วิธีหาค่าของนิพจน์ที่มีราก: ประเภทของปัญหา วิธีแก้ไข ตัวอย่าง

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

ความสามารถในการทำงานกับนิพจน์ตัวเลขที่มีรากที่สองเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาจำนวนหนึ่งจาก OGE และ USE ที่ประสบความสำเร็จ ในการสอบเหล่านี้ ความเข้าใจพื้นฐานว่าการถอนรากถอนโคนคืออะไรและวิธีดำเนินการในทางปฏิบัติก็เพียงพอแล้ว

คำจำกัดความ

รากที่ n ของจำนวน X คือจำนวน x ซึ่งความเท่าเทียมกันเป็นจริง: xⁿ =X.

การหาค่าของนิพจน์ด้วยรูทหมายถึงการค้นหา x ที่ได้รับ X และ n

รากที่สองหรือรากที่สองของ X ซึ่งเหมือนกัน - จำนวน x ที่ตรงกับความเท่าเทียมกัน: x² =X.

การกำหนด: ∛Х. 3 คือดีกรีของรูท X คือนิพจน์รูต เครื่องหมาย '√' มักเรียกว่าเครื่องหมายกรณฑ์

หากตัวเลขที่อยู่เหนือรูทไม่ได้ระบุดีกรี ค่าดีฟอลต์คือดีกรี 2.

ในหลักสูตรของโรงเรียนสำหรับองศาคู่ มักจะไม่พิจารณารากเชิงลบและนิพจน์ที่รุนแรง ตัวอย่างเช่น ไม่มี√-2 และสำหรับนิพจน์ √4 คำตอบที่ถูกต้องคือ 2 แม้ว่า (-2)² ก็เท่ากับ 4.

ความมีเหตุผลและความไร้เหตุผลของราก

งานที่ง่ายที่สุดที่มีรูทคือค้นหาค่าของนิพจน์หรือทดสอบหาเหตุผล

ตัวอย่างเช่น คำนวณค่า √25; ∛8; ∛-125:

• √25=5 เพราะ 5² =25;
• ∛8=2 เพราะ 2³ =8;
• ∛ - 125=-5 ตั้งแต่ (-5)³ =-125.

คำตอบในตัวอย่างที่ให้มาคือจำนวนตรรกยะ

เมื่อทำงานกับนิพจน์ที่ไม่มีค่าคงที่ตามตัวอักษรและตัวแปร ขอแนะนำให้ทำการตรวจสอบดังกล่าวเสมอโดยใช้การดำเนินการผกผันของการเพิ่มกำลังตามธรรมชาติ การหาจำนวน x กำลัง n เท่ากับการคำนวณผลคูณของ n ตัวประกอบของ x

มีนิพจน์จำนวนมากที่มีรูท ซึ่งค่าของอตรรกยะ คือเขียนเป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่ระยะอนันต์

ตามคำจำกัดความ ตรรกยะคือจำนวนที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วม และอตรรกยะคือจำนวนจริงอื่นๆ ทั้งหมด

เหล่านี้รวมถึง √24, √0, 1, √101.

หากหนังสือปัญหาบอกว่า: ให้หาค่าของนิพจน์ที่มีรากของ 2, 3, 5, 6, 7 เป็นต้น นั่นคือจากจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีอยู่ในตารางสี่เหลี่ยม ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ √ 2 อาจมีอยู่ (เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น)

การประเมิน

มีปัญหากับเป็นคำตอบที่เปิดกว้าง หากไม่สามารถหาค่าของนิพจน์ที่มีรูทแล้วเขียนเป็นจำนวนตรรกยะได้ ผลลัพธ์ควรปล่อยให้เป็นรากศัพท์

บางงานอาจต้องมีการประเมิน ตัวอย่างเช่น เปรียบเทียบ 6 และ √37 การแก้ปัญหาต้องยกกำลังสองตัวเลขและเปรียบเทียบผลลัพธ์ จากตัวเลขสองตัว ตัวที่มีกำลังสองมากกว่านั้นมากกว่า กฎนี้ใช้ได้กับจำนวนบวกทั้งหมด:

• 6² =36;
• 37² =37;
• 37 >36;
• หมายถึง √37 > 6.

ในทำนองเดียวกัน ปัญหาต่างๆ ได้รับการแก้ไขแล้ว โดยต้องเรียงลำดับตัวเลขจากน้อยไปมากหรือมากไปน้อย

ตัวอย่าง: จัดเรียง 5, √6, √48, √√64 จากน้อยไปหามาก

หลังยกกำลังสอง เรามี: 25, 6, 48, √64. เราอาจยกกำลังสองตัวเลขทั้งหมดอีกครั้งเพื่อเปรียบเทียบกับ √64 แต่มันเท่ากับจำนวนตรรกยะ 8 6 < 8 < 25 < 48 ดังนั้นคำตอบคือ 48

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

มันเป็นไปไม่ได้ที่จะหาค่าของนิพจน์ด้วยรูท จึงต้องทำให้ง่ายขึ้น สูตรต่อไปนี้ช่วยได้:

√ab=√a√b.

รากของผลคูณของตัวเลขสองตัวเท่ากับผลคูณของราก การดำเนินการนี้จะต้องมีความสามารถในการแยกตัวประกอบตัวเลข

ในระยะแรก เพื่อความรวดเร็วในการทำงาน ขอแนะนำให้เตรียมตารางของจำนวนเฉพาะและสี่เหลี่ยมจัตุรัสไว้ใกล้มือ ตารางเหล่านี้มีบ่อยใช้ต่อไปจะจำไว้

ตัวอย่างเช่น √242 เป็นจำนวนอตรรกยะ คุณสามารถแปลงเป็นดังนี้:

• 242=2 × 121;
• √242=√(2 × 121);
• √2 × √121=√2 × 11.

โดยปกติผลลัพธ์จะถูกเขียนเป็น 11√2 (อ่าน: สิบเอ็ดรากจากสอง)

หากเป็นเรื่องยากที่จะเห็นว่าปัจจัยสองอย่างใดที่จำเป็นต้องสลายในทันทีทันใดเพื่อให้สามารถแยกรากตามธรรมชาติออกจากปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งได้ คุณสามารถใช้การสลายตัวทั้งหมดเป็นปัจจัยเฉพาะได้ หากจำนวนเฉพาะเดียวกันเกิดขึ้นสองครั้งในการขยาย เลขนั้นจะถูกลบออกจากเครื่องหมายรูท เมื่อมีหลายปัจจัย คุณสามารถแยกรากได้หลายขั้นตอน

ตัวอย่าง: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). หมายเลข 2 เกิดขึ้นในส่วนเสริม 2 ครั้ง (อันที่จริงมากกว่าสองครั้ง แต่เรายังคงสนใจในสองครั้งแรกในส่วนขยาย)

เราเอามันออกมาจากใต้เครื่องหมาย:

√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).

ทำซ้ำเหมือนเดิม:

2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).

ในนิพจน์รากศัพท์ที่เหลือ 2 และ 3 เกิดขึ้นครั้งเดียว ดังนั้นจึงยังคงเอาตัวประกอบ 5:

2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);

และดำเนินการคำนวณ:

5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.

ดังนั้น เราได้ √2400=20√6.

หากงานไม่ได้ระบุอย่างชัดเจน: "ค้นหาค่าของนิพจน์ด้วยสแควร์รูท" จากนั้นเลือกตัวเลือกในรูปแบบใดที่จะทิ้งคำตอบไว้ (ไม่ว่าจะถอนรากถอนโคนจากอนุมูลอิสระหรือไม่) ยังคงอยู่กับนักเรียนและอาจขึ้นอยู่กับปัญหาที่กำลังแก้ไข

ในตอนแรก การออกแบบงาน การคำนวณ มีความต้องการสูง ทั้งการพูดหรือเขียนโดยไม่ต้องใช้วิธีการทางเทคนิค

หลังจากเชี่ยวชาญกฎสำหรับการทำงานกับนิพจน์ตัวเลขอตรรกยะแล้ว ก็ควรที่จะเปลี่ยนไปใช้นิพจน์ที่ยากขึ้นและการแก้สมการอตรรกยะและการคำนวณช่วงของค่าที่เป็นไปได้ของนิพจน์ภายใต้ หัวรุนแรง.

นักเรียนพบปัญหาประเภทนี้ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับในปีแรกของมหาวิทยาลัยเฉพาะทางเมื่อศึกษาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และสาขาวิชาที่เกี่ยวข้อง