พีระมิดสามเหลี่ยมและสูตรกำหนดพื้นที่

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

พีระมิดเป็นรูปเรขาคณิตเชิงพื้นที่ ซึ่งเป็นลักษณะที่ศึกษาในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายในหลักสูตรเรขาคณิตทึบ ในบทความนี้ เราจะพิจารณาปิรามิดสามเหลี่ยม ประเภทของปิรามิด และสูตรคำนวณพื้นที่ผิวของมัน

พีระมิดอะไรที่เราพูดถึง

พีระมิดรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปที่หาได้จากการเชื่อมจุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจกับจุดเดียวที่ไม่อยู่ในระนาบของสามเหลี่ยมนี้ ตามคำจำกัดความนี้ ปิรามิดที่อยู่ระหว่างการพิจารณาควรประกอบด้วยสามเหลี่ยมเริ่มต้น ซึ่งเรียกว่าฐานของรูป และสามเหลี่ยมด้านที่สามที่มีด้านเดียวกับฐานเดียวกันและเชื่อมต่อกัน ณ จุดหนึ่ง อันหลังเรียกว่ายอดปิรามิด

รูปข้างบนเป็นพีระมิดสามเหลี่ยม

รูปที่พิจารณาจะเป็นแบบเฉียงหรือตรงก็ได้ ในกรณีหลัง ฉากตั้งฉากที่หล่นจากยอดปิรามิดไปยังฐานจะต้องตัดกันที่จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต ศูนย์กลางทางเรขาคณิตของ anyสามเหลี่ยมเป็นจุดตัดของค่ามัธยฐาน จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิตตรงกับจุดศูนย์กลางมวลของรูปในวิชาฟิสิกส์

หากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (ด้านเท่า) อยู่ที่ฐานของพีระมิดแบบตรง จะเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมธรรมดา ในปิรามิดปกติ ด้านทุกด้านเท่ากันและเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

ถ้าพีระมิดปกติสูงจนสามเหลี่ยมข้างกลายเป็นด้านเท่ากันหมด เรียกว่าจัตุรมุข ในจัตุรมุข หน้าทั้งสี่นั้นเท่ากัน ดังนั้นแต่ละหน้าจึงถือเป็นฐานได้

องค์ประกอบพีระมิด

องค์ประกอบเหล่านี้รวมถึงใบหน้าหรือด้านข้างของร่าง ขอบ จุดยอด ความสูง และเส้นตั้งฉาก

ดังรูป ปิรามิดสามเหลี่ยมทุกด้านเป็นรูปสามเหลี่ยม หมายเลขของพวกเขาคือ 4 (ด้าน 3 และฐานหนึ่ง)

จุดยอดเป็นจุดตัดของด้านสามเหลี่ยมทั้งสาม ไม่ยากเลยที่จะเดาว่าพีระมิดที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นมี 4 ตัว (3 อยู่ในฐานและ 1 อยู่บนสุดของปิรามิด)

ขอบสามารถกำหนดเป็นเส้นที่ตัดสองด้านรูปสามเหลี่ยม หรือเป็นเส้นที่เชื่อมทุกจุดยอดทั้งสอง จำนวนขอบสอดคล้องกับจำนวนจุดยอดฐานสองเท่า นั่นคือ สำหรับปิรามิดสามเหลี่ยมจะมี 6 (3 ขอบเป็นของฐาน และ 3 ขอบเกิดจากด้านด้านข้าง)

ความสูงดังที่กล่าวไว้ข้างต้น คือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากยอดปิรามิดถึงฐาน หากเราวาดความสูงจากจุดยอดนี้ไปยังแต่ละด้านของฐานสามเหลี่ยมจากนั้นพวกเขาจะเรียกว่า apotems (หรือ apotems) ดังนั้นพีระมิดรูปสามเหลี่ยมจึงมีความสูงหนึ่งส่วนและสามเส้นตั้งฉาก อันหลังมีค่าเท่ากันสำหรับปิรามิดปกติ

ฐานปิรามิดและพื้นที่

เนื่องจากฐานของรูปที่พิจารณาโดยทั่วไปแล้วเป็นรูปสามเหลี่ยม เมื่อคำนวณพื้นที่แล้ว ก็เพียงพอที่จะหาความสูงได้ h_o และความยาวของด้านข้างของฐาน ก. ซึ่งถูกลดระดับลง. สูตรสำหรับพื้นที่ S_o ของฐานคือ:

S_o=1/2h_oa

ถ้าสามเหลี่ยมฐานมีด้านเท่า พื้นที่ของฐานของพีระมิดสามเหลี่ยมคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

S_o=√3/4a²

นั่นคือ พื้นที่ S_oถูกกำหนดโดยความยาวของด้าน a ของฐานสามเหลี่ยมอย่างไม่ซ้ำกัน

ด้านข้างและพื้นที่รวมของรูป

ก่อนพิจารณาพื้นที่ของพีระมิดสามเหลี่ยม จะแสดงพัฒนาการของมันให้เป็นประโยชน์ เธออยู่ในภาพด้านล่าง

พื้นที่ของการกวาดนี้ที่เกิดจากสามเหลี่ยมสี่รูปคือพื้นที่ทั้งหมดของปิรามิด สามเหลี่ยมรูปใดรูปหนึ่งสอดคล้องกับฐานซึ่งเป็นสูตรสำหรับค่าที่พิจารณาซึ่งเขียนไว้ด้านบน ใบหน้ารูปสามเหลี่ยมด้านข้างทั้งสามด้านรวมกันเป็นพื้นที่ด้านข้างของรูป ดังนั้น ในการหาค่านี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้สูตรข้างต้นสำหรับรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจกับแต่ละอัน แล้วบวกผลลัพธ์ทั้งสามเข้าไป

ถ้าพีระมิดถูกต้องก็คำนวนพื้นที่ผิวด้านข้างได้รับการอำนวยความสะดวก เนื่องจากใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเหมือนกัน แสดงว่า h_bความยาวของเส้นตั้งฉากจากนั้นพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง S_b สามารถกำหนดได้ดังนี้:

S_b=3/2ah_b

สูตรนี้ตามมาจากนิพจน์ทั่วไปสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม เลข 3 ปรากฏในตัวเศษเนื่องจากปิรามิดมีหน้าสามด้าน

Apotema h_b ในปิรามิดปกติสามารถคำนวณได้หากทราบความสูงของตัวเลข h จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้

h_b=√(h²+ a²/12)

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ S ของพื้นผิวรูปทั้งหมดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ด้านข้างและฐาน:

S=S_o+ S_b

สำหรับปิรามิดปกติ แทนที่ค่าที่รู้จักทั้งหมด เราได้สูตร:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

พื้นที่ของปิรามิดสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับความยาวของด้านฐานและความสูงเท่านั้น

ตัวอย่างปัญหา

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าขอบด้านข้างของพีระมิดสามเหลี่ยมคือ 7 ซม. และด้านข้างของฐานคือ 5 ซม. คุณต้องหาพื้นที่ผิวของรูปทรงถ้าคุณรู้ว่าพีระมิด เป็นปกติ