เส้นและระนาบเป็นสององค์ประกอบทางเรขาคณิตที่สำคัญที่สุดที่สามารถใช้สร้างรูปร่างที่แตกต่างกันในพื้นที่ 2D และ 3D พิจารณาวิธีหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานกับระนาบคู่ขนาน
งานคณิตศาสตร์เส้นตรง
จากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสองมิติ สามารถระบุเส้นในรูปแบบต่อไปนี้:
y=kx + b.
โดยที่ k และ b เป็นตัวเลข (พารามิเตอร์) รูปแบบการเขียนแทนเส้นในระนาบคือระนาบที่ขนานกับแกน z ในปริภูมิสามมิติ ในมุมมองนี้ ในบทความนี้ สำหรับการมอบหมายทางคณิตศาสตร์ของเส้นตรง เราจะใช้รูปแบบที่สะดวกและเป็นสากลมากขึ้น - เวกเตอร์
สมมติว่าเส้นของเราขนานกับเวกเตอร์ u¯(a, b, c) และผ่านจุด P(x0, y0, z0). ในกรณีนี้ ในรูปเวกเตอร์ สมการของมันจะเป็นดังนี้:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
ที่นี่ λ คือเลขอะไรก็ได้ หากเราแสดงพิกัดอย่างชัดเจนโดยขยายนิพจน์ที่เป็นลายลักษณ์อักษร เราก็จะได้รูปแบบพาราเมตริกในการเขียนเส้นตรง
สะดวกในการทำงานกับสมการเวกเตอร์เมื่อแก้ปัญหาต่างๆ ที่จำเป็นต้องกำหนดระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน
เส้นและระยะห่างระหว่างพวกเขา
ควรพูดถึงระยะห่างระหว่างเส้นเฉพาะเมื่อเส้นขนานกันเท่านั้น (ในกรณีสามมิติ ยังมีระยะห่างระหว่างเส้นเอียงที่ไม่เป็นศูนย์ด้วย) หากเส้นตัดกัน แสดงว่าระยะห่างจากกันเป็นศูนย์
ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่เชื่อมกัน ในการพิจารณาตัวบ่งชี้นี้ ก็เพียงพอที่จะเลือกจุดใดก็ได้บนบรรทัดใดบรรทัดหนึ่งแล้ววางในแนวตั้งฉากจากจุดนั้นไปยังอีกจุดหนึ่ง
มาอธิบายขั้นตอนการหาระยะทางที่ต้องการกัน สมมติว่าเรารู้สมการเวกเตอร์ของสองบรรทัด ซึ่งแสดงในรูปแบบทั่วไปต่อไปนี้:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานบนเส้นเหล่านี้โดยให้ด้านหนึ่งเป็น PQ และอีกด้านหนึ่ง เช่น u เห็นได้ชัดว่าความสูงของรูปนี้ซึ่งดึงมาจากจุด P คือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ต้องการ หากต้องการค้นหาคุณสามารถใช้วิธีง่ายๆดังต่อไปนี้สูตร:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
เนื่องจากระยะห่างระหว่างเส้นตรงคือความยาวของส่วนตั้งฉากระหว่างกัน จากนั้นตามนิพจน์ที่เขียน ก็เพียงพอที่จะหาโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของ PQ¯ และ u¯ แล้วหารผลลัพธ์ด้วย ความยาวของเวกเตอร์ u¯
ตัวอย่างงานกำหนดระยะห่างระหว่างเส้นตรง
เส้นตรงสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการเวกเตอร์ต่อไปนี้:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
จากนิพจน์ที่เขียน จะเห็นได้ชัดว่าเรามีเส้นขนานสองเส้น อันที่จริง ถ้าเราคูณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นแรกด้วย -1 เราจะได้พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่สอง ซึ่งบ่งชี้ถึงความขนานกัน
ระยะห่างระหว่างเส้นตรงจะคำนวณโดยใช้สูตรที่เขียนไว้ในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความ เรามี:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
แล้วก็ได้:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2.535 ซม.
โปรดทราบว่าแทนที่จะใช้คะแนน P และ Q คะแนนใดๆ ที่อยู่ในบรรทัดเหล่านี้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาได้ ในกรณีนี้เราจะได้ระยะทางเท่ากัน d.
การตั้งระนาบในรูปเรขาคณิต
คำถามเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างบรรทัดถูกกล่าวถึงในรายละเอียดข้างต้น คราวนี้มาดูวิธีหาระยะห่างระหว่างระนาบคู่ขนานกัน
ทุกคนเป็นตัวแทนของเครื่องบิน ตามคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ องค์ประกอบทางเรขาคณิตที่ระบุคือชุดของจุด ยิ่งไปกว่านั้น หากคุณเขียนเวกเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดยใช้จุดเหล่านี้ พวกมันทั้งหมดจะตั้งฉากกับเวกเตอร์เดียว อย่างหลังมักจะเรียกว่าปกติถึงเครื่องบิน
ในการระบุสมการของระนาบในปริภูมิสามมิติ รูปแบบทั่วไปของสมการมักใช้บ่อยที่สุด หน้าตาเป็นแบบนี้:
Ax + By + Cz + D=0.
โดยที่ตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่เป็นตัวเลขบางตัว มันสะดวกที่จะใช้สมการระนาบประเภทนี้เพราะพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากระบุไว้อย่างชัดเจน คือ A B C
มันง่ายที่จะเห็นว่าระนาบสองระนาบขนานกันก็ต่อเมื่อเส้นตั้งฉากขนานกัน
วิธีหาระยะห่างระหว่างระนาบคู่ขนานสองระนาบ ?
เพื่อกำหนดระยะทางที่กำหนด คุณควรเข้าใจอย่างชัดเจนว่าอะไรคือความเสี่ยง ระยะห่างระหว่างระนาบที่ขนานกันเป็นที่เข้าใจกันว่าความยาวของส่วนตั้งฉากกับพวกมัน ส่วนท้ายของส่วนนี้เป็นของเครื่องบิน
อัลกอริธึมในการแก้ปัญหานั้นง่าย ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาพิกัดของจุดใดก็ตามที่เป็นของหนึ่งในสองระนาบ จากนั้น คุณควรใช้สูตรนี้:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
เนื่องจากระยะทางเป็นค่าบวก เครื่องหมายโมดูลัสจึงอยู่ในตัวเศษ สูตรที่เป็นลายลักษณ์อักษรนั้นเป็นสูตรสากล เนื่องจากช่วยให้คุณคำนวณระยะทางจากระนาบถึงองค์ประกอบทางเรขาคณิตใดๆ ก็ได้ แค่รู้พิกัดของจุดหนึ่งขององค์ประกอบนี้ก็เพียงพอแล้ว
เพื่อความสมบูรณ์ เราสังเกตว่าหากเส้นปกติของระนาบสองระนาบไม่ขนานกัน ระนาบดังกล่าวจะตัดกัน ระยะห่างระหว่างพวกเขาจะเป็นศูนย์
ปัญหาการกำหนดระยะห่างระหว่างเครื่องบิน
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าระนาบสองอันถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าระนาบขนานกันและต้องกำหนดระยะห่างระหว่างเครื่องบินด้วย
ในการตอบส่วนแรกของปัญหา คุณต้องนำสมการแรกมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป โปรดทราบว่าจะได้รับในรูปแบบที่เรียกว่าสมการในกลุ่ม คูณส่วนซ้ายและขวาด้วย 15 และย้ายพจน์ทั้งหมดไปอยู่ด้านหนึ่งของสมการ เราจะได้
-5x + 3y + 15z – 15=0.
ลองเขียนพิกัดของเวกเตอร์ปกติสองตัวของเครื่องบินกัน:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
จะเห็นได้ว่าถ้า n2¯ คูณด้วย 5 เราก็จะได้พิกัดพอดี n1¯ ดังนั้นระนาบที่พิจารณาคือขนาน
ในการคำนวณระยะห่างระหว่างระนาบคู่ขนาน ให้เลือกจุดแรกตามอำเภอใจแล้วใช้สูตรข้างต้น ตัวอย่างเช่น ลองหาจุด (0, 0, 1) ซึ่งเป็นระนาบแรก เราก็ได้:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0.31 ซม.
ระยะที่ต้องการ 31 mm.
ระยะทางระหว่างเครื่องบินกับสาย
ความรู้ทางทฤษฎีที่ให้มาทำให้เราแก้ปัญหาการกำหนดระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับระนาบได้ มีการกล่าวไว้ข้างต้นแล้วว่าสูตรที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณระหว่างระนาบนั้นเป็นสากล นอกจากนี้ยังสามารถใช้ในการแก้ปัญหา ในการดำเนินการนี้ เพียงเลือกจุดใดก็ได้ที่อยู่ในบรรทัดที่กำหนด
ปัญหาหลักในการกำหนดระยะห่างระหว่างองค์ประกอบทางเรขาคณิตที่พิจารณาคือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน (ถ้าไม่ใช่ d=0) ความขนานนั้นพิสูจน์ได้ง่ายหากคุณคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเส้นปกติและเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้น หากองค์ประกอบที่อยู่ในการพิจารณาขนานกัน ผลิตภัณฑ์นี้จะเท่ากับศูนย์