สามเหลี่ยมปาสกาล. สมบัติของสามเหลี่ยมปาสกาล

สารบัญ:

สามเหลี่ยมปาสกาล. สมบัติของสามเหลี่ยมปาสกาล
สามเหลี่ยมปาสกาล. สมบัติของสามเหลี่ยมปาสกาล
Anonim

ความก้าวหน้าของมนุษยชาติส่วนใหญ่เกิดจากการค้นพบของอัจฉริยะ หนึ่งในนั้นคือเบลส ปาสกาล ชีวประวัติที่สร้างสรรค์ของเขายืนยันอีกครั้งถึงความจริงของการแสดงออกของ Lion Feuchtwanger "คนที่มีความสามารถมีพรสวรรค์ในทุกสิ่ง" ความสำเร็จทางวิทยาศาสตร์ทั้งหมดของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ยากจะนับ หนึ่งในนั้นคือหนึ่งในสิ่งประดิษฐ์ที่หรูหราที่สุดในโลกของคณิตศาสตร์ - สามเหลี่ยมของ Pascal

สามเหลี่ยมปาสกาล
สามเหลี่ยมปาสกาล

คำไม่กี่คำเกี่ยวกับอัจฉริยะ

Blaise Pascal เสียชีวิตในช่วงต้นด้วยมาตรฐานสมัยใหม่ เมื่ออายุ 39 ปี อย่างไรก็ตาม ในช่วงชีวิตอันแสนสั้นของเขา เขาได้ทำให้ตัวเองโดดเด่นในฐานะนักฟิสิกส์ นักคณิตศาสตร์ นักปรัชญา และนักเขียนที่โดดเด่น ลูกหลานกตัญญูตั้งชื่อหน่วยความกดดันและภาษาโปรแกรมยอดนิยม Pascal เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา ใช้มาเกือบ 60 ปีแล้ว เพื่อสอนวิธีเขียนโค้ดต่างๆ ตัวอย่างเช่นด้วยความช่วยเหลือนักเรียนแต่ละคนสามารถเขียนโปรแกรมเพื่อคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมในภาษาปาสกาลรวมทั้งสำรวจคุณสมบัติของวงจรประมาณซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง

กิจกรรมของนักวิทยาศาสตร์ผู้มีความคิดที่ไม่ธรรมดานี้ครอบคลุมหลากหลายสาขาวิชาวิทยาศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Blaise Pascal เป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งไฮโดรสแตติกส์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิต และทฤษฎีความน่าจะเป็นบางพื้นที่ นอกจากนี้ เขา:

  • สร้างเครื่องคิดเลขแบบกลไกที่เรียกว่า Pascal wheel;
  • ให้หลักฐานการทดลองว่าอากาศมีความยืดหยุ่นและน้ำหนัก
  • ก่อตั้งให้บารอมิเตอร์ใช้ทำนายสภาพอากาศได้
  • ประดิษฐ์รถสาลี่;
  • คิดค้นรถโดยสารประจำทาง - รถม้าพร้อมเส้นทางคงที่ ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นระบบขนส่งสาธารณะประเภทแรกๆ ไปตามปกติ เป็นต้น
ตัวอย่างสามเหลี่ยมปาสกาล
ตัวอย่างสามเหลี่ยมปาสกาล

สามเหลี่ยมคณิตของปาสกาล

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่คนนี้มีส่วนสนับสนุนอย่างมากในด้านวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ ผลงานชิ้นเอกทางวิทยาศาสตร์ชิ้นเอกชิ้นหนึ่งของเขาคือ "Treatise on the Arithmetic Triangle" ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ทวินามที่จัดเรียงในลำดับที่แน่นอน คุณสมบัติของโครงการนี้มีความโดดเด่นในด้านความหลากหลาย และเป็นตัวยืนยันสุภาษิตที่ว่า "ทุกสิ่งที่แยบยลนั้นเรียบง่าย!"

ประวัติศาสตร์เล็กน้อย

เพื่อความยุติธรรม ต้องบอกว่าสามเหลี่ยมของปาสกาลเป็นที่รู้จักในยุโรปตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 16 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ภาพของเขาสามารถเห็นได้บนปกหนังสือเรียนเลขคณิตโดยนักดาราศาสตร์ชื่อดัง Peter Apian จากมหาวิทยาลัย Ingolstadt สามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะแสดงเป็นภาพประกอบด้วยในหนังสือของนักคณิตศาสตร์ชาวจีน Yang Hui จัดพิมพ์ในปี 1303 โอมาร์ คัยยัม กวีและปราชญ์ชาวเปอร์เซียที่โดดเด่นก็ตระหนักถึงคุณสมบัติของมันเมื่อต้นศตวรรษที่ 12 นอกจากนี้ เชื่อว่าเขาได้พบกับเขาจากบทความของนักวิทยาศาสตร์ชาวอาหรับและอินเดียที่เขียนไว้ก่อนหน้านี้

พื้นที่ปาสกาลของสามเหลี่ยม
พื้นที่ปาสกาลของสามเหลี่ยม

รายละเอียด

ก่อนที่จะสำรวจคุณสมบัติที่น่าสนใจที่สุดของสามเหลี่ยม Pascal ที่สวยงามในความสมบูรณ์แบบและเรียบง่าย ควรค่าแก่การรู้ว่ามันคืออะไร

ในเชิงวิทยาศาสตร์ รูปแบบตัวเลขนี้เป็นตารางสามเหลี่ยมที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่เกิดจากสัมประสิทธิ์ทวินามที่จัดเรียงในลำดับที่แน่นอน ที่ด้านบนและด้านข้างของมันคือตัวเลข 1 ตำแหน่งที่เหลือจะถูกครอบครองโดยตัวเลขที่เท่ากับผลรวมของตัวเลขสองตัวที่อยู่เหนือพวกมันที่อยู่ติดกัน ยิ่งไปกว่านั้น เส้นของสามเหลี่ยม Pascal ทุกเส้นมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนตั้งของมัน

คุณสมบัติพื้นฐาน

สามเหลี่ยมของปาสกาลพุ่งด้วยความสมบูรณ์แบบ สำหรับบรรทัดใด ๆ ที่มีหมายเลข n (n=0, 1, 2…) true:

  • ตัวเลขแรกและตัวสุดท้ายคือ 1;
  • ที่สองและสุดท้าย - n;
  • ตัวเลขที่สามเท่ากับตัวเลขสามเหลี่ยม (จำนวนวงกลมที่สามารถจัดเรียงเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ เช่น 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
  • ตัวเลขที่สี่คือจัตุรมุข นั่นคือ พีระมิดที่มีสามเหลี่ยมอยู่ที่ฐาน

นอกจากนี้ เมื่อไม่นานนี้เอง เมื่อปี 1972 สมบัติอื่นของสามเหลี่ยมปาสกาลก็ถูกสร้างขึ้น เพื่อให้เขาเพื่อหา คุณต้องเขียนองค์ประกอบของโครงร่างนี้ในรูปแบบของตารางที่มีการเลื่อนแถว 2 ตำแหน่ง จากนั้นสังเกตตัวเลขที่หารด้วยหมายเลขบรรทัด ปรากฎว่าจำนวนคอลัมน์ที่เน้นตัวเลขทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ

เคล็ดลับเดียวกันก็ทำได้อีกทางหนึ่ง ในการทำเช่นนี้ ในรูปสามเหลี่ยมของ Pascal ตัวเลขจะถูกแทนที่ด้วยเศษที่เหลือของการหารด้วยหมายเลขแถวในตาราง จากนั้นเส้นจะถูกจัดเรียงในรูปสามเหลี่ยมผลลัพธ์เพื่อให้เส้นถัดไปเริ่มต้น 2 คอลัมน์ทางด้านขวาจากองค์ประกอบแรกขององค์ประกอบก่อนหน้า จากนั้นคอลัมน์ที่มีตัวเลขที่เป็นจำนวนเฉพาะจะประกอบด้วยศูนย์เท่านั้น และคอลัมน์ที่มีตัวเลขประกอบจะมีศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว

การเชื่อมต่อกับทวินามของนิวตัน

อย่างที่คุณทราบ นี่คือชื่อของสูตรสำหรับการขยายเป็นกำลังจำนวนเต็มไม่เป็นลบของผลรวมของตัวแปรสองตัว ซึ่งมีลักษณะดังนี้:

สามเหลี่ยมปาสกาล
สามเหลี่ยมปาสกาล
สูตรสามเหลี่ยมปาสกาล
สูตรสามเหลี่ยมปาสกาล

สัมประสิทธิ์ที่มีอยู่ในพวกมันเท่ากับ C m =n! / (m! (n - m)!) โดยที่ m คือเลขลำดับในแถว n ของสามเหลี่ยม Pascal กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อมีตารางนี้อยู่ในมือ คุณสามารถเพิ่มตัวเลขใดๆ ยกกำลังได้อย่างง่ายดาย โดยก่อนหน้านี้ได้แยกออกเป็นสองเทอม

ดังนั้น สามเหลี่ยมปาสกาลและทวินามของนิวตันจึงสัมพันธ์กัน

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมปาสกาล
คุณสมบัติของสามเหลี่ยมปาสกาล

คณิตศาสตร์มหัศจรรย์

การตรวจสอบสามเหลี่ยมปาสกาลอย่างใกล้ชิดพบว่า:

  • ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดในบรรทัดด้วยหมายเลขซีเรียล n (นับจาก 0) คือ 2;
  • ถ้าเส้นชิดซ้าย ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ตามแนวทแยงของสามเหลี่ยมปาสกาล จากล่างขึ้นบนและจากซ้ายไปขวาจะเท่ากับตัวเลขฟีโบนักชี
  • "เส้นทแยงมุม" แรกประกอบด้วยตัวเลขธรรมชาติ
  • องค์ประกอบใดๆ จากสามเหลี่ยมปาสกาลที่ลดลงหนึ่งตัว เท่ากับผลรวมของตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งถูกจำกัดด้วยเส้นทแยงมุมซ้ายและขวาที่ตัดกันบนตัวเลขนี้
  • ในแต่ละบรรทัดของแผนภาพ ผลรวมของตัวเลขในตำแหน่งคู่จะเท่ากับผลรวมขององค์ประกอบในตำแหน่งคี่
สามเหลี่ยมคณิตของปาสกาล
สามเหลี่ยมคณิตของปาสกาล

สามเหลี่ยมเซียร์พินสกี้

รูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเช่นนี้ ซึ่งมีแนวโน้มว่าจะแก้ปัญหาที่ซับซ้อนได้นั้น ได้มาจากการระบายสีตัวเลขคู่ของภาพปาสกาลด้วยสีเดียว และอีกสีหนึ่งเป็นเลขคี่

สามเหลี่ยมเซียร์พินสกี้สร้างได้อีกทางหนึ่ง:

  • ในรูปแบบปาสกาลแรเงา สามเหลี่ยมกลางถูกทาสีใหม่ด้วยสีที่ต่างออกไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านข้างของอันเดิม
  • ทำแบบเดียวกันกับสามอันที่ไม่ทาสีอยู่ที่มุม
  • หากดำเนินการต่อไปอย่างไม่มีกำหนด ผลลัพธ์ควรเป็นรูปสองสี

คุณสมบัติที่น่าสนใจที่สุดของรูปสามเหลี่ยม Sierpinski คือความคล้ายคลึงในตัวเอง เนื่องจากประกอบด้วยสำเนา 3 ชุด ซึ่งลดลง 2 เท่า ช่วยให้เราสามารถระบุรูปแบบนี้เป็นเส้นโค้งเศษส่วนและดังที่แสดงโดยล่าสุดการวิจัยเหมาะที่สุดสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเมฆ พืช สามเหลี่ยมปากแม่น้ำ และจักรวาลเอง

สูตรสามเหลี่ยมปาสกาล
สูตรสามเหลี่ยมปาสกาล

งานที่น่าสนใจมากมาย

สามเหลี่ยมของปาสกาลใช้ที่ไหน? ตัวอย่างของงานที่สามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือนั้นค่อนข้างหลากหลายและเป็นของวิทยาศาสตร์สาขาต่างๆ มาดูสิ่งที่น่าสนใจกันดีกว่า

ปัญหาที่ 1. เมืองใหญ่บางแห่งล้อมรอบด้วยกำแพงป้อมปราการ มีประตูทางเข้าเพียงประตูเดียว ที่สี่แยกแรก ถนนหลักแยกออกเป็นสองส่วน สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับสิ่งอื่น 210 คนเข้าเมือง ที่ทางแยกแต่ละแห่งที่พวกเขาพบพวกเขาจะแบ่งครึ่ง แต่ละแยกจะพบคนกี่คนเมื่อไม่สามารถแบ่งปันได้อีกต่อไป คำตอบของเธอคือบรรทัดที่ 10 ของสามเหลี่ยมปาสกาล (สูตรสัมประสิทธิ์แสดงไว้ด้านบน) โดยที่ตัวเลข 210 อยู่ที่ทั้งสองด้านของแกนแนวตั้ง

Task 2. มี 7 ชื่อสี. คุณต้องทำช่อดอกไม้ 3 ดอก จำเป็นต้องค้นหาว่าสามารถทำได้หลายวิธี ปัญหานี้มาจากสาขาการรวมกัน เพื่อแก้ปัญหานี้ เราใช้สามเหลี่ยม Pascal อีกครั้งและขึ้นบรรทัดที่ 7 ในตำแหน่งที่สาม (การนับในทั้งสองกรณีจาก 0) หมายเลข 35

สามเหลี่ยมปาสกาลและทวินามของนิวตัน
สามเหลี่ยมปาสกาลและทวินามของนิวตัน

ตอนนี้คุณก็รู้แล้วว่าปราชญ์และนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ Blaise Pascal คิดค้นอะไร สามเหลี่ยมที่มีชื่อเสียงเมื่อใช้อย่างถูกต้องสามารถกลายเป็นเครื่องช่วยชีวิตที่แท้จริงในการแก้ปัญหามากมายโดยเฉพาะจากภาคสนามการรวมกัน นอกจากนี้ยังสามารถใช้ไขปริศนาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนได้อีกด้วย