ขอบเขตของคำจำกัดความ - คืออะไร ?

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

พูดง่ายๆ สั้นๆ ว่า scope คือค่าที่ทุกฟังก์ชันรับได้ เพื่อที่จะสำรวจหัวข้อนี้อย่างเต็มที่ คุณต้องค่อยๆ แยกส่วนประเด็นและแนวคิดต่อไปนี้ออก อันดับแรก มาทำความเข้าใจกับคำจำกัดความของฟังก์ชันและประวัติของรูปลักษณ์กัน

ฟังก์ชั่นคืออะไร

วิทยาศาสตร์ทุกประการให้ตัวอย่างมากมายแก่เรา โดยที่ตัวแปรที่เป็นปัญหานั้นขึ้นอยู่กับแต่ละตัวแปร ตัวอย่างเช่น ความหนาแน่นของสารถูกกำหนดโดยมวลและปริมาตรอย่างสมบูรณ์ ความดันของก๊าซในอุดมคติที่ปริมาตรคงที่แปรผันตามอุณหภูมิ ตัวอย่างเหล่านี้รวมกันโดยข้อเท็จจริงที่ว่าสูตรทั้งหมดมีการพึ่งพาระหว่างตัวแปร ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชัน

A ฟังก์ชันคือแนวคิดที่แสดงการพึ่งพาปริมาณหนึ่งไปยังอีกปริมาณหนึ่ง มันมีรูปแบบ y=f(x) โดยที่ y คือค่าของฟังก์ชัน ซึ่งขึ้นอยู่กับ x - อาร์กิวเมนต์ ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่า y เป็นตัวแปรที่ขึ้นอยู่กับค่าของ x ค่าที่ x เอามารวมกันได้คือโดเมนของฟังก์ชันที่กำหนด (D(y) หรือ D(f)) และด้วยเหตุนี้ ค่าของ y จึงประกอบขึ้นเป็นชุดของค่าฟังก์ชัน (E(f) หรือ E(y)) มีหลายกรณีที่บางสูตรกำหนดฟังก์ชัน ในกรณีนี้ โดเมนของคำจำกัดความประกอบด้วยค่าของตัวแปรดังกล่าว ซึ่งสัญกรณ์ที่มีสูตรเหมาะสมแล้ว

มีคุณสมบัติที่ตรงกันหรือเท่ากัน ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นสองฟังก์ชันที่มีช่วงค่าที่ถูกต้องเท่ากัน และค่าของฟังก์ชันเองจะเท่ากันสำหรับอาร์กิวเมนต์เดียวกันทั้งหมด

วิทยาศาสตร์หลายข้อมีชื่อเรียกคล้ายกับสถานการณ์ในชีวิตจริง มีข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เช่นกัน มีทฤษฎีบทหนึ่งเกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชัน "แซนวิช" ระหว่างอีกสองคนที่มีขีดจำกัดเหมือนกัน นั่นคือตำรวจประมาณสองคน พวกเขาอธิบายแบบนี้: เนื่องจากตำรวจสองคนกำลังนำนักโทษไปยังห้องขังระหว่างพวกเขา อาชญากรจึงถูกบังคับให้ไปที่นั่น และเขาก็ไม่มีทางเลือก

การอ้างอิงคุณสมบัติทางประวัติศาสตร์

แนวคิดของฟังก์ชันไม่ได้กลายเป็นจุดสิ้นสุดในทันทีและแม่นยำ แต่ได้ผ่านขั้นตอนมาอย่างยาวนาน ประการแรก Fermat's Introduction and Study of Plane and Solid Places ซึ่งตีพิมพ์ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 ระบุดังนี้:

เมื่อไรก็ตามที่มีสองสิ่งที่ไม่รู้ในสมการสุดท้าย ย่อมมีที่ว่าง

โดยทั่วไป งานนี้พูดถึงการพึ่งพาฟังก์ชันและภาพลักษณ์ (สถานที่=บรรทัด)

ในช่วงเวลาเดียวกันนั้น Rene Descartes ได้ศึกษาเส้นโดยสมการในงานของเขา "Geometry" (1637) ซึ่งความจริงอีกครั้งการพึ่งพาสองปริมาณซึ่งกันและกัน

การกล่าวถึงคำว่า "หน้าที่" อย่างมากนั้นปรากฏเฉพาะเมื่อปลายศตวรรษที่ 17 กับไลบนิซเท่านั้น แต่ไม่พบในการตีความสมัยใหม่ ในงานวิทยาศาสตร์ของเขา เขาคิดว่าฟังก์ชันคือส่วนต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้ง

แต่ในศตวรรษที่ 18 ฟังก์ชันเริ่มถูกกำหนดให้ถูกต้องมากขึ้น Bernoulli เขียนว่า:

A ฟังก์ชั่นคือค่าที่ประกอบด้วยตัวแปรและค่าคงที่

ความคิดของออยเลอร์ก็ใกล้เคียงเช่นกัน:

ฟังก์ชันปริมาณผันแปรคือนิพจน์การวิเคราะห์ที่สร้างขึ้นในลักษณะใดรูปแบบหนึ่งของปริมาณตัวแปรและตัวเลขหรือปริมาณคงที่

เมื่อปริมาณบางอย่างขึ้นอยู่กับปริมาณอื่นๆ ในลักษณะที่เมื่อสิ่งหลังเปลี่ยน พวกมันเปลี่ยนเอง จากนั้นสิ่งแรกเรียกว่าหน้าที่ของตัวหลัง

กราฟฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชันประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่เป็นของแกนของระนาบพิกัด ซึ่ง abscissas ที่รับค่าของอาร์กิวเมนต์ และค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้เป็นพิกัด

ขอบเขตของฟังก์ชันเกี่ยวข้องโดยตรงกับกราฟของมัน เพราะหากมีการยกเว้น abscissas ใดๆ ด้วยช่วงของค่าที่ถูกต้อง คุณจะต้องวาดจุดว่างบนกราฟหรือวาดกราฟภายในขีดจำกัดที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ถ้ากราฟของรูปแบบ y=tgx ถูกใช้ ค่า x=pi / 2 + pin, n∉R จะถูกแยกออกจากพื้นที่คำจำกัดความ ในกรณีของกราฟแทนเจนต์ คุณต้องวาดเส้นแนวตั้งขนานกับแกน y (เรียกว่าเส้นกำกับ) ผ่านจุด ±pi/2.

การศึกษาฟังก์ชันอย่างละเอียดถี่ถ้วนถือเป็นสาขาใหญ่ของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าแคลคูลัส ในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา คำถามเบื้องต้นเกี่ยวกับฟังก์ชันยังถูกกล่าวถึงด้วย เช่น การสร้างกราฟอย่างง่าย และการสร้างคุณสมบัติพื้นฐานบางอย่างของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นอะไรที่ตั้งค่าได้

ฟังก์ชั่นสามารถ:

• เป็นสูตร เช่น y=cos x;
• กำหนดโดยตารางคู่ของแบบฟอร์ม (x; y);
• ในทันทีมีมุมมองแบบกราฟิก สำหรับสิ่งนี้ คู่จากรายการก่อนหน้าของแบบฟอร์ม (x; y) จะต้องแสดงบนแกนพิกัด

โปรดใช้ความระมัดระวังในการแก้ปัญหาระดับสูง นิพจน์เกือบทั้งหมดสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับอาร์กิวเมนต์สำหรับค่าของฟังก์ชัน y (x) การค้นหาโดเมนของคำจำกัดความในงานดังกล่าวอาจเป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหา

ขอบเขตคืออะไร

สิ่งแรกที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันเพื่อศึกษาหรือสร้างฟังก์ชันคือขอบเขต กราฟควรมีเฉพาะจุดที่มีฟังก์ชันอยู่เท่านั้น โดเมนของคำจำกัดความ (x) อาจเรียกว่าโดเมนของค่าที่ยอมรับได้ (ย่อมาจาก ODZ)

ในการสร้างกราฟของฟังก์ชันอย่างถูกต้องและรวดเร็ว คุณจำเป็นต้องทราบโดเมนของฟังก์ชันนี้ เนื่องจากลักษณะที่ปรากฏของกราฟและความเที่ยงตรงจะขึ้นอยู่กับมันการก่อสร้าง. ตัวอย่างเช่น ในการสร้างฟังก์ชัน y=√x คุณต้องรู้ว่า x รับได้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น ดังนั้นจึงสร้างเฉพาะในจตุภาคพิกัดแรก

ขอบเขตของคำจำกัดความของตัวอย่างฟังก์ชันเบื้องต้น

ในคลังแสง คณิตศาสตร์มีฟังก์ชันพื้นฐานที่กำหนดไว้จำนวนน้อย พวกเขามีขอบเขตจำกัด การแก้ปัญหานี้จะไม่ทำให้เกิดปัญหา แม้ว่าคุณจะมีสิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันที่ซับซ้อนอยู่ข้างหน้าคุณก็ตาม มันเป็นแค่การผสมผสานง่ายๆ หลายๆ อย่าง

1. ดังนั้น ฟังก์ชันอาจเป็นเศษส่วนได้ เช่น f(x)=1/x ดังนั้น ตัวแปร (อาร์กิวเมนต์ของเรา) จึงอยู่ในตัวส่วน และทุกคนรู้ว่าตัวส่วนของเศษส่วนไม่สามารถเท่ากับ 0 ได้ ดังนั้น อาร์กิวเมนต์สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ ยกเว้น 0 สัญกรณ์จะมีลักษณะดังนี้: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). หากมีนิพจน์ที่มีตัวแปรในตัวส่วน คุณจำเป็นต้องแก้สมการสำหรับ x และไม่รวมค่าที่เปลี่ยนตัวส่วนเป็น 0 สำหรับการแสดงแผนผัง 5 คะแนนที่เลือกมาอย่างดีก็เพียงพอแล้ว กราฟของฟังก์ชันนี้จะเป็นไฮเปอร์โบลาที่มีเส้นกำกับแนวตั้งผ่านจุด (0; 0) และแกน Ox และ Oy รวมกัน หากภาพกราฟิกตัดกับเส้นกำกับ ข้อผิดพลาดดังกล่าวจะถือว่าร้ายแรงที่สุด
2. แต่โดเมนของรูทคืออะไร? โดเมนของฟังก์ชันที่มีนิพจน์ราก (f(x)=√(2x + 5)) ซึ่งมีตัวแปรก็มีความแตกต่างกันเช่นกัน (ใช้กับรูทของดีกรีคู่เท่านั้น) เนื่องจากรากเลขคณิตเป็นนิพจน์บวกหรือเท่ากับ 0 ดังนั้นนิพจน์รากต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 0 เราแก้ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5 ดังนั้นโดเมนของสิ่งนี้ ฟังก์ชัน: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞) กราฟเป็นหนึ่งในกิ่งก้านของพาราโบลา หมุน 90 องศา ซึ่งอยู่ในจตุภาคพิกัดแรก
3. หากเรากำลังจัดการกับฟังก์ชันลอการิทึม คุณควรจำไว้ว่ามีข้อ จำกัด เกี่ยวกับฐานของลอการิทึมและนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม ในกรณีนี้ คุณสามารถค้นหาโดเมนของคำจำกัดความเป็น ดังต่อไปนี้ เรามีฟังก์ชัน: y=log_{a(x + 7) เราแก้อสมการ: x + 7 > 0, x > -7 จากนั้นโดเมนของฟังก์ชันนี้คือ D(y)=x ∈ (-7; +∞).}
4. ให้ความสนใจกับฟังก์ชันตรีโกณมิติของรูปแบบด้วย y=tgx และ y=ctgx เนื่องจาก y=tgx=sinx/cos/x และ y=ctgx=cosx/sinx ดังนั้น คุณต้องยกเว้นค่า โดยที่ตัวส่วนสามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ หากคุณคุ้นเคยกับกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ การทำความเข้าใจโดเมนของฟังก์ชันนั้นเป็นเรื่องง่าย

การทำงานกับฟังก์ชันที่ซับซ้อนแตกต่างกันอย่างไร

จำกฎพื้นฐานสองสามข้อ หากเรากำลังทำงานกับฟังก์ชันที่ซับซ้อน ก็ไม่จำเป็นต้องแก้อะไร ลดความซับซ้อน เพิ่มเศษส่วน ลดตัวส่วนร่วมต่ำสุดและแยกราก เราต้องตรวจสอบฟังก์ชันนี้เนื่องจากการดำเนินการที่แตกต่างกัน (แม้จะเหมือนกัน) สามารถเปลี่ยนขอบเขตของฟังก์ชันได้ ส่งผลให้คำตอบไม่ถูกต้อง

ตัวอย่างเช่น เรามีฟังก์ชันเชิงซ้อน: y=(x2 - 4)/(x - 2) เราไม่สามารถลดตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนได้ เนื่องจากนี่เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ x ≠ 2 และนี่คือภารกิจในการค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน เราจึงไม่แยกตัวประกอบของตัวเศษและไม่แก้ความไม่เท่าเทียมกันใดๆ เนื่องจาก ค่าที่ไม่มีฟังก์ชัน มองเห็นได้ด้วยตาเปล่า ในกรณีนี้ x ไม่สามารถรับค่า 2 เนื่องจากตัวส่วนไม่สามารถไปที่ 0 ได้ สัญกรณ์จะมีลักษณะดังนี้: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).

ฟังก์ชั่นซึ่งกันและกัน

สำหรับผู้เริ่มต้น ควรพูดว่าฟังก์ชันสามารถย้อนกลับได้เฉพาะในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงเท่านั้น ในการหาฟังก์ชันผกผัน คุณต้องสลับ x กับ y ในสัญกรณ์และแก้สมการของ x โดเมนของคำจำกัดความและโดเมนของค่าจะถูกย้อนกลับอย่างง่ายดาย

เงื่อนไขหลักสำหรับการย้อนกลับได้คือช่วงเสียงเดียวของฟังก์ชัน หากฟังก์ชันมีช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลง ก็สามารถเขียนฟังก์ชันผกผันของช่วงใดช่วงหนึ่งได้ (เพิ่มขึ้นหรือลดลง)

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y=e^xส่วนกลับคือฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ y=log_{ea=lna สำหรับตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเหล่านี้จะเป็นฟังก์ชันที่มีส่วนนำหน้า arc-: y=sinx และ y=arcsinx เป็นต้น กราฟจะถูกวางอย่างสมมาตรเทียบกับแกนหรือเส้นกำกับบางเส้น}

สรุป

การค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้คือการตรวจสอบกราฟของฟังก์ชัน (ถ้ามี)การบันทึกและแก้ไขระบบเฉพาะที่จำเป็นของความไม่เท่าเทียมกัน

ดังนั้น บทความนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจว่าขอบเขตของฟังก์ชันมีไว้เพื่ออะไรและจะค้นหาได้อย่างไร เราหวังว่ามันจะช่วยให้คุณเข้าใจหลักสูตรพื้นฐานของโรงเรียนเป็นอย่างดี