บทความนี้อธิบายฟังก์ชันคลื่นและความหมายทางกายภาพ การนำแนวคิดนี้ไปใช้ในกรอบของสมการชโรดิงเงอร์ก็พิจารณาด้วย
วิทยาศาสตร์ใกล้จะค้นพบฟิสิกส์ควอนตัม
ปลายศตวรรษที่ 19 คนหนุ่มสาวที่ต้องการเชื่อมโยงชีวิตของตนกับวิทยาศาสตร์ถูกกีดกันจากการเป็นนักฟิสิกส์ มีความเห็นว่าปรากฏการณ์ทั้งหมดได้ถูกค้นพบแล้วและจะไม่มีการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ในพื้นที่นี้อีกต่อไป บัดนี้แม้ความรู้ของมนุษย์จะดูสมบูรณ์ก็ไม่มีใครกล้าพูดในลักษณะนี้ เนื่องจากสิ่งนี้เกิดขึ้นบ่อยครั้ง: ปรากฏการณ์หรือผลกระทบถูกคาดการณ์ในทางทฤษฎี แต่ผู้คนไม่มีอำนาจทางเทคนิคและเทคโนโลยีเพียงพอที่จะพิสูจน์หรือหักล้างสิ่งเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น ไอน์สไตน์ทำนายคลื่นความโน้มถ่วงเมื่อร้อยกว่าปีที่แล้ว แต่ก็เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์การมีอยู่ของพวกมันเมื่อหนึ่งปีก่อน สิ่งนี้ยังใช้กับโลกของอนุภาคย่อยของอะตอมด้วย (กล่าวคือ แนวคิดเช่นฟังก์ชั่นคลื่นใช้กับพวกมัน): จนกว่านักวิทยาศาสตร์จะตระหนักว่าโครงสร้างของอะตอมนั้นซับซ้อน พวกเขาไม่จำเป็นต้องศึกษาพฤติกรรมของวัตถุขนาดเล็กเช่นนั้น
สเปกตรัมและการถ่ายภาพ
กดไปที่การพัฒนาควอนตัมฟิสิกส์คือการพัฒนาเทคนิคการถ่ายภาพ จนกระทั่งต้นศตวรรษที่ 20 การถ่ายภาพนั้นยุ่งยาก ใช้เวลานาน และมีราคาแพง กล้องมีน้ำหนักหลายสิบกิโลกรัม และตัวแบบต้องยืนในตำแหน่งเดียวครึ่งชั่วโมง นอกจากนี้ ความผิดพลาดเพียงเล็กน้อยในการจัดการกับแผ่นแก้วที่เปราะบางซึ่งเคลือบด้วยอิมัลชันไวแสงทำให้สูญเสียข้อมูลอย่างไม่สามารถย้อนกลับได้ แต่อุปกรณ์ต่างๆ ก็ค่อยๆ เบาลง ความเร็วชัตเตอร์ก็น้อยลงเรื่อยๆ และการรับพิมพ์ก็สมบูรณ์แบบมากขึ้นเรื่อยๆ และในที่สุด มันก็เป็นไปได้ที่จะได้รับสเปกตรัมของสารต่างๆ คำถามและความไม่สอดคล้องกันที่เกิดขึ้นในทฤษฎีแรกเกี่ยวกับธรรมชาติของสเปกตรัมก่อให้เกิดวิทยาศาสตร์ใหม่ทั้งหมด ฟังก์ชันคลื่นของอนุภาคและสมการชโรดิงเงอร์กลายเป็นพื้นฐานสำหรับคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของพฤติกรรมของไมโครเวิร์ล
คลื่นอนุภาคคู่
หลังจากพิจารณาโครงสร้างของอะตอมแล้ว คำถามก็เกิดขึ้น: ทำไมอิเล็กตรอนถึงไม่ตกบนนิวเคลียส? ตามสมการของแมกซ์เวลล์ อนุภาคที่มีประจุเคลื่อนที่ใดๆ ที่แผ่ออกมา ดังนั้น จะสูญเสียพลังงาน หากเป็นกรณีของอิเล็กตรอนในนิวเคลียส จักรวาลอย่างที่เราทราบคงอยู่ได้ไม่นาน จำไว้ว่าเป้าหมายของเราคือฟังก์ชันคลื่นและความหมายทางสถิติ
การคาดเดาอันชาญฉลาดของนักวิทยาศาสตร์มาช่วยแล้ว: อนุภาคมูลฐานเป็นทั้งคลื่นและอนุภาค (corpuscles) สมบัติของพวกมันมีทั้งมวลที่มีโมเมนตัมและความยาวคลื่นพร้อมความถี่ นอกจากนี้ เนื่องจากคุณสมบัติที่เข้ากันไม่ได้ก่อนหน้านี้สองคุณสมบัติ อนุภาคมูลฐานจึงได้รับคุณลักษณะใหม่
หนึ่งในนั้นคือสปินที่จินตนาการยาก ในโลกอนุภาคขนาดเล็ก ควาร์ก มีคุณสมบัติเหล่านี้มากมายจนได้รับชื่อที่เหลือเชื่อ: รสชาติ สี หากผู้อ่านพบพวกเขาในหนังสือเกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัม ให้เขาจำไว้ว่า: สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่สิ่งที่พวกเขาดูเหมือนในแวบแรก อย่างไรก็ตามจะอธิบายพฤติกรรมของระบบดังกล่าวได้อย่างไรโดยที่องค์ประกอบทั้งหมดมีคุณสมบัติแปลก ๆ ? คำตอบอยู่ในหัวข้อถัดไป
สมการชโรดิงเงอร์
ค้นหาสถานะที่มีอนุภาคมูลฐาน (และในระบบควอนตัมในรูปแบบทั่วไป) ยอมให้สมการของเออร์วิน ชโรดิงเงอร์:
i ħ[(d/dt) Ψ]=Ĥ ψ.
การกำหนดในอัตราส่วนนี้มีดังนี้:
- ħ=h/2 π โดยที่ h คือค่าคงที่ของพลังค์
- Ĥ – Hamiltonian ผู้ดำเนินการพลังงานทั้งหมดของระบบ
- Ψ คือฟังก์ชั่นคลื่น
การเปลี่ยนพิกัดในการแก้ไขฟังก์ชันนี้และเงื่อนไขตามประเภทของอนุภาคและฟิลด์ที่มันตั้งอยู่ สามารถรับกฎของพฤติกรรมของระบบที่อยู่ในการพิจารณาได้
แนวคิดของฟิสิกส์ควอนตัม
อย่าให้ผู้อ่านถูกหลอกโดยความเรียบง่ายของคำศัพท์ที่ใช้ คำและสำนวน เช่น "ตัวดำเนินการ" "พลังงานทั้งหมด" "เซลล์หน่วย" เป็นศัพท์ทางกายภาพ ค่านิยมของพวกเขาควรได้รับการชี้แจงแยกต่างหากและควรใช้ตำราเรียน ต่อไป เราจะให้คำอธิบายและรูปแบบของฟังก์ชันคลื่น แต่บทความนี้มีลักษณะเป็นการทบทวน เพื่อความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นของแนวคิดนี้ จำเป็นต้องศึกษาเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในระดับหนึ่ง
ฟังก์ชั่นคลื่น
นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของเธอมีรูปแบบ
|ψ(t)>=ʃ Ψ(x, t)|x> dx.
ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนหรืออนุภาคมูลฐานอื่นๆ มักใช้ตัวอักษรกรีก Ψ อธิบายเสมอ ดังนั้นบางครั้งจึงเรียกว่าฟังก์ชัน psi
ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่าฟังก์ชันนั้นขึ้นอยู่กับพิกัดและเวลาทั้งหมด ดังนั้น Ψ(x, t) จึงเป็น Ψ(x1, x2… x, t) หมายเหตุสำคัญ เนื่องจากคำตอบของสมการชโรดิงเงอร์ขึ้นอยู่กับพิกัด
ต่อไป จำเป็นต้องชี้แจงว่า |x> หมายถึงเวกเตอร์พื้นฐานของระบบพิกัดที่เลือก นั่นคือขึ้นอยู่กับความต้องการที่จะได้รับ โมเมนตัมหรือความน่าจะเป็น |x> จะมีลักษณะดังนี้ | x1, x2, …, …, x >. เห็นได้ชัดว่า n จะขึ้นอยู่กับเวกเตอร์พื้นฐานขั้นต่ำของระบบที่เลือกด้วย นั่นคือในปริภูมิสามมิติปกติ n=3 สำหรับผู้อ่านที่ไม่มีประสบการณ์ ให้เราอธิบายว่าไอคอนเหล่านี้ทั้งหมดใกล้กับตัวบ่งชี้ x ไม่ได้เป็นเพียงจินตนาการ แต่เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจง คุณจะไม่สามารถเข้าใจมันได้หากไม่มีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนที่สุด เราจึงหวังเป็นอย่างยิ่งว่าผู้ที่สนใจจะค้นพบความหมายสำหรับตัวเอง
สุดท้าย จำเป็นต้องอธิบายว่า Ψ(x, t)=.
สาระสำคัญทางกายภาพของฟังก์ชันคลื่น
ทั้งๆ ที่มูลค่าพื้นฐานของปริมาณนี้ ตัวมันเองก็ไม่มีปรากฏการณ์หรือแนวคิดเป็นพื้นฐาน ความหมายทางกายภาพของฟังก์ชันคลื่นคือกำลังสองของโมดูลัสทั้งหมด สูตรมีลักษณะดังนี้:
|Ψ (x1, x2, …, x , t)| 2=ω, โดยที่ ω คือค่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ในกรณีของสเปกตรัมที่ไม่ต่อเนื่อง (แทนที่จะเป็นแบบต่อเนื่อง) ค่านี้จะกลายเป็นเพียงความน่าจะเป็น
ผลที่ตามมาของความหมายทางกายภาพของฟังก์ชันคลื่น
ความหมายทางกายภาพดังกล่าวมีความหมายกว้างขวางต่อโลกควอนตัมทั้งโลก เมื่อเห็นได้ชัดเจนจากค่า ω สถานะของอนุภาคมูลฐานทั้งหมดจะมีสีที่น่าจะเป็น ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดคือการกระจายเชิงพื้นที่ของเมฆอิเล็กตรอนในวงโคจรรอบนิวเคลียสของอะตอม
มาดูการผสมพันธุ์อิเล็กตรอนสองประเภทในอะตอมกับเมฆรูปแบบที่ง่ายที่สุด: s และ p เมฆประเภทแรกมีลักษณะเป็นทรงกลม แต่ถ้าผู้อ่านจำจากตำราฟิสิกส์ได้ เมฆอิเล็กตรอนเหล่านี้มักถูกมองว่าเป็นกลุ่มจุดพร่ามัวบางประเภท ไม่ใช่ทรงกลมเรียบ ซึ่งหมายความว่าในระยะหนึ่งจากนิวเคลียสจะมีโซนที่มีความน่าจะเป็นสูงสุดที่จะพบกับอิเล็กตรอน อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นนี้ไม่ใช่ศูนย์แต่ยิ่งใกล้ขึ้นอีกนิดและยิ่งมากขึ้นอีกเล็กน้อยเท่านั้น ในกรณีนี้ สำหรับ p-electron รูปร่างของก้อนอิเล็กตรอนจะแสดงเป็นดัมเบลล์ที่ค่อนข้างพร่ามัว กล่าวคือมีพื้นผิวที่ค่อนข้างซับซ้อนซึ่งความน่าจะเป็นในการค้นหาอิเล็กตรอนนั้นสูงที่สุด แต่ถึงแม้จะใกล้เคียงกับ “ดัมเบลล์” นี้ ทั้งที่ไกลและใกล้แกนกลางมากขึ้น ความน่าจะเป็นดังกล่าวไม่เท่ากับศูนย์
การทำให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นมาตรฐาน
หลังแสดงถึงความจำเป็นในการทำให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นปกติ โดยการทำให้เป็นมาตรฐานนั้นหมายถึง "ความเหมาะสม" ของพารามิเตอร์บางอย่างซึ่งมันเป็นความจริงอัตราส่วนบางอย่าง หากเราพิจารณาพิกัดเชิงพื้นที่ ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคที่กำหนด (เช่น อิเล็กตรอน) ในจักรวาลที่มีอยู่ควรเท่ากับ 1 สูตรมีลักษณะดังนี้:
ʃV Ψ Ψ dV=1.
ดังนั้น กฎการอนุรักษ์พลังงานจึงเกิดขึ้นจริง: หากเรากำลังมองหาอิเล็กตรอนที่เฉพาะเจาะจง จะต้องอยู่ในพื้นที่ที่กำหนดทั้งหมด มิฉะนั้น การแก้สมการชโรดิงเงอร์ก็ไม่สมเหตุสมผล และไม่ว่าอนุภาคนี้จะอยู่ในดวงดาวหรือในความว่างเปล่าของจักรวาลขนาดยักษ์ มันต้องอยู่ที่ไหนสักแห่ง
เรากล่าวว่าตัวแปรที่ฟังก์ชันขึ้นอยู่นั้นสามารถเป็นพิกัดที่ไม่ใช่เชิงพื้นที่ได้เช่นกัน ในกรณีนี้ การปรับให้เป็นมาตรฐานจะดำเนินการกับพารามิเตอร์ทั้งหมดที่ฟังก์ชันขึ้นอยู่
เดินทางทันที: เคล็ดลับหรือความเป็นจริง
ในกลศาสตร์ควอนตัม การแยกคณิตศาสตร์ออกจากความหมายทางกายภาพนั้นยากอย่างเหลือเชื่อ ตัวอย่างเช่น พลังค์แนะนำควอนตัมเพื่อความสะดวกในการแสดงออกทางคณิตศาสตร์ของสมการใดสมการหนึ่ง ตอนนี้หลักการของความไม่ต่อเนื่องของปริมาณและแนวความคิดจำนวนมาก (พลังงาน โมเมนตัมเชิงมุม ภาคสนาม) อยู่ภายใต้แนวทางสมัยใหม่ในการศึกษาโลกจุลภาค Ψก็มีความขัดแย้งนี้ จากคำตอบหนึ่งของสมการชโรดิงเงอร์ เป็นไปได้ว่าสถานะควอนตัมของระบบจะเปลี่ยนแปลงทันทีระหว่างการวัด ปรากฏการณ์นี้มักเรียกว่าการลดลงหรือการยุบตัวของฟังก์ชันคลื่น หากสิ่งนี้เป็นไปได้ในความเป็นจริง ระบบควอนตัมสามารถเคลื่อนที่ด้วยความเร็วอนันต์ได้ แต่ขีดจำกัดความเร็วของวัตถุจริงในจักรวาลของเราไม่เปลี่ยนรูป: ไม่มีอะไรเคลื่อนที่ได้เร็วกว่าแสง ปรากฏการณ์นี้ไม่เคยมีการบันทึกมาก่อน แต่ก็ยังไม่สามารถหักล้างมันได้ในทางทฤษฎี เมื่อเวลาผ่านไป บางที ความขัดแย้งนี้จะได้รับการแก้ไข: มนุษยชาติจะมีเครื่องมือที่จะแก้ไขปรากฏการณ์ดังกล่าว หรือจะมีกลอุบายทางคณิตศาสตร์ที่จะพิสูจน์ความไม่สอดคล้องของสมมติฐานนี้ มีตัวเลือกที่สาม: ผู้คนจะสร้างปรากฏการณ์ดังกล่าว แต่ในขณะเดียวกัน ระบบสุริยะก็จะตกลงไปในหลุมดำเทียม
ฟังก์ชั่นคลื่นของระบบหลายอนุภาค (อะตอมไฮโดรเจน)
ดังที่เราได้กล่าวไว้ตลอดทั้งบทความ ฟังก์ชัน psi อธิบายอนุภาคมูลฐานหนึ่งอนุภาค แต่เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิด อะตอมไฮโดรเจนดูเหมือนระบบที่มีอนุภาคเพียงสองอนุภาค (อิเล็กตรอนลบหนึ่งตัวและโปรตอนบวกหนึ่งตัว) ฟังก์ชันคลื่นของอะตอมไฮโดรเจนสามารถอธิบายได้ว่าเป็นอนุภาคสองอนุภาคหรือโดยตัวดำเนินการประเภทเมทริกซ์ความหนาแน่น เมทริกซ์เหล่านี้ไม่ใช่ส่วนขยายของฟังก์ชัน psi อย่างแน่นอน ค่อนข้างจะแสดงความสอดคล้องกันระหว่างความน่าจะเป็นในการค้นหาอนุภาคในสถานะหนึ่งและอีกสถานะหนึ่ง สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าปัญหาจะแก้ไขได้เฉพาะสองร่างเท่านั้นในเวลาเดียวกัน เมทริกซ์ความหนาแน่นใช้ได้กับอนุภาคคู่ แต่ระบบที่ซับซ้อนกว่านั้นทำไม่ได้ เช่น เมื่อวัตถุตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไปมีปฏิสัมพันธ์กัน ในความเป็นจริงนี้ ความคล้ายคลึงที่น่าเหลือเชื่อสามารถตรวจสอบได้ระหว่างกลไกที่ "หยาบ" ที่สุดและฟิสิกส์ควอนตัมที่ "ดีมาก" ดังนั้น เราไม่ควรคิดว่าเนื่องจากกลศาสตร์ควอนตัมมีอยู่ แนวคิดใหม่ไม่สามารถเกิดขึ้นในฟิสิกส์ธรรมดาได้ สิ่งที่น่าสนใจซ่อนอยู่เบื้องหลังใดๆโดยเปลี่ยนการคำนวณทางคณิตศาสตร์
