ชุดแมคคลอรินและการขยายฟังก์ชันบางอย่าง

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

นักเรียนวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูงควรตระหนักว่าผลรวมของอนุกรมกำลังบางชุดที่เป็นของช่วงการบรรจบกันของอนุกรมนั้นกลายเป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอตแบบต่อเนื่องและไม่จำกัดจำนวนครั้ง คำถามเกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมที่จะยืนยันว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้ f(x) คือผลรวมของอนุกรมกำลังบางอัน? นั่นคือภายใต้เงื่อนไขใดที่ฟังก์ชัน f(x) สามารถแสดงด้วยอนุกรมกำลังได้? ความสำคัญของคำถามนี้อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นไปได้ที่จะแทนที่ฟังก์ชัน f(x) โดยประมาณด้วยผลรวมของเทอมแรกสองสามพจน์ของอนุกรมกำลัง นั่นคือโดยพหุนาม การแทนที่ฟังก์ชันด้วยนิพจน์ที่ค่อนข้างง่าย - พหุนาม - ก็สะดวกเช่นกันเมื่อแก้ปัญหาบางอย่างของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ กล่าวคือ: เมื่อแก้อินทิกรัล เมื่อคำนวณสมการเชิงอนุพันธ์ เป็นต้น

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสำหรับบางฟังก์ชัน f(х) ซึ่งสามารถคำนวณอนุพันธ์ได้ถึง (n+1) ลำดับ รวมถึงอันสุดท้าย ในละแวกใกล้เคียง (α _{- R; x}0 _{+ R) ของจุดบางจุด x=α สูตรนี้ใช้ได้:}

สูตรนี้ตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ชื่อดัง บรู๊ค เทย์เลอร์ ซีรี่ย์ที่ได้มาจากอันที่แล้วเรียกว่าซีรีย์ Maclaurin:

กฎที่ทำให้สามารถขยายซีรีย์ Maclaurin:

กำหนดอนุพันธ์ของคำสั่งที่หนึ่ง สอง สาม…
คำนวณอนุพันธ์ที่ x=0 เท่ากับอะไร
บันทึกชุด Maclaurin สำหรับฟังก์ชันนี้ แล้วกำหนดช่วงเวลาของการบรรจบกัน
กำหนดช่วงเวลา (-R;R) โดยที่สูตร Maclaurin ที่เหลือ

R (x) -> 0 สำหรับ n -> อินฟินิตี้ ถ้ามีอยู่ ฟังก์ชัน f(x) ในนั้นจะต้องตรงกับผลรวมของอนุกรมมาลอริน

ลองพิจารณาชุด Maclaurin สำหรับแต่ละฟังก์ชัน

1. ดังนั้นอันแรกจะเป็น f(x)=e^x แน่นอน ตามคุณลักษณะของมัน ฟังก์ชันดังกล่าวมีอนุพันธ์ของคำสั่งต่างๆ และ f^(k)(x)=e^x โดยที่ k เท่ากับทั้งหมด ตัวเลขธรรมชาติ มาแทน x=0 กัน เราได้ f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{จะมีลักษณะดังนี้:}

2. อนุกรมแมคลอรินสำหรับฟังก์ชัน f(x)=บาป x ชี้แจงทันทีว่าฟังก์ชันสำหรับนิรนามทั้งหมดจะมีอนุพันธ์ นอกเหนือจาก f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-บาป x=บาป(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=บาป(x+k n/2), โดยที่ k เท่ากับจำนวนธรรมชาติใดๆ นั่นคือ หลังจากคำนวณอย่างง่ายแล้ว เราก็สรุปได้ว่าอนุกรมของ f(x)=sin x จะออกมาเป็นแบบนี้}

3. ทีนี้ลองพิจารณาฟังก์ชัน f(x)=cos x เธอคือทุกสิ่งที่ไม่รู้จักมีอนุพันธ์ของคำสั่งโดยพลการ และ |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… อีกครั้ง หลังจากคำนวณแล้ว เราก็ได้อนุกรมของ f(x)=cos x ออกมาเป็นแบบนี้:

เราจึงแสดงรายการฟังก์ชันที่สำคัญที่สุดที่สามารถขยายได้ในซีรีส์ Maclaurin แต่จะเสริมด้วยซีรีส์ Taylor สำหรับบางฟังก์ชัน ตอนนี้เราจะแสดงรายการ นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่าอนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอรินเป็นส่วนสำคัญของการแก้โจทย์คณิตศาสตร์ชั้นสูง ซีรี่ย์ Taylor

1. ครั้งแรกจะเป็นซีรีส์สำหรับ f-ii f(x)=ln(1+x) ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ให้เรา f (x)=ln (1 + x) เราสามารถเพิ่มอนุกรมโดยใช้รูปแบบทั่วไปของอนุกรมมาลอริน อย่างไรก็ตาม สำหรับฟังก์ชันนี้ ชุด Maclaurin สามารถรับได้ง่ายกว่ามาก หลังจากรวมอนุกรมเรขาคณิตแล้ว เราจะได้อนุกรมสำหรับ f(x)=ln(1+x) ของตัวอย่างนี้: