ ทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทโคไซน์ ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทเหล่านี้ คุณสามารถเข้าใจวิธีการหาไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ได้อย่างง่ายดาย และด้วยเหตุนี้พื้นที่ของรูปและขนาดข้างละ ฯลฯ
ทฤษฎีบทไซน์ระบุว่าจากการหารความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วยค่าของมุมตรงข้าม เราได้จำนวนเท่ากัน นอกจากนี้ ตัวเลขนี้จะเท่ากับรัศมีสองรัศมีของวงกลมที่ถูกล้อมรอบ นั่นคือ วงกลมที่มีจุดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมที่ให้มา
ทฤษฎีบทโคไซน์ทำให้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นภาพรวมโดยฉายลงบนสามเหลี่ยมใดๆ ปรากฎว่าจากผลรวมของกำลังสองของทั้งสองด้าน ลบผลคูณคูณด้วยโคไซน์คู่ของมุมที่อยู่ติดกัน - ค่าที่ได้จะเท่ากับกำลังสองของด้านที่สาม ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงกลายเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์
ผิดพลาดเพราะไม่ใส่ใจ
แม้จะรู้ว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์คืออะไร ก็ยังทำผิดพลาดได้ง่ายเนื่องจากขาดสติหรือข้อผิดพลาดในการคำนวณที่ง่ายที่สุด เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดดังกล่าว เรามาดูข้อผิดพลาดที่ได้รับความนิยมมากที่สุดกัน
ก่อนอื่น อย่าแปลงเศษส่วนร่วมเป็นทศนิยมก่อนที่จะได้ผลลัพธ์สุดท้าย - คุณสามารถปล่อยให้คำตอบเป็นเศษส่วนร่วม เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในเงื่อนไข การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นความผิดพลาด แต่ควรจำไว้ว่าในแต่ละขั้นตอนของงาน รากใหม่อาจปรากฏขึ้น ซึ่งตามความคิดของผู้เขียนควรลดลง ในกรณีนี้ คุณจะเสียเวลากับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ไม่จำเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าต่างๆ เช่น รากของสามหรือสอง เพราะมันเกิดขึ้นในงานทุกขั้นตอน เช่นเดียวกับการปัดเศษตัวเลข "น่าเกลียด"
ต่อไป สังเกตว่าทฤษฎีบทโคไซน์ใช้กับสามเหลี่ยมใดๆ ก็ได้ แต่ไม่ใช่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส! หากคุณลืมลบผลคูณของด้านคูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างกันโดยไม่ได้ตั้งใจ คุณจะไม่เพียงแค่ได้ผลลัพธ์ที่ผิดทั้งหมด แต่ยังแสดงให้เห็นถึงความเข้าใจผิดทั้งหมดเกี่ยวกับตัวแบบอีกด้วย นี่มันแย่ยิ่งกว่าความผิดพลาดโดยประมาท
ประการที่สาม อย่าสับสนค่าของมุม 30 และ 60 องศาสำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ จำค่าเหล่านี้ไว้ เพราะไซน์ของ 30 องศา เท่ากับโคไซน์ของ 60 และในทางกลับกัน ผสมมันง่าย และคุณจะได้ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้
แอปพลิเคชัน
นักเรียนหลายคนไม่รีบร้อนที่จะเริ่มเรียนตรีโกณมิติ เพราะพวกเขาไม่เข้าใจความหมายที่ประยุกต์ใช้ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์สำหรับวิศวกรหรือนักดาราศาสตร์คืออะไร? สิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิดที่ทำให้คุณสามารถคำนวณระยะทางไปยังดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกล ทำนายการตกของอุกกาบาต ส่งยานสำรวจไปยังดาวเคราะห์ดวงอื่นได้ หากไม่มีสิ่งเหล่านี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างอาคาร ออกแบบรถยนต์ คำนวณน้ำหนักบนพื้นผิวหรือวิถีของวัตถุ และนี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุด! ท้ายที่สุด ตรีโกณมิติในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งถูกใช้ทุกที่ ตั้งแต่ดนตรีไปจนถึงการแพทย์
สรุป
คุณก็รู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์คืออะไร คุณสามารถใช้มันในการคำนวณและแก้ปัญหาโรงเรียนได้สำเร็จ
ทั้งเรื่องตรีโกณมิติจะลดลงตามข้อเท็จจริงที่ว่าตามพารามิเตอร์ที่รู้จักของรูปสามเหลี่ยม จำเป็นต้องคำนวณค่าที่ไม่รู้จัก มีพารามิเตอร์ทั้งหมดหกตัว: ความยาวของสามด้านและขนาดของสามมุม ความแตกต่างในงานทั้งหมดอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่ามีการให้ข้อมูลอินพุตต่างกัน
วิธีหาค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์จากความยาวของขาหรือด้านตรงข้ามมุมฉากที่ทราบแล้ว ตอนนี้คุณก็รู้แล้ว เนื่องจากคำศัพท์เหล่านี้ไม่ได้มีความหมายอะไรมากไปกว่าอัตราส่วน และอัตราส่วนก็คือเศษส่วน เป้าหมายหลักของปัญหาตรีโกณมิติคือการหารากของสมการธรรมดาหรือระบบสมการ และคณิตศาสตร์โรงเรียนปกติจะช่วยคุณ
