อสมการและระบบของอสมการเป็นหนึ่งในหัวข้อที่สอนในพีชคณิตระดับมัธยมปลาย ในแง่ของความยากมันไม่ได้ยากที่สุดเพราะมีกฎง่าย ๆ (เกี่ยวกับพวกเขาในภายหลัง) ตามกฎแล้วเด็กนักเรียนจะเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างง่ายดาย นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าครูเพียงแค่ "ฝึกอบรม" นักเรียนในหัวข้อนี้ และพวกเขาไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ เพราะมีการศึกษาในอนาคตด้วยการใช้ปริมาณทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ และยังได้รับการตรวจสอบสำหรับ OGE และการสอบ Unified State ในหนังสือเรียนของโรงเรียน หัวข้อของความไม่เท่าเทียมกันและระบบของความไม่เท่าเทียมกันนั้นมีรายละเอียดมาก ดังนั้น หากคุณกำลังจะศึกษามัน วิธีที่ดีที่สุดคือหันไปใช้พวกเขา บทความนี้เป็นเพียงการถอดความจากเนื้อหาจำนวนมากและอาจมีการละเว้นบ้าง
แนวคิดของระบบความไม่เท่าเทียมกัน
ถ้าเราหันไปใช้ภาษาวิทยาศาสตร์เราสามารถกำหนดแนวคิดของ "system."ความไม่เท่าเทียมกัน" นี่เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงความไม่เท่าเทียมกันหลายประการ แน่นอนว่า โมเดลนี้ต้องมีวิธีแก้ปัญหา และมันจะเป็นคำตอบทั่วไปสำหรับความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดของระบบที่เสนอในงาน ตัวอย่าง: "แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน 4 x + 1 > 2 และ 30 - x > 6… ")
ระบบอสมการและระบบสมการ
ในกระบวนการเรียนรู้หัวข้อใหม่ ความเข้าใจผิดมักเกิดขึ้น ในอีกด้านหนึ่ง ทุกอย่างชัดเจนและฉันอยากจะเริ่มแก้ไขงาน แต่ในทางกลับกัน บางช่วงเวลายังคงอยู่ใน "เงา" พวกเขาไม่เข้าใจดีนัก นอกจากนี้ องค์ประกอบบางอย่างของความรู้ที่ได้รับแล้วสามารถเชื่อมโยงกับองค์ประกอบใหม่ได้ ข้อผิดพลาดมักเกิดขึ้นจากการทับซ้อนกันนี้
ดังนั้น ก่อนดำเนินการวิเคราะห์หัวข้อของเรา เราควรระลึกถึงความแตกต่างระหว่างสมการกับอสมการและระบบของสมการ ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องชี้แจงอีกครั้งว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์เหล่านี้คืออะไร สมการคือความเท่าเทียมกันเสมอ และมันเท่ากับบางสิ่งเสมอ (ในทางคณิตศาสตร์ คำนี้ใช้เครื่องหมาย "=") ความไม่เท่าเทียมกันคือแบบจำลองที่ค่าหนึ่งมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าค่าอื่น หรือมีคำยืนยันว่าค่านั้นไม่เหมือนกัน ดังนั้น ในกรณีแรกควรพูดถึงความเท่าเทียมกัน และกรณีที่สอง ไม่ว่าจะฟังดูชัดเจนแค่ไหนชื่อตัวเอง เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันของข้อมูลเริ่มต้น ระบบสมการและอสมการแทบไม่ต่างกันและวิธีการแก้ปัญหาก็เหมือนกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแบบเดิมใช้ความเท่าเทียมกันในขณะที่แบบหลังใช้ความไม่เท่าเทียมกัน
ประเภทของความไม่เท่าเทียมกัน
ความไม่เท่าเทียมกันมีสองประเภท: ตัวเลขและตัวแปรที่ไม่รู้จัก ประเภทแรกมีค่า (ตัวเลข) ที่ไม่เท่ากันเช่น 8 > 10 ประเภทที่สองคือความไม่เท่าเทียมกันที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก (ระบุด้วยตัวอักษรละตินบางตัวซึ่งส่วนใหญ่มักเป็น X) ต้องพบตัวแปรนี้ โมเดลทางคณิตศาสตร์แยกความแตกต่างระหว่างอสมการกับ 1 ตัว (สร้างระบบความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวแปรเดียว) หรือหลายตัวแปร (ประกอบขึ้นเป็นระบบความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวแปรหลายตัว)
สองประเภทสุดท้ายตามระดับของการก่อสร้างและระดับความซับซ้อนของการแก้ปัญหาแบ่งออกเป็นแบบง่ายและซับซ้อน คนธรรมดาเรียกอีกอย่างว่าความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น ในทางกลับกันพวกเขาถูกแบ่งออกเป็นเข้มงวดและไม่เข้มงวด "พูด" โดยเฉพาะอย่างเข้มงวดว่าค่าหนึ่งต้องน้อยกว่าหรือมากกว่า ดังนั้นนี่คือความไม่เท่าเทียมกันล้วนๆ มีหลายตัวอย่าง: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 เป็นต้น สิ่งที่ไม่เข้มงวดรวมถึงความเท่าเทียมกันด้วย กล่าวคือ ค่าหนึ่งสามารถมากกว่าหรือเท่ากับค่าอื่น (เครื่องหมาย "≧") หรือน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าอื่น (เครื่องหมาย "≦") ยังอยู่ในสายในความไม่เท่าเทียมกัน ตัวแปรไม่ได้อยู่ที่รูท สแควร์ ไม่สามารถหารด้วยสิ่งใดได้ นั่นคือสาเหตุที่เรียกพวกมันว่า "ธรรมดา" ตัวแปรที่ซับซ้อนรวมถึงตัวแปรที่ไม่รู้จัก การค้นหาซึ่งต้องใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากกว่า พวกมันมักจะอยู่ในรูปสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ หรือใต้รูท พวกมันสามารถเป็นแบบแยกส่วน ลอการิทึม เศษส่วน ฯลฯ แต่เนื่องจากงานของเราคือทำความเข้าใจวิธีแก้ปัญหาของระบบอสมการ เราจะพูดถึงระบบของอสมการเชิงเส้น อย่างไรก็ตามก่อนหน้านั้นควรพูดสองสามคำเกี่ยวกับคุณสมบัติของพวกเขา
คุณสมบัติของอสมการ
คุณสมบัติของอสมการรวมถึงบทบัญญัติต่อไปนี้:
- เครื่องหมายอสมการจะกลับกัน ถ้าการดำเนินการเปลี่ยนลำดับของด้านถูกนำไปใช้ (เช่น ถ้า t1 ≦ t2แล้วก็ t 2 ≧ t1).
- อสมการทั้งสองส่วนทำให้คุณสามารถเพิ่มตัวเลขเดียวกันให้กับตัวคุณเองได้ (เช่น ถ้า t1 ≦ t2, แล้ว t 1 + หมายเลข ≦ t2 + หมายเลข).
- อสมการสองอย่างขึ้นไปที่มีเครื่องหมายของทิศทางเดียวกันทำให้คุณสามารถเพิ่มส่วนซ้ายและขวาได้ (เช่น ถ้า t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4 จากนั้น t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- อสมการทั้งสองส่วนอนุญาตให้คูณหรือหารด้วยจำนวนบวกเดียวกันได้ (เช่น ถ้า t1 ≦ t2และหมายเลข ≦ 0 จากนั้นหมายเลข t1 ≧ หมายเลข t2).
- อสมการสองคำขึ้นไปที่มีแง่บวกและเครื่องหมายของทิศทางเดียวกันอนุญาตคูณกัน (เช่น ถ้า t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 แล้วก็ t1 t3 ≦ t2 t4).
- อสมการทั้งสองส่วนอนุญาตให้คูณหรือหารด้วยจำนวนลบเดียวกัน แต่เครื่องหมายอสมการจะเปลี่ยน (เช่น ถ้า t1 ≦ t2 และหมายเลข ≦ 0 จากนั้นหมายเลข t1 ≧ หมายเลข t2).
- อสมการทั้งหมดเป็นแบบสกรรมกริยา (เช่น ถ้า t1 ≦ t2 และ t2≦ t3 จากนั้น t1 ≦ t3).
ตอนนี้ หลังจากศึกษาบทบัญญัติหลักของทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกัน เราก็สามารถดำเนินการพิจารณากฎในการแก้ปัญหาระบบได้โดยตรง
การแก้ระบบอสมการ ข้อมูลทั่วไป. วิธีแก้ปัญหา
ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น วิธีแก้ปัญหาคือค่าของตัวแปรที่พอดีกับความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดของระบบที่กำหนด การแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกันคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่นำไปสู่การแก้ปัญหาของระบบทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา ในกรณีนี้ ตัวแปรจะอ้างถึงชุดตัวเลขว่าง (เขียนดังนี้: ตัวอักษรแสดงตัวแปร ∈ (เครื่องหมาย "เป็นของ") ø (เครื่องหมาย "ชุดว่าง") เช่น x ∈ ø (มันถูกอ่านดังนี้: "ตัวแปร "x" เป็นของชุดว่าง") มีหลายวิธีในการแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกัน:กราฟ พีชคณิต วิธีการแทนที่ เป็นที่น่าสังเกตว่าพวกเขาอ้างถึงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักหลายตัว ในกรณีที่มีเพียงหนึ่งวิธีการเว้นวรรคจะทำ
วิธีกราฟฟิค
ให้คุณแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันกับสิ่งที่ไม่รู้หลายอย่าง (ตั้งแต่สองตัวขึ้นไป) ด้วยวิธีนี้ ระบบของอสมการเชิงเส้นสามารถแก้ไขได้ค่อนข้างง่ายและรวดเร็ว จึงเป็นวิธีการที่พบบ่อยที่สุด เนื่องจากการวางแผนช่วยลดจำนวนการเขียนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การหยุดพักจากปากกาเล็กน้อย หยิบดินสอด้วยไม้บรรทัดแล้วดำเนินการต่อไปด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเมื่องานเสร็จลุล่วงและคุณต้องการความหลากหลายเล็กน้อย อย่างไรก็ตาม บางคนไม่ชอบวิธีนี้เนื่องจากคุณต้องแยกตัวออกจากงานและเปลี่ยนกิจกรรมทางจิตเป็นการวาดภาพ อย่างไรก็ตาม มันเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมาก
เพื่อแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้วิธีกราฟิก จำเป็นต้องย้ายสมาชิกทั้งหมดของความไม่เท่าเทียมกันไปทางด้านซ้าย เครื่องหมายจะถูกกลับด้าน ควรเขียนศูนย์ทางด้านขวา จากนั้นควรเขียนแต่ละอสมการแยกกัน ส่งผลให้ได้ฟังก์ชันจากความไม่เท่าเทียมกัน หลังจากนั้นคุณจะได้ดินสอและไม้บรรทัด ตอนนี้คุณต้องวาดกราฟของแต่ละฟังก์ชันที่ได้รับ ชุดของตัวเลขทั้งหมดที่จะอยู่ในช่วงของทางแยกจะเป็นคำตอบของระบบความไม่เท่าเทียมกัน
วิธีพีชคณิต
ให้คุณแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันด้วยสองตัวแปรที่ไม่รู้จัก ความไม่เท่าเทียมกันต้องมีเครื่องหมายอสมการเหมือนกัน (นั่นคือ ต้องมีเครื่องหมาย "มากกว่า" หรือเฉพาะเครื่องหมาย "น้อยกว่า" เป็นต้น) แม้จะมีข้อจำกัด วิธีการนี้ก็ซับซ้อนกว่าเช่นกัน มันถูกนำไปใช้ในสองขั้นตอน
อันแรกเกี่ยวข้องกับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวใดตัวหนึ่ง ก่อนอื่นคุณต้องเลือกมัน จากนั้นตรวจสอบว่ามีตัวเลขอยู่ข้างหน้าตัวแปรนี้หรือไม่ หากไม่มี (ตัวแปรจะมีลักษณะเป็นตัวอักษรตัวเดียว) เราจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย หากมี (ประเภทของตัวแปรจะเป็น เช่น 5 ปี หรือ 12 ปี) ก็จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจ ว่าในแต่ละอสมการ ตัวเลขข้างหน้าตัวแปรที่เลือกจะเท่ากัน ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณสมาชิกของอสมการแต่ละตัวด้วยตัวประกอบร่วม เช่น ถ้า 3y เขียนในอสมการแรก และ 5y ในหน่วยที่สอง คุณต้องคูณสมาชิกทั้งหมดของอสมการแรกด้วย 5 และอันที่สองด้วย 3 คุณจะได้ 15y และ 15y ตามลำดับ
ขั้นที่สองของการตัดสินใจ จำเป็นต้องย้ายด้านซ้ายของอสมการแต่ละอันไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอมไปทางตรงข้าม เขียนศูนย์ทางด้านขวา ส่วนที่สนุกก็มาถึง: การกำจัดตัวแปรที่เลือก (หรือที่เรียกว่า "การลด") ในขณะที่บวกความไม่เท่าเทียมกันเข้าไป คุณจะได้ค่าความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปรหนึ่งตัวที่ต้องแก้ไข หลังจากนั้น คุณควรทำเช่นเดียวกันกับตัวแปรอื่นที่ไม่รู้จักเท่านั้น ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นการแก้ปัญหาของระบบ
วิธีการเปลี่ยน
ให้คุณแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเมื่อคุณมีโอกาสที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ โดยปกติ วิธีนี้จะใช้เมื่อตัวแปรที่ไม่รู้จักในเทอมหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันถูกยกกำลังสี่ และในอีกเทอมหนึ่งคือกำลังสอง ดังนั้น วิธีนี้จึงมุ่งเป้าไปที่การลดระดับของความไม่เท่าเทียมกันในระบบ ตัวอย่างความไม่เท่าเทียมกัน x4 - x2 - 1 ≦ 0 ถูกแก้ไขด้วยวิธีนี้ดังนี้ มีการแนะนำตัวแปรใหม่ เช่น t พวกเขาเขียนว่า: "Let t=x2" จากนั้นโมเดลจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบใหม่ ในกรณีของเรา เราได้ t2 - t - 1 ≦0 ความเหลื่อมล้ำนี้ต้องแก้ไขโดยวิธีช่วงเวลา (เกี่ยวกับมันในภายหลัง) จากนั้นกลับไปที่ตัวแปร X จากนั้นทำเช่นเดียวกันกับอสมการอื่น คำตอบที่ได้รับจะเป็นการตัดสินใจของระบบ
วิธีช่วงเวลา
นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ในขณะเดียวกันก็เป็นสากลและแพร่หลาย มันถูกใช้ในโรงเรียนมัธยมและแม้กระทั่งในโรงเรียนมัธยม สาระสำคัญของมันอยู่ที่ความจริงที่ว่านักเรียนกำลังมองหาช่วงเวลาของความไม่เท่าเทียมกันบนเส้นจำนวนซึ่งถูกวาดในสมุดบันทึก (นี่ไม่ใช่กราฟ แต่เป็นเพียงเส้นตรงธรรมดาที่มีตัวเลข) เมื่อช่วงของอสมการตัดกัน จะพบคำตอบของระบบ หากต้องการใช้วิธีเว้นวรรค ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:
- สมาชิกทุกคนของความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการจะถูกย้ายไปทางด้านซ้ายโดยเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นฝั่งตรงข้าม (เลขศูนย์เขียนอยู่ทางขวา)
- อสมการเขียนแยกกัน วิธีแก้ของแต่ละรายการจะถูกกำหนด
- จุดตัดของอสมการบนตัวเลขตรง. ตัวเลขทั้งหมดที่ทางแยกเหล่านี้จะเป็นคำตอบ
ใช้อย่างไร
เห็นได้ชัดว่าวิธีที่ง่ายและสะดวกที่สุด แต่มีบางครั้งที่งานต้องการวิธีการบางอย่าง ส่วนใหญ่มักจะบอกว่าคุณต้องแก้โดยใช้กราฟหรือใช้วิธีช่วงเวลา วิธีพีชคณิตและการแทนที่นั้นใช้น้อยมากหรือแทบไม่เลย เนื่องจากมันค่อนข้างซับซ้อนและสับสน นอกจากนั้น ยังใช้สำหรับการแก้ระบบสมการมากกว่าความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้น คุณจึงควรใช้การวาดกราฟและช่วงเวลา พวกเขานำทัศนวิสัยซึ่งไม่สามารถสนับสนุนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างมีประสิทธิภาพและรวดเร็ว
ถ้าบางอย่างใช้ไม่ได้
ในระหว่างการศึกษาหัวข้อใดหัวข้อหนึ่งในพีชคณิต อาจมีปัญหากับความเข้าใจในหัวข้อนั้นๆ และนี่เป็นเรื่องปกติ เพราะสมองของเราได้รับการออกแบบมาเพื่อให้ไม่สามารถเข้าใจเนื้อหาที่ซับซ้อนได้ในคราวเดียว บ่อยครั้งที่คุณต้องอ่านย่อหน้าใหม่ ขอความช่วยเหลือจากครู หรือฝึกแก้ปัญหาทั่วไป ในกรณีของเรา พวกมันจะมีลักษณะดังนี้: "แก้ระบบอสมการ 3 x + 1 ≧ 0 และ 2 x - 1 > 3" ดังนั้น ความพยายามส่วนตัว ความช่วยเหลือจากบุคคลภายนอก และการฝึกปฏิบัติช่วยในการทำความเข้าใจหัวข้อที่ซับซ้อนใดๆ
Reshebnik?
และหนังสือเฉลยก็ดีมาก แต่ไม่ใช่สำหรับการโกงการบ้าน แต่เพื่อการช่วยตัวเอง ในนั้น คุณจะพบระบบของความไม่เท่าเทียมกันพร้อมวิธีแก้ปัญหา ดูที่พวกเขา (เช่น เทมเพลต) พยายามทำความเข้าใจให้แน่ชัดว่าผู้เขียนโซลูชันจัดการกับงานอย่างไร แล้วลองทำด้วยตัวเอง
สรุป
พีชคณิตเป็นวิชาที่ยากที่สุดในโรงเรียน ดีคุณสามารถทำอะไร? คณิตศาสตร์เป็นอย่างนี้มาโดยตลอด สำหรับบางคนมาง่าย และสำหรับบางคนก็ยาก แต่ไม่ว่าในกรณีใด ๆ ควรจำไว้ว่าโปรแกรมการศึกษาทั่วไปได้รับการออกแบบมาเพื่อให้นักเรียนทุกคนสามารถรับมือได้ นอกจากนี้ คุณต้องจำผู้ช่วยจำนวนมาก มีการกล่าวถึงบางส่วนข้างต้น