ระบบกลไกที่ประกอบด้วยจุดวัสดุ (ร่างกาย) ที่แขวนอยู่บนเส้นด้ายที่ไม่มีน้ำหนักขยายไม่ได้ (มวลของมันจะเล็กน้อยเมื่อเทียบกับน้ำหนักของร่างกาย) ในสนามแรงโน้มถ่วงสม่ำเสมอเรียกว่าลูกตุ้มคณิตศาสตร์ (ชื่ออื่นคือ ออสซิลเลเตอร์) มีอุปกรณ์ประเภทอื่น ๆ คุณสามารถใช้แท่งที่ไม่มีน้ำหนักแทนด้ายได้ ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์สามารถเปิดเผยแก่นแท้ของปรากฏการณ์ที่น่าสนใจมากมายได้อย่างชัดเจน ด้วยแอมพลิจูดเล็ก ๆ ของการสั่น การเคลื่อนไหวของมันถูกเรียกว่าฮาร์โมนิก
ภาพรวมระบบเครื่องกล
สูตรสำหรับคาบการแกว่งของลูกตุ้มนี้ได้มาจากนักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ Huygens (1629-1695) ความร่วมสมัยนี้ของ I. Newton ชื่นชอบระบบกลไกนี้มาก ในปี ค.ศ. 1656 เขาได้สร้างนาฬิกาลูกตุ้มเครื่องแรกขึ้น พวกเขาวัดเวลาด้วยความพิเศษเพื่อความถูกต้องแม่นยำในครั้งนั้น การประดิษฐ์นี้ได้กลายเป็นก้าวสำคัญในการพัฒนาการทดลองทางกายภาพและกิจกรรมภาคปฏิบัติ
หากลูกตุ้มอยู่ในสภาวะสมดุล (ห้อยในแนวตั้ง) แรงโน้มถ่วงก็จะสมดุลด้วยแรงตึงด้าย ลูกตุ้มแบนบนเกลียวที่ขยายไม่ได้คือระบบที่มีอิสระในการเชื่อมต่อสองระดับ เมื่อคุณเปลี่ยนส่วนประกอบเพียงชิ้นเดียว คุณลักษณะของส่วนประกอบทั้งหมดจะเปลี่ยนไป ดังนั้น หากด้ายถูกแทนที่ด้วยแกน ระบบกลไกนี้จะมีอิสระเพียง 1 ระดับ คุณสมบัติของลูกตุ้มคณิตศาสตร์คืออะไร? ในระบบที่ง่ายที่สุดนี้ ความโกลาหลเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของการรบกวนเป็นระยะ ในกรณีที่จุดระงับไม่เคลื่อนที่ แต่แกว่ง ลูกตุ้มจะมีตำแหน่งสมดุลใหม่ ด้วยการแกว่งขึ้นและลงอย่างรวดเร็ว ระบบกลไกนี้จึงมีตำแหน่งกลับหัวที่มั่นคง เธอยังมีชื่อของเธอเอง มันถูกเรียกว่าลูกตุ้มของ Kapitza
คุณสมบัติของลูกตุ้ม
ลูกตุ้มคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก ทั้งหมดได้รับการยืนยันโดยกฎหมายทางกายภาพที่รู้จักกันดี ระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มอื่น ๆ ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ต่างๆ เช่น ขนาดและรูปร่างของลำตัว ระยะห่างระหว่างจุดแขวนลอยกับจุดศูนย์ถ่วง การกระจายตัวของมวลสัมพันธ์กับจุดนี้ นั่นคือเหตุผลที่การกำหนดระยะเวลาของร่างที่แขวนอยู่เป็นงานที่ค่อนข้างยาก การคำนวณระยะเวลาของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์นั้นง่ายกว่ามาก ซึ่งจะมีสูตรดังต่อไปนี้ จากการสังเกตความคล้ายคลึงกันระบบเครื่องกลสามารถสร้างรูปแบบต่อไปนี้:
• หากเราแขวนตุ้มน้ำหนักที่ต่างกันในขณะที่รักษาความยาวของลูกตุ้มไว้ ระยะเวลาของการแกว่งก็จะเท่ากัน แม้ว่ามวลของมันจะต่างกันมากก็ตาม ดังนั้นระยะเวลาของลูกตุ้มดังกล่าวจึงไม่ขึ้นอยู่กับมวลของน้ำหนักบรรทุก
• เมื่อเริ่มระบบ ถ้าลูกตุ้มเบนดูลัมไม่ใหญ่เกินไปแต่มีมุมต่างกัน มันก็จะเริ่มแกว่งด้วยคาบเดียวกัน แต่มีแอมพลิจูดต่างกัน ตราบใดที่ความเบี่ยงเบนจากจุดศูนย์กลางสมดุลไม่ใหญ่เกินไป การสั่นในรูปแบบจะค่อนข้างใกล้เคียงกับการสั่นของฮาร์มอนิก คาบของลูกตุ้มดังกล่าวไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดการแกว่งแต่อย่างใด คุณสมบัติของระบบกลไกนี้เรียกว่า isochronism (แปลจากภาษากรีก "chronos" - เวลา "isos" - เท่ากับ)
ระยะเวลาของลูกตุ้มคณิตศาสตร์
ตัวบ่งชี้นี้แสดงถึงช่วงเวลาของการแกว่งตามธรรมชาติ แม้จะมีการใช้ถ้อยคำที่ซับซ้อน แต่กระบวนการก็ง่ายมาก หากความยาวของเกลียวของลูกตุ้มคณิตศาสตร์คือ L และความเร่งของการตกอย่างอิสระคือ g ค่านี้คือ:
T=2π√L/g
ระยะเวลาของการแกว่งตามธรรมชาติเล็กๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้มและแอมพลิจูดของการแกว่ง ในกรณีนี้ ลูกตุ้มเคลื่อนที่เหมือนลูกตุ้มคณิตศาสตร์ที่มีความยาวลดลง
การแกว่งของลูกตุ้มคณิตศาสตร์
ลูกตุ้มคณิตศาสตร์แกว่ง ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์อย่างง่าย:
x + ω2 บาป x=0, โดยที่ x (t) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก (นี่คือมุมเบี่ยงเบนจากด้านล่างตำแหน่งสมดุล ณ เวลา t แสดงเป็นเรเดียน); ω คือค่าคงที่บวก ซึ่งพิจารณาจากพารามิเตอร์ของลูกตุ้ม (ω=√g/L โดยที่ g คือความเร่งการตกอย่างอิสระ และ L คือความยาวของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (การแขวนลอย)
สมการความผันผวนเล็ก ๆ ใกล้ตำแหน่งสมดุล (สมการฮาร์มอนิก) มีลักษณะดังนี้:
x + ω2 บาป x=0
การสั่นของลูกตุ้ม
ลูกตุ้มคณิตศาสตร์ที่ทำให้การแกว่งเล็ก ๆ เคลื่อนที่ไปตามไซนัส สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองตรงตามข้อกำหนดและพารามิเตอร์ทั้งหมดของการเคลื่อนที่ดังกล่าว ในการกำหนดวิถี คุณต้องระบุความเร็วและพิกัด จากนั้นจึงกำหนดค่าคงที่อิสระ:
x=บาป (θ0 + ωt), โดยที่ θ0 คือเฟสเริ่มต้น A คือแอมพลิจูดการแกว่ง ω คือความถี่ไซคลิกที่กำหนดจากสมการของการเคลื่อนที่
ลูกตุ้มคณิตศาสตร์ (สูตรสำหรับแอมพลิจูดขนาดใหญ่)
ระบบกลไกนี้ ซึ่งทำให้การแกว่งของมันด้วยแอมพลิจูดที่มีนัยสำคัญ เป็นไปตามกฎการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนมากขึ้น สำหรับลูกตุ้มดังกล่าว คำนวณโดยสูตร:
บาป x/2=usn(ωt/u), โดยที่ sn คือไซน์จาโคบี ซึ่งสำหรับ u < 1 เป็นฟังก์ชันคาบ และสำหรับ u ขนาดเล็ก จะจับคู่กับไซน์ตรีโกณมิติอย่างง่าย ค่าของคุณถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:
u=(ε + ω2)/2ω2, โดยที่ ε=E/mL2 (mL2 คือพลังงานของลูกตุ้ม)
การหาคาบการสั่นของลูกตุ้มไม่เป็นเชิงเส้นดำเนินการตามสูตร:
T=2π/Ω, โดยที่ Ω=π/2ω/2K(u), K คืออินทิกรัลวงรี π - 3, 14.
การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มตามแนวแยก
separatrix เป็นวิถีของระบบไดนามิกที่มีพื้นที่เฟสสองมิติ ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เคลื่อนที่ไปตามนั้นไม่เป็นระยะ ในช่วงเวลาที่ห่างไกลอย่างไม่สิ้นสุด มันจะตกลงจากตำแหน่งบนสุดสุดไปยังด้านข้างด้วยความเร็วเป็นศูนย์ แล้วค่อยๆ ยกมันขึ้น ในที่สุดมันก็หยุดและกลับสู่ตำแหน่งเดิม
หากแอมพลิจูดของการแกว่งของลูกตุ้มเข้าใกล้เลข π นี่แสดงว่าการเคลื่อนที่บนระนาบเฟสเข้าใกล้เซพาราทริกซ์ ในกรณีนี้ ภายใต้การกระทำของแรงขับเล็กๆ เป็นระยะ ระบบกลไกจะแสดงพฤติกรรมที่วุ่นวาย
เมื่อลูกตุ้มคณิตศาสตร์เบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุลด้วยมุมหนึ่ง φ แรงสัมผัสของแรงโน้มถ่วง Fτ=–mg บาป φ เกิดขึ้น เครื่องหมายลบหมายความว่าส่วนประกอบสัมผัสนี้มีทิศทางไปในทิศทางตรงกันข้ามจากการโก่งตัวของลูกตุ้ม เมื่อการกระจัดของลูกตุ้มตามแนวโค้งของวงกลมที่มีรัศมี L แทนด้วย x การกระจัดเชิงมุมจะเท่ากับ φ=x/L กฎข้อที่สองของไอแซก นิวตัน ซึ่งออกแบบมาสำหรับการฉายภาพเวกเตอร์ความเร่งและแรง จะให้ค่าที่ต้องการ:
mg τ=Fτ=–mg บาป x/L
จากอัตราส่วนนี้ เห็นได้ชัดว่าลูกตุ้มนี้เป็นระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น เนื่องจากแรงที่พยายามจะย้อนกลับไปที่ตำแหน่งสมดุล เป็นสัดส่วนเสมอ ไม่ใช่การกระจัด x แต่เป็นบาป x/L
เมื่อลูกตุ้มคณิตศาสตร์เกิดการสั่นเล็กน้อยเท่านั้น มันคือฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันกลายเป็นระบบกลไกที่สามารถทำการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกได้ การประมาณนี้ใช้ได้จริงสำหรับมุม 15–20° การแกว่งของลูกตุ้มที่มีแอมพลิจูดมากไม่ฮาร์โมนิก
กฎของนิวตันสำหรับการแกว่งของลูกตุ้มเล็ก
หากระบบกลไกนี้ทำการสั่นสะเทือนเล็กน้อย กฎข้อที่ 2 ของนิวตันจะมีลักษณะดังนี้:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
จากสิ่งนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าความเร่งในแนวสัมผัสของลูกตุ้มคณิตศาสตร์เป็นสัดส่วนกับการกระจัดที่มีเครื่องหมายลบ นี่เป็นเงื่อนไขเนื่องจากการที่ระบบกลายเป็นฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ โมดูลัสของการเพิ่มตามสัดส่วนระหว่างการกระจัดและความเร่งเท่ากับกำลังสองของความถี่วงกลม:
ω02=ก./ลิตร; ω0=√ ก./ลิตร
สูตรนี้สะท้อนความถี่ธรรมชาติของการแกว่งเล็กน้อยของลูกตุ้มประเภทนี้ ตามนี้
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
การคำนวณตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน
คุณสมบัติการสั่นของลูกตุ้มยังสามารถอธิบายได้โดยใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน ในกรณีนี้ ควรคำนึงว่าพลังงานศักย์ของลูกตุ้มในสนามโน้มถ่วงคือ:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
พลังงานกลทั้งหมดเท่ากับจลนศาสตร์หรือศักยภาพสูงสุด: Epmax=Ekmsx=E
หลังจากเขียนกฎการอนุรักษ์พลังงานแล้ว ให้หาอนุพันธ์ของสมการด้านขวาและด้านซ้ายของสมการ:
Ep + เอก=const
เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็น 0 ดังนั้น (Ep + Ek)'=0 อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, ดังนั้น:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
จากสูตรสุดท้าย เราพบว่า: α=- g/Lx.
การใช้งานจริงของลูกตุ้มคณิตศาสตร์
ความเร่งของการตกอย่างอิสระแตกต่างกันไปตามละติจูดทางภูมิศาสตร์ เนื่องจากความหนาแน่นของเปลือกโลกทั่วทั้งโลกไม่เหมือนกัน ซึ่งหินที่มีความหนาแน่นสูงเกิดขึ้นก็จะสูงขึ้นบ้าง การเร่งความเร็วของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์มักใช้สำหรับการสำรวจทางธรณีวิทยา ใช้สำหรับค้นหาแร่ธาตุต่างๆ เพียงแค่นับจำนวนการแกว่งของลูกตุ้ม คุณก็จะพบถ่านหินหรือแร่ในก้นบึ้งของโลก เนื่องจากฟอสซิลดังกล่าวมีความหนาแน่นและมวลมากกว่าหินหลวมที่อยู่ข้างใต้
ลูกตุ้มคณิตศาสตร์ถูกใช้โดยนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงเช่น Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes หลายคนเชื่อว่าระบบกลไกนี้อาจส่งผลต่อชะตากรรมและชีวิตของบุคคล อาร์คิมิดีสใช้ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ในการคำนวณของเขา ทุกวันนี้ ไสยศาสตร์และนักจิตวิทยาจำนวนมากใช้ระบบกลไกนี้เพื่อเติมเต็มคำทำนายหรือค้นหาคนหาย
K. Flammarion นักดาราศาสตร์และนักธรรมชาติวิทยาชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียงก็ใช้ลูกตุ้มคณิตศาสตร์สำหรับการวิจัยของเขาด้วย เขาอ้างว่าด้วยความช่วยเหลือของเขา เขาสามารถทำนายการค้นพบดาวเคราะห์ดวงใหม่ การปรากฏตัวของอุกกาบาต Tunguska และเหตุการณ์สำคัญอื่นๆ ได้ ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สองในเยอรมนี (เบอร์ลิน) สถาบันลูกตุ้มเฉพาะทางได้ทำงาน วันนี้สถาบันจิตศาสตร์แห่งมิวนิกมีส่วนร่วมในการวิจัยที่คล้ายคลึงกัน พนักงานของสถาบันนี้เรียกการทำงานของพวกเขาด้วยลูกตุ้ม "รังสีวิทยา"
