หลายคนที่ต้องเผชิญกับแนวคิดของ "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" ต่างตื่นตระหนกโดยคิดว่านี่เป็นสิ่งที่ซับซ้อนและซับซ้อนมาก แต่จริงๆแล้วมันไม่ใช่สิ่งที่น่าเศร้าทั้งหมด วันนี้เราจะมาพิจารณาแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ
วิทยาศาสตร์
สาขาคณิตศาสตร์เช่น "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" ศึกษาอะไร? มันบันทึกรูปแบบของเหตุการณ์สุ่มและปริมาณ เป็นครั้งแรกที่นักวิทยาศาสตร์เริ่มให้ความสนใจในประเด็นนี้ตั้งแต่สมัยศตวรรษที่ 18 เมื่อพวกเขาศึกษาเรื่องการพนัน แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือเหตุการณ์ เป็นความจริงที่พิสูจน์ได้ด้วยประสบการณ์หรือการสังเกต แต่ประสบการณ์คืออะไร? แนวคิดพื้นฐานอีกอย่างของทฤษฎีความน่าจะเป็น หมายความว่าองค์ประกอบของสถานการณ์นี้ไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญ แต่เพื่อจุดประสงค์เฉพาะ สำหรับการสังเกต ที่นี่ผู้วิจัยเองไม่ได้มีส่วนร่วมในการทดลอง แต่เป็นเพียงพยานเหตุการณ์เหล่านี้ เขาไม่ได้มีอิทธิพลต่อสิ่งที่เกิดขึ้นในทางใดทางหนึ่ง
กิจกรรม
เราได้เรียนรู้ว่าแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือเหตุการณ์ แต่ไม่ได้พิจารณาการจัดประเภท ทั้งหมดแบ่งออกเป็นหมวดหมู่ต่อไปนี้:
- เชื่อถือได้
- เป็นไปไม่ได้
- สุ่ม
ไม่เป็นไรเหตุการณ์ประเภทใดที่สังเกตหรือสร้างขึ้นในระหว่างประสบการณ์ล้วนอยู่ภายใต้การจำแนกประเภทนี้ เราเสนอให้ทำความคุ้นเคยกับแต่ละสายพันธุ์แยกกัน
บางงาน
นี่คือพฤติการณ์ก่อนที่จะมีมาตรการที่จำเป็น เพื่อให้เข้าใจแก่นแท้ได้ดีขึ้น ควรยกตัวอย่างสองสามตัวอย่าง ฟิสิกส์ เคมี เศรษฐศาสตร์ และคณิตศาสตร์ชั้นสูงอยู่ภายใต้กฎหมายนี้ ทฤษฎีความน่าจะเป็นรวมถึงแนวคิดที่สำคัญเช่นเหตุการณ์บางอย่าง นี่คือตัวอย่างบางส่วน:
- เราทำงานและรับค่าตอบแทนในรูปของค่าจ้าง
- เราสอบผ่านได้ดี ผ่านการแข่งขัน ด้วยเหตุนี้เราจึงได้รับรางวัลในรูปแบบการเข้าศึกษาในสถาบันการศึกษา
- เราลงทุนเงินในธนาคาร ถ้าจำเป็นเราจะคืนให้
เหตุการณ์ดังกล่าวมีความน่าเชื่อถือ หากเราปฏิบัติตามเงื่อนไขที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว เราก็จะได้ผลลัพธ์ที่คาดหวังไว้อย่างแน่นอน
เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้
ตอนนี้เรากำลังพิจารณาองค์ประกอบของทฤษฎีความน่าจะเป็น เราเสนอให้ไปที่คำอธิบายของเหตุการณ์ประเภทต่อไป กล่าวคือ เป็นไปไม่ได้ อันดับแรก ให้ระบุกฎที่สำคัญที่สุด - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์
คุณไม่สามารถเบี่ยงเบนจากถ้อยคำนี้เมื่อแก้ปัญหา เพื่อความกระจ่าง นี่คือตัวอย่างเหตุการณ์ดังกล่าว:
- น้ำแข็งตัวที่บวกสิบ (เป็นไปไม่ได้)
- การขาดแคลนไฟฟ้าไม่มีผลกับการผลิตแต่อย่างใด (เป็นไปไม่ได้เหมือนในตัวอย่างที่แล้ว)
ตัวอย่างเพิ่มเติมไม่ควรอ้างถึง เนื่องจากสิ่งที่อธิบายไว้ข้างต้นสะท้อนถึงแก่นแท้ของหมวดหมู่นี้อย่างชัดเจน เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้จะไม่เกิดขึ้นระหว่างประสบการณ์ไม่ว่าในกรณีใดๆ
สุ่มกิจกรรม
การศึกษาองค์ประกอบของทฤษฎีความน่าจะเป็น ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับเหตุการณ์ประเภทนี้ นั่นคือสิ่งที่วิทยาศาสตร์กำลังศึกษาอยู่ จากประสบการณ์ บางสิ่งอาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้ นอกจากนี้ การทดสอบสามารถทำซ้ำได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง ตัวอย่างที่ชัดเจนคือ:
- การโยนเหรียญคือประสบการณ์ หรือการทดสอบ การมุ่งหน้าคือกิจกรรม
- สุ่มจับลูกบอลจากถุงเป็นการทดสอบ ลูกบอลสีแดงถูกจับเป็นงาน และอื่นๆ
ตัวอย่างดังกล่าวมีได้ไม่จำกัดจำนวน แต่โดยทั่วไปแล้ว สาระสำคัญควรมีความชัดเจน เพื่อสรุปและจัดระบบความรู้ที่ได้รับเกี่ยวกับเหตุการณ์จะได้รับตาราง ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษาเฉพาะประเภทสุดท้ายของการนำเสนอทั้งหมด
| ชื่อ | คำจำกัดความ | ตัวอย่าง |
| เชื่อถือได้ | เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมการรับประกัน 100% ภายใต้เงื่อนไขบางประการ | เข้าศึกษาในสถานศึกษาที่มีการสอบเข้าที่ดี |
| เป็นไปไม่ได้ | กิจกรรมที่ไม่มีวันเกิดขึ้นไม่ว่ากรณีใดๆ | หิมะตกที่อุณหภูมิสามสิบองศาเซลเซียส |
| สุ่ม | เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นระหว่างการทดลอง/การทดสอบ | ตีหรือพลาดเมื่อขว้างลูกบาสเก็ตบอลเข้าห่วง |
กฎหมาย
ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น เช่นเดียวกับคนอื่น ๆ มันมีกฎบางอย่าง มีกฎของทฤษฎีความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้:
- การบรรจบกันของลำดับของตัวแปรสุ่ม
- กฎของตัวเลขมาก
เมื่อคำนวณความเป็นไปได้ของความซับซ้อน คุณสามารถใช้เหตุการณ์ง่าย ๆ ที่ซับซ้อนเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ได้ง่ายขึ้นและเร็วขึ้น โปรดทราบว่ากฎของทฤษฎีความน่าจะเป็นสามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทบางข้อ มาเริ่มที่กฎข้อแรกกันเลยค่ะ
การบรรจบกันของลำดับของตัวแปรสุ่ม
โปรดทราบว่าการบรรจบกันมีหลายประเภท:
- ลำดับของตัวแปรสุ่มมาบรรจบกันในความน่าจะเป็น
- แทบเป็นไปไม่ได้
- การบรรจบกันของ RMS
- คอนเวอร์เจนซ์ในการกระจาย
ดังนั้น ในทันที มันยากมากที่จะถึงจุดต่ำสุดของมัน ต่อไปนี้เป็นคำจำกัดความบางส่วนที่จะช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อนี้ มาเริ่มกันที่ลุคแรกกันเลย ลำดับเรียกว่าคอนเวอร์เจนซ์ในความน่าจะเป็นหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: n มีแนวโน้มที่จะอนันต์ จำนวนที่ลำดับมีแนวโน้มมากกว่าศูนย์และใกล้กับหนึ่ง
ไปชมภาพต่อๆ ไป เกือบแน่นอน. พวกเขาบอกว่าลำดับมาบรรจบกันเกือบจะเป็นตัวแปรสุ่มโดยที่ n พุ่งไปที่อนันต์และ P พุ่งเข้าหาค่าที่ใกล้เคียงกัน
ประเภทต่อไปคือการบรรจบกันของ root-mean-square เมื่อใช้ SC-convergence การศึกษากระบวนการสุ่มเวกเตอร์จะลดลงเหลือการศึกษากระบวนการสุ่มพิกัด
ประเภทสุดท้ายยังคงอยู่ ลองพิจารณากันคร่าวๆ เพื่อดำเนินการแก้ไขปัญหาโดยตรง การบรรจบกันของการกระจายมีชื่ออื่น - "อ่อนแอ" เราจะอธิบายว่าทำไมด้านล่าง การบรรจบกันที่อ่อนแอคือการบรรจบกันของฟังก์ชันการกระจายที่ทุกจุดของความต่อเนื่องของฟังก์ชันการกระจายขีดจำกัด
อย่าลืมทำตามสัญญา: การบรรจบกันที่อ่อนแอแตกต่างจากทั้งหมดข้างต้นโดยที่ตัวแปรสุ่มไม่ได้ถูกกำหนดบนช่องว่างความน่าจะเป็น สิ่งนี้เป็นไปได้เนื่องจากเงื่อนไขถูกสร้างขึ้นโดยใช้ฟังก์ชันการกระจายเท่านั้น
กฎของตัวเลขมาก
ตัวช่วยที่ยอดเยี่ยมในการพิสูจน์กฎข้อนี้จะเป็นทฤษฎีบทของทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่น:
- ความไม่เท่าเทียมกันของเชบีเชฟ
- ทฤษฎีบทของเชบี้เชฟ
- ทฤษฎีบททั่วไปของ Chebyshev
- ทฤษฎีบทของมาร์คอฟ
ถ้าเราพิจารณาทฤษฎีบททั้งหมดนี้ คำถามนี้อาจลากไปหลายสิบแผ่น งานหลักของเราคือการนำทฤษฎีความน่าจะเป็นมาประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ เราขอเชิญคุณทำสิ่งนี้ทันที แต่ก่อนหน้านั้น ลองพิจารณาสัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นกันก่อน พวกมันจะเป็นตัวช่วยหลักในการแก้ปัญหา
สัจพจน์
เราเจอคนแรกแล้วตอนที่พูดถึงเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ จำไว้ว่า: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์ เราได้ยกตัวอย่างที่ชัดเจนและน่าจดจำมาก: หิมะตกที่อุณหภูมิอากาศ 30 องศาเซลเซียส
อันที่สองฟังแบบนี้: เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้เกิดขึ้นโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง ตอนนี้เรามาแสดงวิธีการเขียนโดยใช้ภาษาคณิตศาสตร์กัน: P(B)=1.
สาม: เหตุการณ์สุ่มอาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้ แต่ความเป็นไปได้มีตั้งแต่ศูนย์ถึงหนึ่งเสมอ ยิ่งค่าเข้าใกล้หนึ่งมากเท่าไร โอกาสก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ถ้าค่าเข้าใกล้ศูนย์ ความน่าจะเป็นจะต่ำมาก ลองเขียนในภาษาคณิตศาสตร์: 0<Р(С)<1.
ลองพิจารณาสัจพจน์สุดท้ายที่สี่ ซึ่งฟังดูเหมือน: ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็น เราเขียนในภาษาคณิตศาสตร์: P (A + B) u003d P (A) + P (B)
สัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นกฎที่ง่ายที่สุดที่จำง่าย มาลองแก้ปัญหากันบ้างตามความรู้ที่ได้รับแล้ว
สลากกินแบ่ง
ก่อนอื่น พิจารณาตัวอย่างที่ง่ายที่สุด - ลอตเตอรี ลองนึกภาพว่าคุณซื้อลอตเตอรีหนึ่งใบเพื่อความโชคดี ความน่าจะเป็นที่คุณจะชนะอย่างน้อยยี่สิบรูเบิลเป็นเท่าไหร่? โดยรวมแล้ว ตั๋วหนึ่งพันใบมีส่วนร่วมในการหมุนเวียน หนึ่งในนั้นได้รับรางวัลห้าร้อยรูเบิล สิบจากหนึ่งร้อยรูเบิล ห้าสิบยี่สิบรูเบิล และหนึ่งร้อยห้า ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับการค้นหาความเป็นไปได้โชคดี. ตอนนี้เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของงานที่นำเสนอข้างต้นร่วมกัน
ถ้าเราเขียนว่า A ชนะ 500 rubles ความน่าจะเป็นที่จะได้ A จะเป็น 0.001 เราได้มันมาได้อย่างไร คุณเพียงแค่ต้องหารจำนวนตั๋ว "โชคดี" ด้วยจำนวนทั้งหมด (ในกรณีนี้: 1/1000)
B คือการชนะหนึ่งร้อยรูเบิล ความน่าจะเป็นคือ 0.01 ตอนนี้เราดำเนินการตามหลักการเดียวกันกับในการดำเนินการก่อนหน้า (10/1000)
C - เงินรางวัลเท่ากับยี่สิบรูเบิล หาความน่าจะเป็น เท่ากับ 0.05.
ตั๋วที่เหลือไม่น่าสนใจสำหรับเรา เนื่องจากเงินรางวัลน้อยกว่าที่กำหนดไว้ในเงื่อนไข ลองใช้สัจพจน์ที่สี่: ความน่าจะเป็นที่จะชนะอย่างน้อยยี่สิบรูเบิลคือ P(A)+P(B)+P(C) ตัวอักษร P หมายถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ เราได้พบแล้วในขั้นตอนก่อนหน้านี้ ยังคงเป็นเพียงการเพิ่มข้อมูลที่จำเป็นในคำตอบที่เราได้รับ 0, 061 หมายเลขนี้จะเป็นคำตอบสำหรับคำถามของงาน
สำรับไพ่
ปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นอาจซับซ้อนกว่านั้น เช่น ทำงานต่อไปนี้ ก่อนที่คุณจะเป็นสำรับไพ่สามสิบหกใบ งานของคุณคือจั่วไพ่สองใบติดต่อกันโดยไม่ผสมกอง ไพ่ใบที่หนึ่งและใบที่สองต้องเป็นเอซ ชุดไม่สำคัญ
อันดับแรก หาความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบแรกจะเป็นเอซ ในการนี้ เราหารสี่ด้วยสามสิบหก พวกเขาวางมันไว้ เรานำไพ่ใบที่สองออกมามันจะเป็นเอซที่มีความน่าจะเป็นสามสิบห้า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สองขึ้นอยู่กับว่าเราดึงไพ่ใบใดที่เราสนใจมันเป็นเอซหรือไม่ เป็นไปตามเหตุการณ์ B ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ A.
ขั้นตอนต่อไปคือการหาความน่าจะเป็นของการใช้งานพร้อมกัน กล่าวคือ เราคูณ A และ B ผลลัพธ์ที่ได้มีดังนี้: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งคูณด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งเราคำนวณ สมมติว่าเหตุการณ์แรกเกิดขึ้น นั่นคือ กับไพ่ใบแรกที่เราจั่วเอซ
เพื่อให้ทุกอย่างชัดเจน ให้กำหนดองค์ประกอบเช่นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ คำนวณโดยสมมติว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้น คำนวณได้ดังนี้: P(B/A).
แก้ปัญหาต่อไป: P(AB)=P(A)P(B/A) หรือ P (AB)=P(B)P(A/B). ความน่าจะเป็นคือ (4/36)((3/35)/(4/36) คำนวณโดยการปัดเศษเป็นร้อย เรามี: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. ความน่าจะเป็นที่เราจั่วเอซสองตัวติดต่อกันคือเก้าในร้อย ค่ามีขนาดเล็กมากตามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีขนาดเล็กมาก
ลืมเลข
เราเสนอให้วิเคราะห์ตัวเลือกเพิ่มเติมสองสามตัวสำหรับงานที่ศึกษาโดยทฤษฎีความน่าจะเป็น คุณได้เห็นตัวอย่างการแก้ปัญหาบางส่วนในบทความนี้แล้ว เรามาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้กัน: เด็กชายลืมหมายเลขโทรศัพท์ของเพื่อนเขาหลัก แต่เนื่องจากการโทรมีความสำคัญมาก เขาจึงเริ่มหมุนทุกอย่างตามลำดับ เราจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่เขาจะโทรไม่เกินสามครั้ง การแก้ปัญหาจะง่ายที่สุดถ้ารู้กฎ กฎ และสัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็น
ก่อนดูทางแก้ พยายามแก้เอง เรารู้ว่าตัวเลขสุดท้ายสามารถมีค่าได้จากศูนย์ถึงเก้า นั่นคือ มีทั้งหมด 10 ค่า ความน่าจะเป็นที่จะได้สิ่งที่ถูกคือ 1/10
ต่อไป เราต้องพิจารณาทางเลือกสำหรับที่มาของกิจกรรม สมมติว่าเด็กชายเดาถูกและได้คะแนนที่ถูกต้องทันที ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 1/10 ตัวเลือกที่สอง: การโทรครั้งแรกพลาด และครั้งที่สองเป็นไปตามเป้าหมาย เราคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว: คูณ 9/10 ด้วย 1/9 ดังนั้นเราจึงได้ 1/10 ตัวเลือกที่สาม: การโทรครั้งแรกและครั้งที่สองปรากฏว่าอยู่ผิดที่ เด็กชายไปถึงที่ที่เขาต้องการจากคนที่สามเท่านั้น เราคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว: เราคูณ 9/10 ด้วย 8/9 และ 1/8 เราจะได้ 1/10 ตามเงื่อนไขของปัญหา เราไม่สนใจตัวเลือกอื่น ดังนั้นจึงยังคงอยู่สำหรับเราที่จะรวมผลลัพธ์ ผลลัพธ์ที่ได้คือ 3/10 คำตอบ: ความน่าจะเป็นที่เด็กชายโทรหาไม่เกินสามครั้งคือ 0.3
ไพ่ที่มีตัวเลข
มีไพ่อยู่ข้างหน้าคุณเก้าใบ แต่ละใบมีเลขตั้งแต่หนึ่งถึงเก้า ตัวเลขจะไม่ซ้ำกัน พวกเขาถูกวางไว้ในกล่องและผสมให้ละเอียด คุณต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่
- เลขคู่ขึ้นมา
- สองหลัก
ก่อนดำเนินการแก้ไข ให้กำหนดว่า m คือจำนวนเคสที่สำเร็จ และ n คือจำนวนตัวเลือกทั้งหมด หาความน่าจะเป็นที่เป็นเลขคู่ คำนวณได้ไม่ยากว่ามีเลขคู่สี่ตัว ซึ่งจะเป็น m ของเรา มีทั้งหมดเก้าตัวเลือก นั่นคือ m=9 แล้วความน่าจะเป็นเท่ากับ 0, 44, หรือ 4/9.
พิจารณากรณีที่สอง: จำนวนตัวเลือกคือเก้า และไม่มีผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จเลย นั่นคือ m เท่ากับศูนย์ ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่จั่วจะมีตัวเลขสองหลักก็เป็นศูนย์เช่นกัน