ทฤษฎีความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เหตุการณ์สุ่ม (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) เหตุการณ์อิสระและเข้ากันไม่ได้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

หลายคนคงคิดว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณเหตุการณ์ที่เป็นแบบสุ่มมากหรือน้อย พูดง่ายๆ ว่ามันเหมือนจริงไหมที่จะรู้ว่าด้านใดของลูกเต๋าในลูกเต๋าจะหลุดออกไปในลำดับต่อไป เป็นคำถามนี้ที่นักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่สองคนถามขึ้น ซึ่งเป็นผู้วางรากฐานสำหรับวิทยาศาสตร์เช่นทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งมีการศึกษาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ค่อนข้างกว้างขวาง

กำเนิด

หากคุณพยายามให้คำจำกัดความแนวคิดดังกล่าวเป็นทฤษฎีความน่าจะเป็น คุณจะได้สิ่งต่อไปนี้: นี่เป็นหนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความคงตัวของเหตุการณ์สุ่ม แน่นอนว่าแนวคิดนี้ไม่ได้เปิดเผยสาระสำคัญทั้งหมด ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาให้ละเอียดมากขึ้น

ฉันต้องการเริ่มต้นด้วยผู้สร้างทฤษฎี ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น มีอยู่สองคน ได้แก่ ปิแอร์ แฟร์มาต์ และแบลส ปาสกาล พวกเขาเป็นกลุ่มแรกที่พยายามคำนวณผลลัพธ์ของเหตุการณ์โดยใช้สูตรและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ โดยรวมแล้ว พื้นฐานของวิทยาศาสตร์นี้ปรากฏเร็วเท่าวัยกลางคน. ในเวลานั้น นักคิดและนักวิทยาศาสตร์หลายคนพยายามวิเคราะห์การพนัน เช่น รูเล็ต เกมลูกเต๋า และอื่นๆ เพื่อสร้างรูปแบบและเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขเฉพาะที่หลุดออกมา นักวิทยาศาสตร์ดังกล่าววางรากฐานในศตวรรษที่สิบเจ็ด

ในตอนแรก งานของพวกเขาไม่สามารถนำมาประกอบกับความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ในสาขานี้ เพราะทุกสิ่งที่พวกเขาทำเป็นเพียงข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์ และการทดลองถูกตั้งค่าเป็นภาพโดยไม่ต้องใช้สูตร เมื่อเวลาผ่านไป มันกลับกลายเป็นว่าได้ผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม ซึ่งเกิดจากการสังเกตการโยนลูกเต๋า เป็นเครื่องมือที่ช่วยให้ได้สูตรแรกที่เข้าใจได้

ผู้ร่วมงาน

เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่พูดถึงบุคคลเช่น Christian Huygens ในกระบวนการศึกษาหัวข้อที่เรียกว่า "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะครอบคลุมอย่างแม่นยำในวิทยาศาสตร์นี้) คนนี้น่าสนใจมาก เขาเช่นเดียวกับนักวิทยาศาสตร์ที่นำเสนอข้างต้น พยายามหาความสม่ำเสมอของเหตุการณ์สุ่มในรูปแบบของสูตรทางคณิตศาสตร์ เป็นที่น่าสังเกตว่าเขาไม่ได้ทำสิ่งนี้ร่วมกับ Pascal และ Fermat นั่นคืองานทั้งหมดของเขาไม่ได้ตัดกับจิตใจเหล่านี้ในทางใดทางหนึ่ง Huygens ได้รับแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจคืองานของเขาออกมาก่อนผลงานของผู้บุกเบิกหรือเร็วกว่านั้นเมื่อยี่สิบปีก่อน ในบรรดาแนวคิดที่กำหนด ที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ:

• แนวคิดของความน่าจะเป็นเป็นขนาดของโอกาส
• ความคาดหวังที่ไม่ต่อเนื่องคดี;
• ทฤษฎีการคูณและการบวกความน่าจะเป็น

เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่จำจาค็อบ เบอร์นูลลี ผู้ซึ่งมีส่วนสำคัญในการศึกษาปัญหาเช่นกัน การทดสอบของเขาเองโดยไม่ขึ้นกับใครเขาสามารถนำเสนอข้อพิสูจน์ของกฎหมายจำนวนมากได้ ในทางกลับกัน นักวิทยาศาสตร์ปัวซองและลาปลาซซึ่งทำงานในช่วงต้นศตวรรษที่สิบเก้าสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทดั้งเดิมได้ จากช่วงเวลานี้เองที่ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มใช้ในการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดในระหว่างการสังเกต นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย หรือมากกว่า Markov, Chebyshev และ Dyapunov ก็ไม่สามารถหลีกเลี่ยงวิทยาศาสตร์นี้ได้ จากงานที่ทำโดยอัจฉริยะผู้ยิ่งใหญ่ พวกเขาแก้ไขเรื่องนี้เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ตัวเลขเหล่านี้ทำงานไปแล้วเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 และต้องขอบคุณการมีส่วนร่วมของพวกเขา ปรากฏการณ์เช่น:

• กฎแห่งตัวเลข;
• ทฤษฎีลูกโซ่มาร์คอฟ;
• ทฤษฎีขีดจำกัดกลาง

ดังนั้น ด้วยประวัติศาสตร์การกำเนิดของวิทยาศาสตร์และกับคนสำคัญที่มีอิทธิพลต่อมัน ทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย ถึงเวลาสรุปข้อเท็จจริงทั้งหมดแล้ว

แนวคิดพื้นฐาน

ก่อนที่จะพูดถึงกฎหมายและทฤษฎีบท คุณควรศึกษาแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นก่อน งานนี้มีบทบาทนำในนั้น หัวข้อนี้ค่อนข้างใหญ่แต่ถ้าไม่มีก็จะไม่เข้าใจอย่างอื่น

เหตุการณ์ในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือชุดของผลลัพธ์ของการทดลอง มีแนวคิดไม่มากนักเกี่ยวกับปรากฏการณ์นี้ ดังนั้น ลอตแมน นักวิทยาศาสตร์ที่ทำงานในพื้นที่นี้กล่าวว่าในกรณีนี้เรากำลังพูดถึงบางสิ่งบางอย่างที่ "เกิดขึ้นแม้ว่ามันอาจจะไม่เกิดขึ้น"

เหตุการณ์สุ่ม (ทฤษฎีความน่าจะเป็นให้ความสนใจเป็นพิเศษกับเหตุการณ์เหล่านั้น) เป็นแนวคิดที่บอกเป็นนัยถึงปรากฏการณ์ใดๆ ก็ตามที่สามารถเกิดขึ้นได้อย่างแน่นอน หรือในทางกลับกัน สถานการณ์นี้อาจไม่เกิดขึ้นเมื่อตรงตามเงื่อนไขหลายประการ นอกจากนี้ยังควรค่าแก่การรู้ว่ามันเป็นเหตุการณ์สุ่มที่จับปริมาณปรากฏการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นบ่งชี้ว่าเงื่อนไขทั้งหมดสามารถทำซ้ำได้อย่างต่อเนื่อง มันเป็นความประพฤติของพวกเขาที่เรียกว่า "ประสบการณ์" หรือ "การทดสอบ"

เหตุการณ์บางอย่างจะเกิดขึ้น 100% ในการทดสอบที่กำหนด ดังนั้น เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ก็คือเหตุการณ์ที่จะไม่เกิดขึ้น

การรวมกันของการกระทำ (โดยปกติกรณี A และกรณี B) เป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน พวกเขาถูกกำหนดให้เป็น AB

ผลรวมของคู่ของเหตุการณ์ A และ B คือ C กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าเกิดอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ (A หรือ B) จะได้ C สูตรของปรากฏการณ์ที่อธิบายไว้เขียนดังนี้: C=A + B.

เหตุการณ์ที่ไม่ปะติดปะต่อกันในทฤษฎีความน่าจะเป็นบอกเป็นนัยว่าสองกรณีนั้นไม่เกิดร่วมกัน พวกเขาไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในเวลาเดียวกัน เหตุการณ์ร่วมในทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม แสดงว่าถ้า A เกิดขึ้น จะไม่รบกวน B

เหตุการณ์ตรงข้าม (ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับพวกเขาในรายละเอียดมาก) เข้าใจง่าย เป็นการดีที่สุดที่จะจัดการกับพวกเขาในการเปรียบเทียบ พวกเขาเกือบจะเหมือนกับและเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น แต่ความแตกต่างอยู่ที่ปรากฏการณ์หนึ่งในหลายๆ อย่างต้องเกิดขึ้นอยู่ดี

เหตุการณ์ที่เท่าเทียมกันคือการกระทำเหล่านั้น ซึ่งมีความเป็นไปได้เท่ากัน เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น เราสามารถจินตนาการถึงการโยนเหรียญ: การตกด้านใดด้านหนึ่งก็มีแนวโน้มที่จะตกอีกด้านหนึ่ง

งานมงคลดูง่ายกว่าด้วยตัวอย่าง สมมติว่ามีตอน B และตอน A ตอนแรกคือการทอยลูกเต๋าที่มีลักษณะเป็นเลขคี่ และครั้งที่สองคือการปรากฏตัวของหมายเลขห้าบนลูกเต๋า แล้วปรากฎว่า A ชอบ B.

เหตุการณ์อิสระในทฤษฎีความน่าจะเป็นถูกฉายในสองกรณีขึ้นไปเท่านั้น และบ่งบอกถึงความเป็นอิสระของการกระทำใดๆ จากกรณีอื่น ตัวอย่างเช่น A คือการสูญเสียหางเมื่อโยนเหรียญ และ B คือการดึงแจ็คจากสำรับ เป็นเหตุการณ์อิสระในทฤษฎีความน่าจะเป็น คราวนี้ก็ชัดเจนขึ้น

เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับทฤษฎีความน่าจะเป็นก็ใช้ได้เฉพาะชุดของพวกเขาเท่านั้น พวกเขาบ่งบอกถึงการพึ่งพาอาศัยกัน นั่นคือ ปรากฏการณ์ B สามารถเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ A เกิดขึ้นแล้วหรือในทางตรงกันข้ามไม่เกิดขึ้นเมื่อนี่เป็นเงื่อนไขหลักของ B

ผลลัพธ์ของการทดลองสุ่มที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวคือเหตุการณ์เบื้องต้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นอธิบายว่านี่เป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว

สูตรพื้นฐาน

ดังนั้น แนวคิดของ "เหตุการณ์" "ทฤษฎีความน่าจะเป็น"ยังได้ให้คำจำกัดความของคำศัพท์พื้นฐานของวิทยาศาสตร์นี้ด้วย ตอนนี้ได้เวลาทำความคุ้นเคยกับสูตรสำคัญแล้ว นิพจน์เหล่านี้ทางคณิตศาสตร์ยืนยันแนวคิดหลักทั้งหมดในเรื่องที่ยาก เช่น ทฤษฎีความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ก็มีบทบาทอย่างมากที่นี่เช่นกัน

เริ่มด้วยสูตรพื้นฐานของ combinatorics ดีกว่า และก่อนที่จะไปต่อก็ควรพิจารณาว่ามันคืออะไร

Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์โดยพื้นฐาน มันเกี่ยวข้องกับการศึกษาจำนวนเต็มจำนวนมาก รวมถึงการเรียงสับเปลี่ยนต่างๆ ของตัวเลขและองค์ประกอบ ข้อมูลต่างๆ เป็นต้น ซึ่งนำไปสู่การปรากฏตัวของ ชุดค่าผสมจำนวนหนึ่ง นอกจากทฤษฎีความน่าจะเป็นแล้ว สาขานี้มีความสำคัญต่อสถิติ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และการเข้ารหัส

ตอนนี้เราก็สามารถนำเสนอสูตรและกำหนดสูตรได้แล้ว

อันแรกจะเป็นนิพจน์สำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน หน้าตาเป็นแบบนี้:

P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!

สมการจะใช้ก็ต่อเมื่อองค์ประกอบต่างกันตามลำดับเท่านั้น

ตอนนี้จะพิจารณาสูตรการจัดวางดังนี้:

A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (น - ม)!

นิพจน์นี้ไม่เพียงใช้กับลำดับขององค์ประกอบเท่านั้น แต่ยังรวมถึงองค์ประกอบด้วย

สมการที่สามจาก combinatorics และยังเป็นสมการสุดท้ายที่เรียกว่าสูตรสำหรับจำนวนชุดค่าผสม:

C_n^m=น !: ((น -ม))!:m !

ชุดค่าผสมคือการเลือกที่ไม่ได้เรียงลำดับตามลำดับ และกฎนี้ใช้กับพวกเขา

มันง่ายที่จะคิดออกสูตรของ combinatorics ตอนนี้เราสามารถไปยังคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น นิพจน์นี้มีลักษณะดังนี้:

P(A)=ม: n.

ในสูตรนี้ m คือจำนวนเงื่อนไขที่เอื้อต่อเหตุการณ์ A และ n คือจำนวนของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันทั้งหมดและเบื้องต้น

สำนวนมีจำนวนมาก บทความจะไม่ครอบคลุมทั้งหมด แต่จะกล่าวถึงที่สำคัญที่สุด เช่น ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์:

P(A + B)=P(A) + P(B) - ทฤษฎีบทนี้สำหรับการเพิ่มเฉพาะเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - และอันนี้สำหรับเพิ่มเฉพาะตัวที่เข้ากันได้

ความน่าจะเป็นในการผลิตงาน:

P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – ทฤษฎีบทนี้สำหรับเหตุการณ์อิสระ

(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - และอันนี้สำหรับ คนติดยา

สูตรกิจกรรมจบรายการ ทฤษฎีความน่าจะเป็นบอกเราเกี่ยวกับทฤษฎีบทของเบย์ ซึ่งมีลักษณะดังนี้:

P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n

ในสูตรนี้ H₁, H₂, …, H คือ กลุ่มสมมติฐานที่สมบูรณ์

หยุดตรงนี้แล้วจะพิจารณาตัวอย่างการใช้สูตรแก้ปัญหาเฉพาะจากการฝึกฝน

ตัวอย่าง

ถ้าตั้งใจเรียนภาคไหนๆคณิตศาสตร์ มันไม่ได้ทำโดยไม่มีแบบฝึกหัดและวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง ทฤษฎีความน่าจะเป็นก็เช่นกัน เหตุการณ์ ตัวอย่างที่นี่เป็นส่วนประกอบสำคัญที่ยืนยันการคำนวณทางวิทยาศาสตร์

สูตรสำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน

สมมติว่ามีไพ่สามสิบใบในสำรับไพ่ เริ่มจากมูลค่าหน้าไพ่หนึ่ง คำถามต่อไป. มีกี่วิธีในการซ้อนสำรับไพ่เพื่อให้ไพ่ที่มีมูลค่าหน้าไพ่หนึ่งและสองไม่อยู่ติดกัน

งานถูกตั้งค่าแล้ว ไปแก้ไขกันต่อได้เลย ขั้นแรกคุณต้องกำหนดจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบสามสิบตัว สำหรับสิ่งนี้เราใช้สูตรข้างต้น ปรากฎว่า P_30=30!.

ตามกฎนี้ เราจะค้นหาว่ามีกี่ตัวเลือกในการพับสำรับในรูปแบบต่างๆ แต่เราจำเป็นต้องหักออกจากตัวเลือกเหล่านั้นซึ่งไพ่ใบแรกและใบที่สองอยู่ถัดไป ในการทำเช่นนี้ มาเริ่มด้วยตัวเลือกเมื่อตัวแรกอยู่เหนือตัวที่สอง ปรากฎว่าไพ่ใบแรกสามารถมีได้ยี่สิบเก้าแห่ง - จากไพ่ที่หนึ่งถึงยี่สิบเก้า และไพ่ใบที่สองจากใบที่สองถึงสามสิบ ปรากฎว่าไพ่คู่หนึ่งคู่มี 29 ตำแหน่ง ในทางกลับกัน ส่วนที่เหลือสามารถมีได้ยี่สิบแปดตำแหน่งและในลำดับใดก็ได้ นั่นคือ สำหรับการสับเปลี่ยนไพ่ 28 ใบ มีทั้งหมด 28 ตัวเลือก P_28=28!

ผลก็คือว่าหากเราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาเมื่อไพ่ใบแรกผ่านไพ่ใบที่สอง จะมีโอกาสพิเศษอีก 29 ⋅ 28!=29!

โดยใช้วิธีการเดียวกัน คุณต้องคำนวณจำนวนตัวเลือกที่ซ้ำซ้อนสำหรับกรณีที่ไพ่ใบแรกต่ำกว่าใบที่สองปรากฎว่า 29 ⋅ 28!=29!

ตามมาด้วย 2 ⋅ 29 ตัวเลือกพิเศษ! ในขณะที่มี 30 วิธีที่จำเป็นในการสร้างสำรับ! - 2 ⋅ 29!. เหลือเพียงการนับ

30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28

ตอนนี้คุณต้องคูณตัวเลขทั้งหมดจากหนึ่งถึงยี่สิบเก้าเข้าด้วยกัน จากนั้นคูณทุกอย่างด้วย 28 ในตอนท้าย คำตอบคือ 2, 4757335 ⋅〖10〗^32

ตัวอย่างเฉลย สูตรสำหรับหมายเลขตำแหน่ง

ในปัญหานี้ คุณต้องค้นหาว่ามีหลายวิธีที่จะวางหนังสือ 15 เล่มในชั้นวางเดียว แต่ภายใต้เงื่อนไขว่ามีทั้งหมดสามสิบเล่ม

ปัญหานี้มีวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายกว่าก่อนหน้านี้เล็กน้อย เมื่อใช้สูตรที่ทราบแล้ว จำเป็นต้องคำนวณจำนวนสถานที่ทั้งหมดจากสามสิบเล่มจากสิบห้าเล่ม

A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931 727 360 000

คำตอบตามลำดับจะเป็น 202 843 204 931 727 360 000

ตอนนี้มาทำภารกิจให้ยากขึ้นอีกหน่อยเถอะ คุณจำเป็นต้องค้นหาวิธีการจัดเรียงหนังสือสามสิบเล่มบนชั้นหนังสือสองชั้น โดยต้องมีหนังสือเพียง 15 เล่มในชั้นเดียว

ก่อนเริ่มวิธีแก้ปัญหา ฉันต้องการชี้แจงว่าปัญหาบางอย่างได้รับการแก้ไขหลายวิธี ดังนั้นจึงมีสองวิธีในวิธีนี้ แต่ใช้สูตรเดียวกันทั้งคู่

ในปัญหานี้ คุณสามารถหาคำตอบจากข้อที่แล้ว เพราะเราคำนวณว่าคุณสามารถเติมหนังสือ 15 เล่มในชั้นได้กี่ครั้งสำหรับ-แตกต่างกัน ปรากฎว่า A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.

เราจะคำนวณชั้นที่สองโดยใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยน เพราะมีหนังสือสิบห้าเล่มวางอยู่ในนั้น ขณะที่เหลือเพียงสิบห้าเล่มเท่านั้น ใช้สูตร P_15=15!.

ปรากฎว่าผลรวมจะเป็น A_30^15 ⋅ P_15 วิธี แต่นอกจากนี้ ผลคูณของตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่สามสิบถึงสิบหกจะต้องคูณด้วยผลคูณของตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงสิบห้าเช่น ผลคูณของตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่หนึ่งถึงสามสิบ ดังนั้นคำตอบคือ 30!

แต่ปัญหานี้แก้ได้ไปอีกแบบ - ง่ายกว่า ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถจินตนาการได้ว่ามีชั้นวางหนึ่งชั้นสำหรับหนังสือสามสิบเล่ม ทั้งหมดวางอยู่บนระนาบนี้ แต่เนื่องจากเงื่อนไขกำหนดให้ต้องมีชั้นวาง 2 ชั้น เราจึงตัดแบบยาวครึ่งหนึ่งออกเป็นสองส่วน จากนี้ไปปรากฎว่าตัวเลือกตำแหน่งสามารถเป็น P_30=30!.

ตัวอย่างเฉลย สูตรเลขผสม

ตอนนี้เราจะพิจารณาปัญหาที่สามจาก combinatorics คุณต้องค้นหาวิธีการจัดเรียงหนังสือ 15 เล่ม โดยต้องเลือกจากสามสิบเล่มที่เหมือนกันทุกประการ

สำหรับการแก้ปัญหา แน่นอน สูตรสำหรับจำนวนชุดค่าผสมจะถูกนำไปใช้ จากเงื่อนไขจะเห็นได้ชัดว่าลำดับของหนังสือสิบห้าเล่มที่เหมือนกันนั้นไม่สำคัญ ดังนั้น ในขั้นแรก คุณต้องหาจำนวนรวมของหนังสือสามสิบเล่มจากทั้งหมดสิบห้าเล่ม

C_30^15=30 !: ((30-15)) !: สิบห้า !=155 117 520

เท่านั้นแหละ โดยใช้สูตรนี้ในเวลาที่สั้นที่สุดเท่าที่จะทำได้แก้ปัญหาดังกล่าว คำตอบตามลำดับคือ 155 117 520.

ตัวอย่างเฉลย คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

ด้วยสูตรข้างต้น คุณจะพบคำตอบของปัญหาง่ายๆ แต่จะช่วยให้เห็นภาพและปฏิบัติตามแนวทางการปฏิบัติได้

ในปัญหามีลูกบอลที่เหมือนกันสิบลูกในโกศ ในจำนวนนี้มีสี่ตัวเป็นสีเหลืองและหกตัวเป็นสีน้ำเงิน หนึ่งลูกถูกพรากไปจากโกศ คุณต้องหาความน่าจะเป็นที่จะได้สีน้ำเงิน

ในการแก้ปัญหา จำเป็นต้องกำหนดให้รับลูกบอลสีน้ำเงินเป็นเหตุการณ์ A ประสบการณ์นี้สามารถมีได้สิบผลลัพธ์ ซึ่งในทางกลับกัน จะเป็นระดับประถมศึกษาและน่าจะเท่าเทียมกัน ในเวลาเดียวกัน จากสิบหก เป็นที่นิยมสำหรับเหตุการณ์ A เราแก้ตามสูตร:

P(A)=6: 10=0, 6

ใช้สูตรนี้ เราพบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีน้ำเงินคือ 0.6

ตัวอย่างเฉลย ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์

ตอนนี้ ตัวแปรจะถูกนำเสนอ ซึ่งแก้ไขโดยใช้สูตรสำหรับความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ ดังนั้น ในสภาพที่กำหนดว่ามีสองกล่อง กล่องแรกมีลูกบอลสีเทาหนึ่งลูกและลูกบอลสีขาวห้าลูก และกล่องที่สองมีลูกบอลสีเทาแปดลูกและสีขาวสี่ลูก เป็นผลให้หนึ่งในนั้นถูกพรากไปจากกล่องแรกและกล่องที่สอง คุณต้องค้นหาว่าโอกาสที่ลูกบอลที่คุณได้รับจะเป็นสีเทาและสีขาวคืออะไร

เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องติดป้ายกำกับกิจกรรม

• ดังนั้น A - หยิบลูกบอลสีเทาจากกล่องแรก: P(A)=1/6.
• A’ – หยิบลูกบอลสีขาวจากกล่องแรกด้วย: P(A')=5/6.
• B – ลูกบอลสีเทาถูกนำออกจากกล่องที่สองแล้ว: P(B)=2/3.
• B’ – หยิบลูกบอลสีเทาจากกล่องที่สอง: P(B')=1/3.

ตามสภาพของปัญหา หนึ่งปรากฏการณ์ต้องเกิดขึ้น: AB' หรือ A'B. จากสูตร เราได้ P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.

ตอนนี้ใช้สูตรคูณความน่าจะเป็นแล้ว ต่อไป เพื่อหาคำตอบ คุณต้องนำสมการมาบวกกัน:

P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.

นี่คือวิธีแก้ปัญหาที่คล้ายกันโดยใช้สูตรนี้

ผลลัพธ์

บทความให้ข้อมูลในหัวข้อ "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" ซึ่งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีบทบาทสำคัญ แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกอย่างที่ถูกนำมาพิจารณา แต่จากข้อความที่นำเสนอเราสามารถทำความคุ้นเคยกับวิชาคณิตศาสตร์ในส่วนนี้ในทางทฤษฎี วิทยาศาสตร์ที่เป็นปัญหานั้นมีประโยชน์ไม่เฉพาะในงานอาชีพเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์ในชีวิตประจำวันด้วย ด้วยความช่วยเหลือ คุณสามารถคำนวณความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ใดๆ

ข้อความนี้ยังกล่าวถึงวันสำคัญๆ ในประวัติศาสตร์ของการก่อตัวของทฤษฎีความน่าจะเป็นในฐานะวิทยาศาสตร์ และชื่อของบุคคลที่ลงทุนในผลงานนั้น ความอยากรู้อยากเห็นของมนุษย์นำไปสู่ความจริงที่ว่าผู้คนเรียนรู้ที่จะคำนวณแม้กระทั่งเหตุการณ์สุ่ม ครั้งหนึ่งพวกเขาเพิ่งสนใจมัน แต่วันนี้ทุกคนรู้เรื่องนี้แล้ว และไม่มีใครจะบอกว่าสิ่งที่รอเราอยู่ในอนาคตจะมีการค้นพบที่ยอดเยี่ยมอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา แต่สิ่งหนึ่งที่แน่นอนคือ การวิจัยยังไม่หยุดนิ่ง!