ฉายแรงบนแกนและบนระนาบ ฟิสิกส์

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

พลังเป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในวิชาฟิสิกส์ มันทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในสถานะของวัตถุใด ๆ ในบทความนี้ เราจะพิจารณาว่าค่านี้คืออะไร มีแรงอะไร และแสดงวิธีหาเส้นโครงของแรงบนแกนและบนระนาบ

พลังและความหมายทางกายภาพ

ในทางฟิสิกส์ แรงคือปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของร่างกายต่อหน่วยเวลา คำจำกัดความนี้ถือว่ากำลังเป็นคุณลักษณะแบบไดนามิก จากมุมมองของสถิตย์ แรงในฟิสิกส์เป็นตัววัดความยืดหยุ่นหรือการเปลี่ยนรูปของพลาสติกของร่างกาย

ระบบ SI สากลแสดงแรงเป็นนิวตัน (N) 1 นิวตันคืออะไร วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำความเข้าใจตัวอย่างกฎข้อที่สองของกลศาสตร์คลาสสิก สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของมันคือ:

F¯=ma¯

ที่นี่ F¯ คือแรงภายนอกบางส่วนที่กระทำต่อวัตถุมวล m และทำให้เกิดความเร่ง a¯ คำจำกัดความเชิงปริมาณของหนึ่งนิวตันตามมาจากสูตร: 1 N เป็นแรงที่นำไปสู่การเปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถุด้วยมวล 1 กก. คูณ 1 m / s ทุกวินาที

ตัวอย่างไดนามิกการแสดงพลังคือการเร่งความเร็วของรถยนต์หรือวัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระในสนามโน้มถ่วงของโลก

การปรากฎของแรงคงที่ดังที่กล่าวไว้นั้นสัมพันธ์กับปรากฏการณ์การเสียรูป ควรให้สูตรต่อไปนี้ที่นี่:

F=PS

F=-kx

นิพจน์แรกเกี่ยวข้องกับแรง F กับแรงดัน P ที่กระทำกับบางพื้นที่ S จากสูตรนี้ 1 N สามารถกำหนดเป็นแรงดัน 1 ปาสกาลที่ใช้กับพื้นที่ 1 m 2^{. ตัวอย่างเช่น คอลัมน์ของอากาศในบรรยากาศที่ระดับน้ำทะเลกดบนพื้นที่ 1 ม}2^{ด้วยแรง 10}5^N!

นิพจน์ที่สองเป็นรูปคลาสสิกของกฎของฮุก ตัวอย่างเช่น การยืดหรือบีบอัดสปริงด้วยค่าเชิงเส้น x ทำให้เกิดแรงตรงข้าม F (ในนิพจน์ k คือตัวประกอบสัดส่วน)

กองกำลังอะไรนั่น

ข้างต้นแสดงให้เห็นแล้วว่าแรงสามารถคงที่และเป็นไดนามิกได้ ที่นี่เราบอกว่านอกเหนือจากคุณสมบัตินี้พวกเขาสามารถสัมผัสหรือกองกำลังระยะไกลได้ ตัวอย่างเช่น แรงเสียดทาน ปฏิกิริยาสนับสนุน คือ แรงสัมผัส เหตุผลในการปรากฏตัวของพวกเขาคือความถูกต้องของหลักการเปาลี หลังระบุว่าอิเล็กตรอนสองตัวไม่สามารถอยู่ในสถานะเดียวกันได้ นั่นคือเหตุผลที่การสัมผัสของอะตอมทั้งสองนำไปสู่การขับไล่

กองกำลังพิสัยไกลปรากฏขึ้นจากการโต้ตอบของร่างกายผ่านสนามพาหะบางแห่ง ตัวอย่างเช่นแรงโน้มถ่วงหรือปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า พลังทั้งสองมีช่วงอนันต์อย่างไรก็ตามความเข้มข้นจะลดลงตามกำลังสองของระยะทาง (กฎและแรงโน้มถ่วงของคูลอมบ์)

กำลังเป็นปริมาณเวกเตอร์

เมื่อพิจารณาถึงความหมายของปริมาณทางกายภาพที่พิจารณาแล้ว เราก็สามารถดำเนินการศึกษาปัญหาการฉายแรงบนแกนได้ ก่อนอื่น เราสังเกตว่าปริมาณนี้เป็นเวกเตอร์ กล่าวคือ มีลักษณะเฉพาะด้วยโมดูลและทิศทาง เราจะแสดงวิธีการคำนวณโมดูลัสของแรงและทิศทาง

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเวกเตอร์ใดๆ สามารถกำหนดได้โดยไม่ซ้ำกันในระบบพิกัดที่กำหนด หากทราบค่าของพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด สมมติว่ามีส่วนกำกับ MN¯ อยู่บ้าง จากนั้นสามารถกำหนดทิศทางและโมดูลได้โดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

ที่นี่พิกัดกับดัชนี 2 ตรงกับจุด N ที่มีดัชนี 1 ตรงกับจุด M เวกเตอร์ MN¯ ถูกนำจาก M ถึง N

เพื่อความทั่วถึง เราได้แสดงวิธีค้นหาโมดูลัสและพิกัด (ทิศทาง) ของเวกเตอร์ในพื้นที่สามมิติแล้ว สูตรที่คล้ายกันโดยไม่มีพิกัดที่สามใช้ได้กับเคสบนเครื่องบิน

ดังนั้น โมดูลัสของแรงจึงเป็นค่าสัมบูรณ์ แสดงเป็นนิวตัน จากมุมมองของเรขาคณิต โมดูลัสคือความยาวของส่วนที่กำกับ

การฉายภาพบังคับคืออะไรแกน?

จะสะดวกที่สุดที่จะพูดถึงการฉายภาพของส่วนที่กำกับไว้บนแกนพิกัดและระนาบ หากคุณวางเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันที่จุดกำเนิดก่อน นั่นคือที่จุด (0; 0; 0) สมมติว่าเรามีเวกเตอร์แรง F¯ ลองวางจุดเริ่มต้นที่จุด (0; 0; 0) จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์สามารถเขียนได้ดังนี้:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁)

เวกเตอร์ F¯ แสดงทิศทางของแรงในอวกาศในระบบพิกัดที่กำหนด ทีนี้ลองวาดส่วนตั้งฉากจากจุดสิ้นสุดของ F¯ ไปยังแต่ละแกนกัน ระยะทางจากจุดตัดของแนวตั้งฉากกับแกนที่สัมพันธ์กันกับจุดกำเนิดเรียกว่าการฉายภาพของแรงบนแกน เดาไม่ยากว่าในกรณีของแรง F¯ การคาดคะเนบนแกน x, y และ z จะเป็น x₁, y_{1และ z 1} ตามลำดับ โปรดทราบว่าพิกัดเหล่านี้แสดงโมดูลของการคาดการณ์แรง (ความยาวของส่วน)

มุมระหว่างแรงกับเส้นโครงบนแกนพิกัด

คำนวณมุมนี้ไม่ยาก สิ่งที่ต้องแก้ไขคือความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและความสามารถในการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตัวอย่างเช่น กำหนดมุมระหว่างทิศทางแรงกับการฉายภาพบนแกน x สามเหลี่ยมมุมฉากที่สอดคล้องกันจะเกิดขึ้นจากด้านตรงข้ามมุมฉาก (เวกเตอร์ F¯) และขา (ส่วน x₁) ขาที่สองคือระยะทางจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ F¯ ถึงแกน x มุม α ระหว่าง F¯ กับแกน x คำนวณโดยสูตร:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x_{) 1}²+y₁²+z₁ ²)).

อย่างที่คุณเห็น ในการกำหนดมุมระหว่างแกนกับเวกเตอร์ จำเป็นต้องรู้พิกัดของจุดสิ้นสุดของส่วนที่กำกับอยู่และเพียงพอ

สำหรับมุมที่มีแกนอื่น (y และ z) คุณสามารถเขียนนิพจน์ที่คล้ายกัน:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x) อาร์คโคส(|y₁|/|F¯|) 12_+y12_+z 12

));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

โปรดทราบว่าในสูตรทั้งหมดจะมีโมดูลในตัวเศษ ซึ่งช่วยขจัดลักษณะของมุมป้าน ระหว่างแรงกับการฉายในแนวแกน มุมจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 90 เสมอ^o.

แรงและการคาดการณ์บนระนาบพิกัด

นิยามของแรงที่ฉายลงบนระนาบเหมือนกับของแกน ในกรณีนี้เท่านั้น แนวตั้งฉากไม่ควรลดระดับลงบนแกน แต่ให้อยู่บนระนาบ

ในกรณีของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่ เรามีระนาบตั้งฉากสามระนาบ xy (แนวนอน), yz (แนวตั้งด้านหน้า), xz (แนวตั้งด้านข้าง) จุดตัดของฉากตั้งฉากที่ทิ้งจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ไปยังระนาบที่ระบุชื่อคือ:

(x₁; y₁; 0) สำหรับ xy;

(x₁; 0; z₁) สำหรับ xz;

(0; y₁; z₁) สำหรับ zy.

หากแต่ละจุดที่ทำเครื่องหมายไว้เชื่อมต่อกับจุดกำเนิด เราก็จะได้เส้นโครงของแรง F¯ บนระนาบที่สอดคล้องกัน เรารู้โมดูลัสของแรงคืออะไร ในการหาโมดูลัสของการฉายภาพแต่ละครั้ง คุณต้องใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส มาแทนการคาดคะเนบนเครื่องบินว่า F_xy, F_xz และ F_zy จากนั้นความเท่าเทียมกันจะใช้ได้สำหรับโมดูลของพวกเขา:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

มุมระหว่างการฉายภาพบนเครื่องบินและเวกเตอร์แรง

ในย่อหน้าข้างต้น มีการกำหนดสูตรสำหรับโมดูลของการฉายภาพบนระนาบของเวกเตอร์ที่พิจารณา F¯ การคาดคะเนเหล่านี้ร่วมกับส่วน F¯ และระยะทางจากปลายมันถึงระนาบ ก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น ในกรณีของการฉายภาพบนแกน คุณสามารถใช้คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อคำนวณมุมที่ต้องการได้ คุณสามารถเขียนความเท่าเทียมกันต่อไปนี้:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹²));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x1_{2 +y}12_+z12 ^));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁2 ^)/√(x12^+y12 _+z1²)).

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่ามุมระหว่างทิศทางของแรง F¯ และการฉายภาพที่สอดคล้องกันบนระนาบนั้นเท่ากับมุมระหว่าง F¯ กับระนาบนี้ หากเราพิจารณาปัญหานี้จากมุมมองของเรขาคณิต เราสามารถพูดได้ว่าส่วนที่กำกับอยู่ F¯ มีความโน้มเอียงตามระนาบ xy, xz และ zy

ใช้ประมาณการแรงที่ไหน

สูตรข้างต้นสำหรับการคาดคะเนแรงบนแกนพิกัดและบนระนาบไม่ได้เป็นเพียงประโยชน์ทางทฤษฎีเท่านั้น มักใช้ในการแก้ปัญหาทางกายภาพ กระบวนการในการค้นหาเส้นโครงเรียกว่าการสลายตัวของแรงเป็นส่วนประกอบ หลังเป็นเวกเตอร์ ซึ่งผลรวมควรให้เวกเตอร์แรงดั้งเดิม ในกรณีทั่วไป เป็นไปได้ที่จะสลายแรงเป็นส่วนประกอบตามอำเภอใจ อย่างไรก็ตาม สำหรับการแก้ปัญหา จะสะดวกที่จะใช้การฉายภาพบนแกนตั้งฉากและระนาบ

ปัญหาที่แนวคิดของการคาดการณ์แรงถูกนำมาใช้อาจแตกต่างกันมาก ตัวอย่างเช่น กฎข้อที่สองของนิวตันเดียวกันถือว่าแรงภายนอก F¯ ที่กระทำต่อร่างกายต้องถูกชี้นำในลักษณะเดียวกับเวกเตอร์ความเร็ว v¯ หากทิศทางของมันแตกต่างกันในบางมุม ดังนั้น เพื่อให้ความเท่าเทียมกันยังคงใช้ได้ เราควรแทนที่แรงนั้น ไม่ใช่แรง F¯ เอง แต่ให้ฉายไปยังทิศทาง v¯

ต่อไป เราจะยกตัวอย่างสองสามตัวอย่าง ซึ่งเราจะแสดงวิธีการใช้ที่บันทึกไว้สูตร

ภารกิจกำหนดโครงกำลังบนเครื่องบินและบนแกนพิกัด

สมมติว่ามีแรง F¯ ซึ่งแสดงโดยเวกเตอร์ที่มีจุดสิ้นสุดและพิกัดเริ่มต้นดังต่อไปนี้:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

จำเป็นต้องกำหนดโมดูลัสของแรง เช่นเดียวกับการคาดคะเนทั้งหมดบนแกนพิกัดและระนาบ และมุมระหว่าง F¯ กับเส้นโครงแต่ละอัน

มาเริ่มแก้ปัญหากันด้วยการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์F¯ เรามี:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

จากนั้นโมดูลัสของแรงจะเป็น:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

การฉายภาพบนแกนพิกัดจะเท่ากับพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ F¯ มาคำนวณมุมระหว่างพวกมันกับทิศทาง F¯ กัน เรามี:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

เนื่องจากทราบพิกัดของเวกเตอร์ F¯ จึงเป็นไปได้ที่จะคำนวณโมดูลของการฉายแรงบนระนาบพิกัด จากสูตรข้างต้น เราจะได้:

F_xy=√(9 +16)=5N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

สุดท้าย ก็ยังคงคำนวณมุมระหว่างเส้นโครงที่พบบนระนาบกับเวกเตอร์แรง เรามี:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

ดังนั้น เวกเตอร์ F¯ จึงอยู่ใกล้กับระนาบพิกัด xy มากที่สุด

ปัญหาเกี่ยวกับแถบเลื่อนบนระนาบเอียง

ตอนนี้เรามาแก้ปัญหาทางกายภาพที่จำเป็นต้องใช้แนวคิดของการฉายภาพแรง ให้ระนาบเอียงไม้ มุมเอียงไปยังขอบฟ้าคือ 45^o บนเครื่องบินมีบล็อกไม้ที่มีมวล 3 กิโลกรัม จำเป็นต้องกำหนดว่าแท่งนี้จะเคลื่อนที่ลงจากระนาบด้วยอัตราเร่งใด ถ้าทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานในการเลื่อนเท่ากับ 0.7

มาสร้างสมการการเคลื่อนที่ของร่างกายกันก่อน เนื่องจากมีเพียงสองแรงเท่านั้นที่จะกระทำกับมัน (การฉายแรงโน้มถ่วงลงบนระนาบและแรงเสียดทาน) สมการจะอยู่ในรูปแบบ: