ตัวแปรคืออะไร? ตัวแปรทางคณิตศาสตร์

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

ความสำคัญของตัวแปรในวิชาคณิตศาสตร์นั้นยอดเยี่ยม เพราะในช่วงที่ดำรงอยู่ นักวิทยาศาสตร์สามารถค้นพบสิ่งต่างๆ ในพื้นที่นี้ได้ และเพื่อที่จะระบุทฤษฎีบทนี้หรือทฤษฎีนั้นอย่างสั้นและชัดเจน เราใช้ตัวแปรในการเขียนสูตรที่สอดคล้องกัน. ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสบนสามเหลี่ยมมุมฉาก: a² =b² + c^{2 วิธีเขียนทุกครั้งเมื่อแก้ปัญหา: ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา - เราเขียนสูตรนี้ลงไป แล้วทุกอย่างก็ชัดเจนในทันที}

ดังนั้น บทความนี้จะพูดถึงว่าตัวแปรคืออะไร ประเภทและคุณสมบัติของมัน นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ต่างๆ จะได้รับการพิจารณาด้วย: ความไม่เท่าเทียมกัน สูตร ระบบ และอัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหา

แนวคิดเกี่ยวกับตัวแปร

อย่างแรก ตัวแปรคืออะไร? เป็นค่าตัวเลขที่รับได้หลายค่า ไม่สามารถคงที่ได้ เนื่องจากในปัญหาและสมการต่างกัน เพื่อความสะดวก เราใช้คำตอบเป็นตัวแปรตัวเลขที่แตกต่างกันนั่นคือตัวอย่างเช่น z เป็นการกำหนดทั่วไปสำหรับแต่ละปริมาณที่ใช้ โดยปกติแล้วจะเขียนแทนด้วยตัวอักษรละตินหรืออักษรกรีก (x, y, a, b และอื่นๆ)

ตัวแปรมีหลายประเภท พวกเขาตั้งค่าทั้งปริมาณทางกายภาพ - เส้นทาง (S), เวลา (t) และค่าที่ไม่รู้จักในสมการ ฟังก์ชัน และนิพจน์อื่นๆ

ตัวอย่างเช่น มีสูตรคือ S=Vt. ในที่นี้ ตัวแปรแสดงถึงปริมาณบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับโลกแห่งความเป็นจริง - เส้นทาง ความเร็ว และเวลา

และมีสมการอยู่ในรูปคือ 3x - 16=12x ในที่นี้ x ถูกใช้เป็นตัวเลขนามธรรมที่สมเหตุสมผลในสัญลักษณ์นี้แล้ว

ประเภทของปริมาณ

Amount หมายถึง สิ่งที่แสดงคุณสมบัติของวัตถุ สาร หรือปรากฏการณ์บางอย่าง ตัวอย่างเช่น อุณหภูมิอากาศ น้ำหนักของสัตว์ เปอร์เซ็นต์ของวิตามินในแท็บเล็ต - นี่คือปริมาณทั้งหมดที่สามารถคำนวณค่าตัวเลขได้

แต่ละปริมาณมีหน่วยวัดของตัวเอง ซึ่งรวมกันเป็นระบบ เรียกว่าระบบตัวเลข (SI).

ตัวแปรและค่าคงที่คืออะไร? พิจารณาด้วยตัวอย่างเฉพาะ

มาทำการเคลื่อนที่แนวตรงกัน จุดในอวกาศเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากันทุกครั้ง นั่นคือเวลาและระยะทางเปลี่ยนไป แต่ความเร็วยังคงเท่าเดิม ในตัวอย่างนี้ เวลาและระยะทางเป็นตัวแปร และความเร็วคงที่

หรือ ตัวอย่างเช่น “pi” เป็นจำนวนอตรรกยะที่ต่อเนื่องโดยไม่เกิดซ้ำลำดับของตัวเลขและไม่สามารถเขียนได้เต็มจำนวน ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์ จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ที่ยอมรับกันโดยทั่วไปซึ่งรับเฉพาะค่าของเศษส่วนอนันต์ที่กำหนดเท่านั้น นั่นคือ “pi” เป็นค่าคงที่

ประวัติศาสตร์

ประวัติศาสตร์ของสัญกรณ์ตัวแปรเริ่มต้นในศตวรรษที่สิบเจ็ดกับนักวิทยาศาสตร์René Descartes

เขากำหนดค่าที่รู้จักด้วยตัวอักษรตัวแรกของตัวอักษร: a, b และอื่น ๆ และสำหรับค่าที่ไม่รู้จักเขาแนะนำให้ใช้ตัวอักษรตัวสุดท้าย: x, y, z เป็นที่น่าสังเกตว่า Descartes ถือว่าตัวแปรดังกล่าวเป็นตัวเลขที่ไม่เป็นลบ และเมื่อต้องเผชิญกับพารามิเตอร์เชิงลบ เขาใส่เครื่องหมายลบไว้ข้างหน้าตัวแปร หรือถ้าไม่ทราบว่าตัวเลขนั้นเป็นเครื่องหมายอะไร ให้เป็นจุดไข่ปลา แต่เมื่อเวลาผ่านไป ชื่อของตัวแปรก็เริ่มแสดงตัวเลขของเครื่องหมายใดๆ และสิ่งนี้เริ่มด้วยนักคณิตศาสตร์ Johann Hudde

ด้วยตัวแปร การคำนวณทางคณิตศาสตร์จะแก้ได้ง่ายขึ้น เช่น เราจะแก้สมการกำลังสองตอนนี้ได้อย่างไร เราป้อนตัวแปร ตัวอย่างเช่น:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

สำหรับ x2 เราเอา k มา แล้วสมการก็ชัดเจน:

x2=k สำหรับ k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

นั่นคือสิ่งที่นำตัวแปรมาสู่คณิตศาสตร์

อสมการ ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

อสมการคือบันทึกที่นิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองนิพจน์หรือตัวเลขสองตัวเชื่อมโยงกันด้วยเครื่องหมายเปรียบเทียบ:, ≦, ≧ มีความเข้มงวดและมีป้ายระบุหรือไม่เข้มงวดด้วยป้าย ≦, ≧.

แนะนำป้ายนี้ครั้งแรกโธมัส แฮร์ริออต. หลังการเสียชีวิตของโทมัส หนังสือของเขาที่มีเครื่องหมายเหล่านี้ก็ถูกตีพิมพ์ นักคณิตศาสตร์ชอบ และต่อมาก็ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางคณิตศาสตร์

มีกฎหลายข้อที่ต้องปฏิบัติตามเมื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันของตัวแปรเดี่ยว:

เมื่อโอนตัวเลขจากส่วนหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันไปยังอีกส่วนหนึ่ง ให้เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม
เมื่อคูณหรือหารส่วนของอสมการด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายจะกลับกัน
หากคุณคูณหรือหารอสมการทั้งสองข้างด้วยจำนวนบวก คุณจะได้อสมการเท่ากับอสมการเดิม

การแก้อสมการหมายถึงการค้นหาค่าที่ถูกต้องทั้งหมดสำหรับตัวแปร

ตัวอย่างตัวแปรเดี่ยว:

10x - 50 > 150

เราแก้มันเหมือนสมการเชิงเส้นปกติ - เราย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปทางซ้ายโดยไม่มีตัวแปร - ไปทางขวาและให้พจน์ที่คล้ายกัน:

10x > 200

เราหารอสมการทั้งสองข้างด้วย 10 แล้วได้:

x > 20

เพื่อความชัดเจน ในตัวอย่างการแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวแปรเดียว ให้ลากเส้นจำนวน ทำเครื่องหมายจุดเจาะ 20 บนมัน เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด และตัวเลขนี้ไม่รวมอยู่ในชุดคำตอบ.

คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันนี้คือช่วงเวลา (20; +∞).

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวดจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับที่เข้มงวด:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

แต่มีข้อยกเว้นอยู่อย่างหนึ่ง บันทึกรูปแบบ x ≧ 5 ควรเข้าใจดังนี้ x มากกว่าหรือเท่ากับห้าซึ่งหมายถึงหมายเลข 5 รวมอยู่ในชุดคำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน นั่นคือ เวลาเขียนคำตอบ เราใส่วงเล็บเหลี่ยมไว้หน้าเลข 5

x ∈ [5; +∞)

อสมการกำลังสอง

ถ้าเราใช้สมการกำลังสองของรูป ax2 + bx +c=0 และเปลี่ยนเครื่องหมายเท่ากับเป็นเครื่องหมายอสมการในนั้น เราจะได้ a อสมการกำลังสอง

ในการแก้อสมการกำลังสอง คุณต้องสามารถแก้สมการกำลังสองได้

y=ax2 + bx + c เป็นฟังก์ชันกำลังสอง เราสามารถแก้ไขได้โดยใช้การเลือกปฏิบัติ หรือใช้ทฤษฎีบทเวียตา จำได้ว่าแก้สมการเหล่านี้ได้อย่างไร:

1) y=x2 + 12x + 11 - ฟังก์ชันคือพาราโบลา กิ่งก้านของมันถูกชี้ขึ้นเนื่องจากเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ "a" เป็นบวก

2) x2 + 12x + 11=0 - เท่ากับศูนย์และแก้โดยใช้การเลือกปฏิบัติ

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 ราก

ตามสูตรรากของสมการกำลังสอง เราจะได้:

x₁ =-1, x_2=-11

หรือคุณอาจแก้สมการนี้โดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

โดยใช้วิธีการเลือก เราได้รากของสมการเดียวกัน

พาราโบลา

ดังนั้น วิธีแรกในการแก้อสมการกำลังสองคือพาราโบลา อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหามีดังนี้:

1. กำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา

2.ให้ฟังก์ชันเท่ากับศูนย์และหารากของสมการ

3. เราสร้างเส้นจำนวน ทำเครื่องหมายรากบนมัน วาดพาราโบลาและหาช่องว่างที่เราต้องการ ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกัน

แก้อสมการ x2 + x - 12 > 0

เขียนออกมาเป็นฟังก์ชัน:

1) y=x2 + x - 12 - พาราโบลา กิ่งขึ้นไป

ตั้งเป็นศูนย์

2) x2 + x -12=0

ต่อไป เราแก้สมการกำลังสองและหาศูนย์ของฟังก์ชัน:

x₁ =3, x_2=-4

3) ลากเส้นจำนวนด้วยจุด 3 และ -4 บนเส้นนั้น พาราโบลาจะผ่านพวกมัน แตกแขนงออก และคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นชุดของค่าบวก นั่นคือ (-∞; -4), (3; +∞).

วิธีช่วงเวลา

วิธีที่สองคือวิธีเว้นวรรค อัลกอริทึมสำหรับการแก้มัน:

1. หารากของสมการที่อสมการเท่ากับศูนย์

2. เราทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน ดังนั้นจึงแบ่งออกเป็นหลายช่วง

3. กำหนดเครื่องหมายของช่วงเวลาใดๆ

4. เราวางป้ายในช่วงเวลาที่เหลือโดยเปลี่ยนป้ายหลังจากนั้น

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) ศูนย์อสมการ: 4, 5 และ -7.

2) วาดบนเส้นจำนวน

3) กำหนดสัญญาณของช่วงเวลา

คำตอบ: (-∞; -7]; [4; 5].

แก้ความไม่เท่าเทียมกันอีกอันหนึ่ง: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. ศูนย์อสมการ: 0, 2, -2 และ 1.

2. ทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน

3.กำหนดเครื่องหมายช่วง

เส้นแบ่งออกเป็นช่วง - จาก -2 ถึง 0, จาก 0 ถึง 1 จาก 1 ถึง 2.

ใช้ค่าในช่วงแรก - (-1) ทดแทนความไม่เท่าเทียมกัน ด้วยค่านี้ ความไม่เท่าเทียมกันจะกลายเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายในช่วงเวลานี้จะเป็น +.

นอกจากนี้ เริ่มจากช่องว่างแรก เราจัดเรียงป้าย เปลี่ยนหลังจากหนึ่ง

อสมการมากกว่าศูนย์ นั่นคือ คุณต้องหาชุดของค่าบวกในบรรทัด

คำตอบ: (-2; 0), (1; 2).

ระบบสมการ

ระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัวคือสมการสองสมการที่เชื่อมกันด้วยวงเล็บปีกกาซึ่งจำเป็นในการหาคำตอบทั่วไป

ระบบสามารถเทียบเท่ากันได้หากวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของหนึ่งในนั้นคือวิธีแก้ปัญหาของอีกระบบหนึ่ง หรือทั้งคู่ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เราจะศึกษาคำตอบของระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัว มีสองวิธีในการแก้ปัญหาเหล่านี้ - วิธีทดแทนหรือวิธีพีชคณิต

วิธีพีชคณิต

ในการแก้ระบบที่แสดงในภาพโดยใช้วิธีนี้ ก่อนอื่นคุณต้องคูณส่วนใดส่วนหนึ่งของมันด้วยตัวเลขดังกล่าว เพื่อที่คุณจะได้สามารถยกเลิกตัวแปรร่วมกันหนึ่งตัวจากทั้งสองส่วนของสมการได้ ที่นี่เราคูณด้วยสาม ลากเส้นใต้ระบบและรวมส่วนต่างๆ เข้าด้วยกัน เป็นผลให้ x เท่ากันในโมดูลัส แต่ตรงกันข้ามในเครื่องหมาย และเราลดมันลง ต่อไป เราได้สมการเชิงเส้นกับตัวแปรตัวเดียวแล้วแก้มัน

เราเจอ Y แล้ว แต่หยุดไม่ได้เพราะยังไม่เจอ X ทดแทนY ในส่วนที่จะสะดวกในการถอน X เช่น:

-x + 5y=8 โดย y=1

-x + 5=8

แก้สมการผลลัพธ์แล้วหา x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

สิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาของระบบคือการจดคำตอบให้ถูกต้อง นักเรียนหลายคนเขียนผิด:

คำตอบ: -3, 1.

แต่รายการนี้ผิด เมื่อแก้ระบบสมการ เรากำลังหาคำตอบทั่วไปสำหรับส่วนต่างๆ ของมัน ดังที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น คำตอบที่ถูกต้องคือ:

(-3; 1)