สมการไดโอแฟนไทน์: วิธีแก้พร้อมตัวอย่าง

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

อสมการพีชคณิตหรือระบบที่มีสัมประสิทธิ์ที่เป็นตรรกยะซึ่งหาคำตอบด้วยจำนวนเต็มหรือจำนวนเต็ม ตามกฎแล้ว จำนวนนิรนามในสมการไดโอแฟนไทน์จะมากกว่า ดังนั้นจึงเรียกอีกอย่างว่าความไม่เท่าเทียมกันอย่างไม่มีกำหนด ในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แนวคิดข้างต้นใช้กับสมการพีชคณิตซึ่งมีการค้นหาคำตอบในจำนวนเต็มพีชคณิตของส่วนขยายบางส่วนของสนามตัวแปร Q-rational สนามของตัวแปร p-adic เป็นต้น

ต้นกำเนิดของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้

การศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์อยู่บนพรมแดนระหว่างทฤษฎีจำนวนกับเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต การหาคำตอบในตัวแปรจำนวนเต็มเป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด แล้วในตอนต้นของสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช ชาวบาบิโลนโบราณสามารถแก้ระบบสมการด้วยสองสิ่งที่ไม่รู้ สาขาคณิตศาสตร์นี้มีความเจริญรุ่งเรืองมากที่สุดในกรีกโบราณ เลขคณิตของไดโอแฟนทัส (ประมาณ ค.ศ. ศตวรรษที่ 3) เป็นแหล่งสำคัญที่มีประเภทและระบบสมการที่หลากหลาย

ในหนังสือเล่มนี้ Diophantus ได้เล็งเห็นถึงวิธีการต่างๆ ในการศึกษาความไม่เท่าเทียมกันของข้อที่สองและสามองศาที่ได้รับการพัฒนาอย่างเต็มที่ในศตวรรษที่ 19 การสร้างทฤษฎีจำนวนตรรกยะโดยนักวิจัยชาวกรีกโบราณนี้นำไปสู่การวิเคราะห์การแก้ปัญหาเชิงตรรกะของระบบที่ไม่แน่นอนซึ่งมีการปฏิบัติตามอย่างเป็นระบบในหนังสือของเขา แม้ว่างานของเขาจะมีคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ที่เฉพาะเจาะจง แต่ก็มีเหตุผลให้เชื่อได้ว่าเขาคุ้นเคยกับวิธีทั่วไปหลายวิธีเช่นกัน

การศึกษาความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้มักเกี่ยวข้องกับปัญหาร้ายแรง เนื่องจากพวกมันประกอบด้วยพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม F (x, y1, …, y) จากสิ่งนี้ ได้ข้อสรุปว่าไม่มีอัลกอริธึมเดียวที่สามารถใช้เพื่อกำหนด x ที่กำหนดว่าสมการ F (x, y₁, …., y _{). สถานการณ์สามารถแก้ไขได้สำหรับ y}1_{, …, y ตัวอย่างของพหุนามดังกล่าวสามารถเขียนได้}

อสมการที่ง่ายที่สุด

ax + โดย=1 โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มและเป็นจำนวนเฉพาะ มีการประหารชีวิตจำนวนมาก (ถ้า x_0, y₀ ผลลัพธ์ถูกสร้างขึ้นจากนั้นคู่ของตัวแปร x=x₀ + b และ y=y₀ ^-an โดยที่ n เป็นกฎเกณฑ์ จะถือเป็นความไม่เท่าเทียมกันด้วย) อีกตัวอย่างหนึ่งของสมการไดโอแฟนไทน์คือ x² + y² =z² อินทิกรัลบวกของอสมการนี้คือความยาวของด้านเล็ก x, y และสามเหลี่ยมมุมฉาก เช่นเดียวกับด้านตรงข้ามมุมฉาก z ที่มีขนาดด้านจำนวนเต็ม ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลขพีทาโกรัส แฝดสามทั้งหมดเทียบกับจำนวนเฉพาะที่ระบุตัวแปรข้างต้นกำหนดโดย x=m² – n², y=2mn, z=m²+ n² โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มและจำนวนเฉพาะ (m>n>0)

ไดโอแฟนตัสในการค้นหาเลขคณิตของเขาสำหรับวิธีแก้ปัญหาแบบมีเหตุมีผล (ไม่จำเป็นต้องเป็นส่วนประกอบสำคัญ) ของอสมการชนิดพิเศษของเขา ทฤษฎีทั่วไปสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ในระดับแรกได้รับการพัฒนาโดย C. G. Baschet ในศตวรรษที่ 17 นักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ในตอนต้นของศตวรรษที่ 19 ส่วนใหญ่ศึกษาความไม่เท่าเทียมกันที่คล้ายกัน เช่น ax² +bxy + cy² + dx +ey +f=0, โดยที่ a, b, c, d, e และ f เป็นลักษณะทั่วไป ต่างกัน โดยมีค่าไม่ทราบระดับที่สองสองค่า Lagrange ใช้เศษส่วนต่อเนื่องในการศึกษาของเขา เกาส์สำหรับรูปแบบกำลังสองพัฒนาทฤษฎีทั่วไปที่เป็นพื้นฐานของการแก้ปัญหาบางประเภท

ในการศึกษาความไม่เท่าเทียมกันระดับที่สองเหล่านี้ มีความก้าวหน้าที่สำคัญในศตวรรษที่ 20 เท่านั้น A. ทูพบว่าสมการไดโอแฟนไทน์ a₀x + a₁xn- 1 ^{y +…+a} _y ^{=c โดยที่ n≧3, a}0_{, …, a , c คือจำนวนเต็ม, และ a}0_tn ⁺ …^{+ a} _{ไม่สามารถมีคำตอบจำนวนเต็มได้ไม่จำกัด อย่างไรก็ตาม วิธีการของ Thue ยังไม่ได้รับการพัฒนาอย่างเหมาะสม A. Baker ได้สร้างทฤษฎีบทที่มีประสิทธิภาพซึ่งให้ค่าประมาณประสิทธิภาพของสมการบางประเภท BN Delaunay เสนอวิธีการสอบสวนอีกวิธีหนึ่งที่ใช้กับความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ในระดับที่แคบกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แบบฟอร์ม ax}3 ^{+ y}3 ^{=1 สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีนี้}

สมการไดโอแฟนไทน์: วิธีแก้

ทฤษฎีไดโอแฟนทัสมีหลายทิศทาง ดังนั้น ปัญหาที่ทราบกันดีในระบบนี้คือสมมติฐานที่ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญของสมการไดโอแฟนไทน์ xⁿ + y =z ⁿ if n ≧ 3 (คำถามของแฟร์มาต์). การศึกษาการเติมเต็มจำนวนเต็มของอสมการเป็นการสรุปโดยธรรมชาติของปัญหาแฝดพีทาโกรัส ออยเลอร์ได้คำตอบที่เป็นบวกของปัญหาแฟร์มาต์สำหรับ n=4 โดยอาศัยผลจากผลนี้ มันหมายถึงการพิสูจน์จำนวนเต็มที่หายไป การศึกษาสมการที่ไม่เป็นศูนย์ของสมการถ้า n เป็นจำนวนเฉพาะคี่

การศึกษาเกี่ยวกับการตัดสินใจยังไม่เสร็จสิ้น ความยากลำบากในการดำเนินการเกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าการแยกตัวประกอบอย่างง่ายในวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตนั้นไม่ซ้ำกัน ทฤษฎีตัวหารในระบบนี้สำหรับเลขชี้กำลังเฉพาะหลายกลุ่ม n ทำให้สามารถยืนยันความถูกต้องของทฤษฎีบทแฟร์มาต์ได้ ดังนั้นสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นที่มีสองไม่ทราบค่าจึงถูกเติมเต็มด้วยวิธีการและวิธีที่มีอยู่

ประเภทและประเภทของงานที่อธิบายไว้

เลขคณิตของวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตยังใช้ในปัญหาและวิธีแก้ปัญหาอื่นๆ มากมายของสมการไดโอแฟนไทน์ ตัวอย่างเช่น วิธีการดังกล่าวถูกนำมาใช้เมื่อเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ N(a₁ x₁ +…+ a x_{)=m โดยที่ N(a) เป็นบรรทัดฐานของ a และ x}1_{, …, x}n _{พบตัวแปรตรรกยะ integral คลาสนี้รวมสมการ Pell x}2–^dy2^=1.

ค่า a_{1, …,} a ที่ปรากฏ สมการเหล่านี้แบ่งออกเป็นสองประเภท ประเภทแรก - ที่เรียกว่าแบบฟอร์มที่สมบูรณ์ - รวมสมการที่มี m จำนวนอิสระเชิงเส้นตรงเหนือสนามตัวแปรตรรกยะ Q โดยที่ m=[Q(a₁, …, a_{):Q] ซึ่งมีดีกรีของเลขชี้กำลังพีชคณิต Q (a1, …, a ) ส่วน Q. สปีชีส์ที่ไม่สมบูรณ์นั้นอยู่ใน ซึ่งจำนวนสูงสุดของ a i} น้อยกว่า m.

รูปแบบเต็มนั้นง่ายกว่า การศึกษาเสร็จสมบูรณ์ และสามารถอธิบายวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดได้ ประเภทที่สองคือสปีชีส์ที่ไม่สมบูรณ์นั้นซับซ้อนกว่าและการพัฒนาทฤษฎีดังกล่าวยังไม่เสร็จสมบูรณ์ สมการดังกล่าวได้รับการศึกษาโดยใช้การประมาณไดโอแฟนไทน์ ซึ่งรวมถึงอสมการ F(x, y)=C โดยที่ F (x, y) เป็นพหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกันของดีกรี n≧3 ที่ลดทอนไม่ได้ ดังนั้น เราสามารถสมมติได้ว่า y_i→∞ ดังนั้น ถ้า y_i มีขนาดใหญ่พอ ความเหลื่อมล้ำจะขัดแย้งกับทฤษฎีบทของ Thue, Siegel และ Roth ซึ่งจะตามหลัง F(x, y)=C โดยที่ F คือ รูปแบบของดีกรีที่สามหรือสูงกว่า สิ่งที่ลดไม่ได้ไม่สามารถมีคำตอบได้ไม่จำกัด

จะแก้สมการไดโอแฟนไทน์ได้อย่างไร

ตัวอย่างนี้เป็นคลาสที่ค่อนข้างแคบ ตัวอย่างเช่น แม้จะเรียบง่าย x³ + y³ + z³=N และ x2 ^+y 2 ^+z2 ^+u2 ^{=N ไม่รวมอยู่ในชั้นเรียนนี้ การศึกษาการแก้ปัญหาเป็นสาขาหนึ่งของสมการไดโอแฟนไทน์ที่มีการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วน โดยพื้นฐานคือการแทนด้วยรูปแบบตัวเลขกำลังสอง ลากรองจ์สร้างทฤษฎีบทที่บอกว่าการเติมเต็มนั้นมีอยู่สำหรับ N ตามธรรมชาติทั้งหมด จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแทนเป็นผลรวมของสามกำลังสอง (ทฤษฎีบทของเกาส์) แต่ไม่ควรอยู่ในรูปแบบ 4}a ^{(8K-1) โดยที่ a และ k เป็นเลขชี้กำลังจำนวนเต็มไม่เป็นลบ}

คำตอบที่เป็นเหตุเป็นผลหรืออินทิกรัลของระบบสมการไดโอแฟนไทน์ประเภท F (x₁, …, x)=a โดยที่ F (x ₁, …, x) เป็นรูปแบบกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้น ตามทฤษฎีบท Minkowski-Hasse ความไม่เท่าเทียมกัน ∑a_ijx_ix_j=b ij_{และ b เป็นจำนวนตรรกยะ มีคำตอบที่สมบูรณ์ในจำนวนจริงและ p-adic สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ p ต่อเมื่อสามารถแก้ได้ในโครงสร้างนี้}

เนื่องจากความยากโดยธรรมชาติ การศึกษาตัวเลขที่มีรูปแบบตามใจชอบในระดับที่สามขึ้นไปจึงได้รับการศึกษาในระดับที่น้อยกว่า วิธีการดำเนินการหลักคือวิธีการของผลรวมตรีโกณมิติ ในกรณีนี้ จำนวนคำตอบของสมการจะถูกเขียนอย่างชัดเจนในรูปของอินทิกรัลฟูริเยร์ หลังจากนั้น วิธีสิ่งแวดล้อมจะใช้เพื่อแสดงจำนวนการปฏิบัติตามความไม่เท่าเทียมกันของความสอดคล้องที่สอดคล้องกัน วิธีการของผลรวมตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับคุณสมบัติเชิงพีชคณิตของอสมการ มีวิธีการเบื้องต้นจำนวนมากในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น

วิเคราะห์ไดโอแฟนไทน์

ภาควิชาคณิตศาสตร์ วิชาที่เป็นการศึกษาการแก้ปัญหาเชิงปริพันธ์และมีเหตุผลของระบบสมการพีชคณิตโดยวิธีเรขาคณิตจากเดิมทรงกลม ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 การเกิดขึ้นของทฤษฎีจำนวนนี้นำไปสู่การศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์จากสนามโดยพลการที่มีสัมประสิทธิ์ และพิจารณาการแก้ปัญหาทั้งในนั้นหรือในวงแหวน ระบบฟังก์ชันพีชคณิตพัฒนาควบคู่ไปกับตัวเลข การเปรียบเทียบพื้นฐานระหว่างทั้งสองซึ่งเน้นโดย D. Hilbert และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง L. Kronecker นำไปสู่การสร้างแนวคิดทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่เหมือนกัน ซึ่งมักเรียกว่า global

สิ่งนี้จะสังเกตเห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษหากฟังก์ชันพีชคณิตภายใต้การศึกษาเกี่ยวกับฟิลด์ค่าคงที่จำกัดเป็นตัวแปรหนึ่งตัว แนวคิดเช่นทฤษฎีสนามคลาส ตัวหาร และการแตกแขนงและผลลัพธ์เป็นตัวอย่างที่ดีของข้างต้น มุมมองนี้ถูกนำมาใช้ในระบบของอสมการไดโอแฟนไทน์ในภายหลังเท่านั้น และการวิจัยอย่างเป็นระบบไม่เพียงแต่กับสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลขเท่านั้น แต่ยังมีสัมประสิทธิ์ที่เป็นฟังก์ชันด้วย เริ่มต้นขึ้นในปี 1950 เท่านั้น หนึ่งในปัจจัยชี้ขาดในแนวทางนี้คือการพัฒนาเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต การศึกษาสาขาตัวเลขและฟังก์ชันพร้อมกัน ซึ่งเกิดขึ้นเป็นสองแง่มุมที่สำคัญเท่าเทียมกันของหัวข้อเดียวกัน ไม่เพียงแต่ให้ผลลัพธ์ที่สวยงามและน่าเชื่อเท่านั้น แต่ยังนำไปสู่การเสริมคุณค่าร่วมกันของสองหัวข้อ

ในเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต แนวคิดเรื่องความหลากหลายจะถูกแทนที่ด้วยชุดอสมการที่ไม่คงที่บนฟิลด์ K ที่กำหนด และคำตอบของพวกมันจะถูกแทนที่ด้วยจุดตรรกยะด้วยค่าใน K หรือในการขยายขอบเขตจำกัด เราสามารถพูดได้ว่าปัญหาพื้นฐานของเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์คือการศึกษาจุดตรรกยะของเซตพีชคณิต X(K) ในขณะที่ X เป็นตัวเลขบางตัวในฟิลด์ K การดำเนินการจำนวนเต็มมีความหมายทางเรขาคณิตในสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น

การศึกษาความไม่เท่าเทียมกันและตัวเลือกการดำเนินการ

เมื่อศึกษาจุดตรรกยะ (หรือปริพันธ์) เกี่ยวกับพีชคณิต ปัญหาแรกจะเกิดขึ้น ซึ่งก็คือการมีอยู่ของพวกมัน ปัญหาที่สิบของ Hilbert ถูกกำหนดให้เป็นปัญหาในการหาวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหานี้ ในกระบวนการสร้างคำจำกัดความที่แน่นอนของอัลกอริธึมและหลังจากพิสูจน์แล้วว่าไม่มีการประหารชีวิตสำหรับปัญหาจำนวนมาก ปัญหาได้รับผลลัพธ์เชิงลบที่ชัดเจน และคำถามที่น่าสนใจที่สุดคือคำจำกัดความของคลาสของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งระบบดังกล่าวมีอยู่ แนวทางที่เป็นธรรมชาติที่สุด จากมุมมองของพีชคณิต คือสิ่งที่เรียกว่า หลักการ Hasse: ฟิลด์เริ่มต้น K ได้รับการศึกษาร่วมกับความสมบูรณ์ของ K_v จากการประมาณการที่เป็นไปได้ทั้งหมด เนื่องจาก X(K)=X(K_v) เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ และจุด K คำนึงถึงว่าเซต X(K_{v) ไม่ว่างสำหรับ v.}

ความสำคัญอยู่ที่การนำสองปัญหามารวมกัน อันที่สองง่ายกว่ามาก สามารถแก้ไขได้โดยอัลกอริธึมที่รู้จัก ในกรณีเฉพาะที่วาไรตี้ X เป็นโปรเจ็กต์ บทแทรกของ Hansel และการวางนัยทั่วไปทำให้สามารถลดลงได้อีก: ปัญหาจะลดลงเหลือการศึกษาจุดตรรกยะบนสนามที่มีขอบเขตจำกัด จากนั้นเขาก็ตัดสินใจที่จะสร้างแนวคิดไม่ว่าจะด้วยการวิจัยที่สอดคล้องกันหรือวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น

สุดท้ายข้อพิจารณาที่สำคัญคือ ชุด X(K_v) ไม่ว่างสำหรับทุกคน แต่มี v จำนวนจำกัด ดังนั้นจำนวนของเงื่อนไขจึงมีขอบเขตจำกัดเสมอ และสามารถทดสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ อย่างไรก็ตาม หลักการของ Hasse ใช้ไม่ได้กับเส้นโค้งองศา ตัวอย่างเช่น 3x³ + 4y³=5 มีจุดในช่องตัวเลข p-adic ทั้งหมดและ ในระบบจำนวนจริง แต่ไม่มีจุดตรรกยะ

วิธีนี้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการสร้างแนวคิดที่อธิบายคลาสของช่องว่างที่เป็นเนื้อเดียวกันหลักของพันธุ์ Abelian เพื่อทำการ "เบี่ยงเบน" จากหลักการ Hasse มีการอธิบายไว้ในแง่ของโครงสร้างพิเศษที่สามารถเชื่อมโยงกับท่อต่างๆ (กลุ่ม Tate-Shafarevich) ปัญหาหลักของทฤษฎีนี้อยู่ที่วิธีการคำนวณกลุ่มที่หาได้ยาก แนวคิดนี้ยังขยายไปสู่คลาสอื่นๆ ของพันธุ์พีชคณิต

ค้นหาอัลกอริทึมเพื่อเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกัน

แนวคิดฮิวริสติกอีกแนวคิดหนึ่งที่ใช้ในการศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์คือถ้าจำนวนของตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับชุดของความไม่เท่าเทียมกันมีขนาดใหญ่ ระบบมักจะมีคำตอบ อย่างไรก็ตาม นี่เป็นการยากที่จะพิสูจน์ในกรณีใดกรณีหนึ่งโดยเฉพาะ แนวทางทั่วไปในการแก้ปัญหาประเภทนี้ใช้ทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์และอิงจากการประมาณการผลรวมตรีโกณมิติ วิธีนี้แต่เดิมใช้กับสมการชนิดพิเศษ

อย่างไรก็ตาม ภายหลังได้รับการพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือว่าหากรูปแบบของดีกรีคี่เป็น F ใน dและตัวแปร n และสัมประสิทธิ์ที่เป็นตรรกยะ แล้ว n มีขนาดใหญ่พอเมื่อเทียบกับ d ดังนั้นโปรเจ็กเตอร์ไฮเปอร์เซอร์เฟซ F=0 จึงมีจุดตรรกยะ ตามการคาดเดาของ Artin ผลลัพธ์นี้จะเป็นจริงแม้ว่า n > d^{2. สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับรูปแบบกำลังสองเท่านั้น สามารถสอบถามปัญหาที่คล้ายกันในด้านอื่นๆ ได้เช่นกัน ปัญหาหลักของเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์คือโครงสร้างของเซตของจำนวนเต็มหรือจุดตรรกยะและการศึกษาของพวกมัน และคำถามแรกที่ต้องชี้แจงก็คือเซตนี้มีขอบเขตจำกัดหรือไม่ ในปัญหานี้ สถานการณ์มักจะมีจำนวนจำกัดของการดำเนินการ ถ้าระดับของระบบมากกว่าจำนวนตัวแปรมาก นี่คือสมมติฐานพื้นฐาน}

อสมการบนเส้นและเส้นโค้ง

กลุ่ม X(K) สามารถแสดงเป็นผลรวมโดยตรงของโครงสร้างอิสระของอันดับ r และกลุ่มจำกัดของคำสั่ง n ตั้งแต่ทศวรรษที่ 1930 ได้มีการศึกษาคำถามที่ว่าตัวเลขเหล่านี้มีขอบเขตบนเซตของเส้นโค้งวงรีทั้งหมดบนเขตข้อมูล K ที่กำหนดหรือไม่ ขอบเขตของแรงบิด n แสดงให้เห็นในช่วงอายุเจ็ดสิบ มีเส้นโค้งของตำแหน่งสูงโดยพลการในกรณีการใช้งาน ในกรณีที่เป็นตัวเลข ยังไม่มีคำตอบสำหรับคำถามนี้

สุดท้าย การคาดเดาของ Mordell ระบุว่าจำนวนของจุดอินทิกรัลมีขอบเขตจำกัดสำหรับเส้นโค้งของสกุล g>1 ในกรณีการใช้งาน แนวคิดนี้แสดงให้เห็นโดย Yu. I. Manin ในปี 1963 เครื่องมือหลักที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทความจำกัดในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์คือความสูง ของพันธุ์พีชคณิต มิติที่สูงกว่าหนึ่งคือ abelianท่อร่วมซึ่งเป็นแอนะล็อกหลายมิติของเส้นโค้งวงรีได้รับการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วนที่สุด

ก. Weil สรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับความจำกัดของจำนวนเครื่องกำเนิดของกลุ่มจุดที่มีเหตุมีผลไปยังพันธุ์ Abelian ในทุกมิติ (แนวคิด Mordell-Weil) ขยายออกไป ในทศวรรษที่ 1960 การคาดเดาของ Birch และ Swinnerton-Dyer ปรากฏขึ้นโดยปรับปรุงสิ่งนี้และกลุ่มและหน้าที่ซีตาของท่อร่วมไอดี หลักฐานเชิงตัวเลขสนับสนุนสมมติฐานนี้

ปัญหาในการแก้ไข

ปัญหาในการหาอัลกอริธึมที่ใช้ตัดสินว่าสมการไดโอแฟนไทน์มีคำตอบหรือไม่ ลักษณะสำคัญของปัญหาคือการค้นหาวิธีสากลที่เหมาะสมกับความไม่เท่าเทียมกัน วิธีการดังกล่าวจะช่วยให้สามารถแก้ไขระบบข้างต้นได้ เนื่องจากเทียบเท่ากับ P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 หรือ p21+ ⋯ + P2K=0 n12+⋯+pK2=0. ปัญหาในการหาวิธีที่เป็นสากลในการหาคำตอบสำหรับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในจำนวนเต็มถูกวางโดย D กิลเบิร์ต

ในช่วงต้นทศวรรษ 1950 การศึกษาครั้งแรกมีจุดมุ่งหมายเพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ ในเวลานี้การคาดเดาของเดวิสปรากฏขึ้นซึ่งกล่าวว่าชุดที่นับได้นั้นเป็นของนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกด้วย เนื่องจากรู้จักตัวอย่างของชุดอัลกอริทึมที่ไม่สามารถระบุได้ แต่สามารถระบุได้แบบเรียกซ้ำ เป็นไปตามที่การคาดเดาของเดวิสเป็นจริงและปัญหาของการแก้สมการเหล่านี้ได้มีการดำเนินการเชิงลบ

หลังจากนั้น สำหรับการคาดเดาของเดวิส ก็ยังคงต้องพิสูจน์ว่ามีวิธีในการเปลี่ยนแปลงความไม่เท่าเทียมกันที่ (หรือไม่มี) ก็มีวิธีแก้ปัญหาในเวลาเดียวกัน มันแสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงของสมการไดโอแฟนไทน์นั้นเป็นไปได้หากมีคุณสมบัติสองประการข้างต้น: 1) ในคำตอบของประเภทนี้ v ≦ uu; 2) สำหรับ k ใดๆ จะมีการดำเนินการที่มีการเติบโตแบบทวีคูณ

ตัวอย่างสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นของคลาสนี้ทำให้การพิสูจน์สมบูรณ์ ปัญหาการมีอยู่ของอัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหาและการรับรู้ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ในจำนวนตรรกยะยังคงเป็นคำถามที่สำคัญและเปิดกว้างที่ยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างเพียงพอ