อินทิกรัลไม่จำกัด การคำนวณปริพันธ์ไม่แน่นอน

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-15 17:30

หนึ่งในส่วนพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์คือ แคลคูลัสอินทิกรัล ครอบคลุมขอบเขตของวัตถุที่กว้างที่สุด โดยที่แรกคืออินทิกรัลไม่จำกัด ควรวางตำแหน่งให้เป็นกุญแจสำคัญ ซึ่งแม้ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายก็เผยให้เห็นมุมมองและโอกาสที่เพิ่มขึ้นตามที่อธิบายไว้ในวิชาคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้น

ลักษณะที่ปรากฏ

เมื่อมองแวบแรก อินทิกรัลดูทันสมัยอย่างยิ่ง มีความเกี่ยวข้อง แต่ในทางปฏิบัติปรากฏว่าปรากฏเร็วที่สุดเท่าที่ 1800 ปีก่อนคริสตกาล อียิปต์ถือเป็นบ้านเกิดอย่างเป็นทางการเนื่องจากหลักฐานการดำรงอยู่ก่อนหน้านี้ยังไม่มาถึงเรา เขาเนื่องจากขาดข้อมูลตลอดเวลาจึงถูกจัดวางให้เป็นปรากฏการณ์ เขายืนยันอีกครั้งถึงระดับการพัฒนาวิทยาศาสตร์ในหมู่ประชาชนในสมัยนั้น ในที่สุดก็พบผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณตั้งแต่ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสตกาล พวกเขาอธิบายวิธีการที่ใช้อินทิกรัลไม่แน่นอนซึ่งสาระสำคัญคือการหาปริมาตรหรือพื้นที่ของรูปโค้ง (สามมิติและระนาบสองมิติตามลำดับ) หลักการคำนวณอยู่บนพื้นฐานของการแบ่งตัวเลขเดิมออกเป็นส่วนย่อย โดยจะต้องทราบปริมาตร (พื้นที่) อยู่แล้ว เมื่อเวลาผ่านไป วิธีการนี้ได้เติบโตขึ้น อาร์คิมิดีสใช้มันเพื่อค้นหาพื้นที่ของพาราโบลา นักวิทยาศาสตร์ในจีนโบราณทำการคำนวณที่คล้ายกันในเวลาเดียวกัน และพวกเขาก็ไม่ขึ้นอยู่กับวิทยาศาสตร์ในภาษากรีกเลย

การพัฒนา

ความก้าวหน้าครั้งต่อไปในศตวรรษที่ 11 เป็นผลงานของนักวิทยาศาสตร์อาหรับ Abu Ali al-Basri นักวิทยาศาสตร์อาหรับ ผู้ก้าวข้ามขอบเขตของสิ่งที่รู้อยู่แล้ว ได้สูตรมาจากอินทิกรัลสำหรับการคำนวณผลรวม ของแถวและผลรวมของยกกำลังจากที่หนึ่งถึงที่สี่ วิธีนี้เป็นวิธีที่เรารู้จักในการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

จิตใจในยุคปัจจุบันชื่นชมว่าชาวอียิปต์โบราณสร้างอนุสรณ์สถานทางสถาปัตยกรรมที่น่าทึ่งโดยไม่ต้องใช้อุปกรณ์พิเศษใด ๆ ยกเว้นบางทีมือของพวกเขา แต่พลังของจิตใจของนักวิทยาศาสตร์ในสมัยนั้นไม่ปาฏิหาริย์แม้แต่น้อย? เมื่อเทียบกับวันนี้ ชีวิตของพวกมันดูเหมือนเกือบจะเป็นแบบดั้งเดิม แต่คำตอบของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนเกิดขึ้นทุกที่และนำไปใช้ในทางปฏิบัติเพื่อการพัฒนาต่อไป

ขั้นตอนต่อไปเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 16 เมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Cavalieri พัฒนาวิธีการแบ่งแยกไม่ออก ซึ่ง Pierre Fermat หยิบขึ้นมา บุคลิกทั้งสองนี้เป็นรากฐานสำหรับแคลคูลัสอินทิกรัลสมัยใหม่ ซึ่งเป็นที่รู้จักในขณะนี้ พวกเขาเชื่อมโยงแนวคิดของการสร้างความแตกต่างและการบูรณาการซึ่งก่อนหน้านี้ถือว่าเป็นหน่วยอิสระ โดยทั่วไปแล้ว คณิตศาสตร์ในสมัยนั้นกระจัดกระจาย อนุภาคของข้อสรุปก็มีอยู่ด้วยตัวมันเอง โดยมีขอบเขตจำกัด เส้นทางแห่งการรวมเป็นหนึ่งและการค้นหาจุดร่วมเป็นเพียงเส้นทางเดียวที่แท้จริงในขณะนั้น ต้องขอบคุณการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ที่ช่วยให้มีโอกาสเติบโตและพัฒนา

ทุกอย่างเปลี่ยนไปตามกาลเวลา รวมถึงสัญกรณ์ของอินทิกรัลด้วย โดยทั่วไปแล้ว นักวิทยาศาสตร์ระบุว่าไม่ว่าอย่างไรก็ตาม ตัวอย่างเช่น Newton ใช้ไอคอนสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งเขาวางฟังก์ชันที่รวมเข้าด้วยกันหรือเพียงแค่วางไว้ข้างๆ

ความไม่ลงรอยกันนี้ดำเนินต่อไปจนถึงศตวรรษที่ 17 เมื่อนักวิทยาศาสตร์ Gottfried Leibniz ซึ่งเป็นจุดสังเกตของทฤษฎีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด ได้แนะนำสัญลักษณ์ที่เราคุ้นเคย ตัว "S" แบบยาวนั้นมาจากตัวอักษรละตินตัวนี้จริงๆ เนื่องจากมันแสดงถึงผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ อินทิกรัลได้ชื่อมาจากจาค็อบ เบอร์นูลลี 15 ปีต่อมา

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ

อินทิกรัลไม่จำกัดโดยตรงขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ ดังนั้นมาพิจารณากันก่อน

แอนติเดริเวทีฟคือฟังก์ชันที่ผกผันของอนุพันธ์ ในทางปฏิบัติเรียกอีกอย่างว่า primitive มิฉะนั้น แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน d คือฟังก์ชัน D ที่มีอนุพันธ์เท่ากับ v V'=v การค้นหาแอนติเดริเวทีฟคือการคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด และกระบวนการนี้เรียกว่าอินทิกรัล

ตัวอย่าง:

ฟังก์ชัน s(y)=y³ และแอนติเดริเวทีฟของ S(y)=(y^4/4)

เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาคืออินทิกรัลไม่จำกัด ซึ่งแสดงดังนี้: ∫v(x)dx.

เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า V(x) เป็นเพียงแอนติเดริเวทีฟบางตัวของฟังก์ชันดั้งเดิม นิพจน์จึงเกิดขึ้น: ∫v(x)dx=V(x) + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่ ค่าคงที่ตามอำเภอใจคือค่าคงที่ใดๆ เนื่องจากอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์

คุณสมบัติ

คุณสมบัติที่มีอินทิกรัลไม่จำกัดกำหนดตามคำจำกัดความหลักและคุณสมบัติของอนุพันธ์

ดูจุดสำคัญ:

• อินทิกรัลจากอนุพันธ์ของแอนติเดริเวทีฟคือแอนติเดริเวทีฟเองบวกกับค่าคงที่ตามอำเภอใจ С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
• อนุพันธ์ของอินทิกรัลฟังก์ชันคือฟังก์ชันดั้งเดิม (∫v(x)dx)'=v(x);
• ค่าคงที่ถูกนำออกมาจากใต้เครื่องหมายอินทิกรัล ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx โดยที่ k เป็นค่าปกติ
• อินทิกรัลที่นำมาจากผลรวมนั้นเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.

จากคุณสมบัติสองประการสุดท้าย เราสามารถสรุปได้ว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด เป็นเชิงเส้น ด้วยเหตุนี้ เราจึงมี: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.

ในการรวม ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้อินทิกรัลไม่จำกัด

จำเป็นต้องหาอินทิกรัล ∫(3sinx + 4cosx)dx:

∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C

จากตัวอย่าง เราสามารถสรุปได้ว่า:ไม่รู้ว่าจะแก้อินทิกรัลไม่จำกัดได้อย่างไร? เพียงแค่ค้นหาพื้นฐานทั้งหมด! แต่หลักการค้นหาจะพิจารณาด้านล่าง

วิธีการและตัวอย่าง

ในการแก้อินทิกรัล คุณสามารถใช้วิธีต่อไปนี้:

• ใช้โต๊ะที่เตรียมไว้;
• รวมเข้าด้วยกัน;
• รวมโดยการเปลี่ยนตัวแปร
• นำใต้เครื่องหมายเฟืองท้าย

โต๊ะ

วิธีที่ง่ายและสนุกที่สุด ในขณะนี้ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มีตารางที่ค่อนข้างกว้างขวางซึ่งมีการเขียนสูตรพื้นฐานของอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวน กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีเทมเพลตที่ได้รับการพัฒนาต่อหน้าคุณ และสำหรับคุณ มันยังคงเป็นเพียงการใช้งานเท่านั้น นี่คือรายการตำแหน่งตารางหลักที่คุณสามารถหาตัวอย่างเกือบทั้งหมดที่มีวิธีแก้ปัญหาได้:

• ∫0dy=C โดยที่ C เป็นค่าคงที่
• ∫dy=y + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่
• ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่และ n - ไม่ใช่หนึ่งหมายเลข;
• ∫(1/y)dy=ln|y| + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่
• ∫e^ydy=ey ^{+ C โดยที่ C เป็นค่าคงที่}
• ∫k^ydy=(k^{y/ln k) + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่}
• ∫cosydy=siny + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่
• ∫sinydy=-cosy + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่
• ∫dy/cos2y=tgy + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่
• ∫dy/sin2y=-ctgy + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่
• ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่
• ∫chydy=ขี้อาย + C โดยที่ C -ค่าคงที่
• ∫shydy=chy + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่

ถ้าจำเป็น ทำตามขั้นตอนสองสามขั้นตอน นำอินทิกรัลมาอยู่ในรูปแบบตารางและสนุกกับชัยชนะ ตัวอย่าง: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.

ตามวิธีแก้ปัญหา เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับตัวอย่างตาราง อินทิกรัลไม่มีตัวประกอบของ 5 เราบวกมันเข้าไปคูณมันด้วย 1/5 ในแบบคู่ขนานเพื่อให้นิพจน์ทั่วไปไม่เปลี่ยนแปลง

บูรณาการตามส่วนต่างๆ

พิจารณาสองฟังก์ชัน - z(y) และ x(y) ต้องมีความแตกต่างกันอย่างต่อเนื่องทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ตามคุณสมบัติการแยกความแตกต่าง เรามี: d(xz)=xdz + zdx เมื่อรวมสมการทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน เราจะได้ ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.

เขียนผลลัพธ์ความเท่าเทียมกัน เราได้รับสูตรที่อธิบายวิธีการรวมตามส่วนต่างๆ: ∫zdx=zx - ∫xdz.

ทำไมต้อง? ประเด็นก็คือ ตัวอย่างบางตัวอย่างสามารถทำให้ง่ายขึ้น พูดแบบมีเงื่อนไข ลด ∫zdx เป็น ∫xdz หากหลังอยู่ใกล้กับรูปแบบตาราง นอกจากนี้ สูตรนี้สามารถใช้ได้มากกว่าหนึ่งครั้งเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด

วิธีแก้อินทิกรัลไม่จำกัดด้วยวิธีนี้:

จำเป็นต้องคำนวณ ∫(s + 1)e2sds

∫(x + 1)e^2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e^2s, dy=e^2xds}=((s+1)e^2s) / 2-1 / 2∫e^2s dx=((s+1)e^2s) / 2-e^2s/4+ C;

ต้องคำนวณ ∫lnsds

∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.

การแทนที่ตัวแปร

หลักการแก้อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนนี้มีความต้องการไม่น้อยไปกว่าสองข้อก่อนหน้านี้ แม้ว่ามันจะซับซ้อนกว่าก็ตาม วิธีการมีดังนี้ ให้ V(x) เป็นอินทิกรัลของฟังก์ชัน v(x) ในกรณีที่อินทิกรัลในตัวอย่างที่ดูเหมือนซับซ้อน มีความเป็นไปได้สูงที่จะสับสนและใช้เส้นทางการแก้ปัญหาที่ผิด เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ จึงมีการฝึกเปลี่ยนจากตัวแปร x เป็น z ซึ่งนิพจน์ทั่วไปจะลดความซับซ้อนของการมองเห็นในขณะที่ยังคงพึ่งพา z บน x

ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่านี้: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y^{-1(x)) โดยที่ x=y(z) คือการแทนที่ และแน่นอน ฟังก์ชันผกผัน z=y}-1^{(x) อธิบายการพึ่งพาและความสัมพันธ์ของตัวแปรอย่างเต็มที่ หมายเหตุสำคัญ - ค่าดิฟเฟอเรนเชียล dx จำเป็นต้องถูกแทนที่ด้วยดิฟเฟอเรนเชียล dz ใหม่ เนื่องจากการแทนที่ตัวแปรในอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนหมายถึงการแทนที่ทุกที่ ไม่ใช่แค่ในอินทิกรัลเท่านั้น}

ตัวอย่าง:

ต้องการหา ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds

ใช้การแทนที่ z=(s+1)/(s2+2s-5). จากนั้น dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2 เป็นผลให้เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้ซึ่งง่ายต่อการคำนวณ:

∫(s+1)/(s²+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s^2+2s-5|+C;

ต้องหาอินทิกรัล∫2^se^sdx

ในการแก้ปัญหา เราเขียนนิพจน์ใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

∫2^se^sds=∫(2e)^sds.

แสดงโดย a=2e (ขั้นตอนนี้ไม่ใช่การแทนที่อาร์กิวเมนต์ แต่ยังคงเป็น s) เรานำอินทิกรัลที่ดูเหมือนซับซ้อนของเรามาสู่รูปแบบตารางเบื้องต้น:

∫(2e)^sds=∫a^sds=a^s / lna + C=(2e)^s / ln(2e) + C=2^se^s / ln(2 + lne) + C=2^se^{s / (ln2 + 1) + C.}

นำใต้เครื่องหมายเฟืองท้าย

โดยมาก วิธีการของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนนี้เป็นพี่น้องฝาแฝดของหลักการการเปลี่ยนแปลงตัวแปร แต่มีความแตกต่างในกระบวนการออกแบบ มาดูกันดีกว่า

ถ้า ∫v(x)dx=V(x) + C และ y=z(x) แล้ว ∫v(y)dy=V(y) + C.

ในกรณีนี้ เราไม่ควรลืมการแปลงอินทิกรัลเล็กน้อย ซึ่งได้แก่:

• dx=d(x + a) โดยที่ a เป็นค่าคงที่ใดๆ
• dx=(1 / a)d(ax + b) โดยที่ a เป็นค่าคงที่อีกครั้ง แต่ไม่เท่ากับศูนย์
• xdx=1/2d(x2 + b);
• sinxdx=-d(cosx);
• cosxdx=d(sinx).

ถ้าเราพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อเราคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด ตัวอย่างสามารถสรุปได้ภายใต้สูตรทั่วไป w'(x)dx=dw(x).

ตัวอย่าง:

ต้องการหา ∫(2s + 3)²ds, ds=1/2d(2s + 3)

∫(2s + 3)²ds=1/2∫(2s + 3)²d(2s + 3)=(1/2) x ((2 วินาที +3)²) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)^{2 + C;}

∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.

ความช่วยเหลือออนไลน์

ในบางกรณี ความผิดพลาดอาจเป็นความเกียจคร้านหรือความจำเป็นเร่งด่วน คุณสามารถใช้เคล็ดลับออนไลน์ หรือใช้เครื่องคิดเลขอินทิกรัลแบบไม่มีกำหนดก็ได้ แม้ว่าอินทิกรัลจะมีความซับซ้อนและมีข้อโต้แย้งได้อย่างชัดเจน แต่โซลูชันของอินทิกรัลก็อยู่ภายใต้อัลกอริธึมบางอย่าง ซึ่งมีพื้นฐานอยู่บนหลักการ "ถ้าไม่ใช่ … แล้ว …"

แน่นอน เครื่องคิดเลขดังกล่าวจะไม่เชี่ยวชาญในตัวอย่างที่ซับซ้อนโดยเฉพาะ เนื่องจากมีบางกรณีที่ต้องหาวิธีแก้ปัญหาแบบเทียม "บังคับ" แนะนำองค์ประกอบบางอย่างในกระบวนการ เนื่องจากผลลัพธ์ไม่สามารถทำได้อย่างชัดเจน วิธี แม้จะมีข้อโต้แย้งทั้งหมดของคำกล่าวนี้ แต่ก็เป็นความจริง เนื่องจากโดยหลักการแล้วคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงนามธรรม และถือว่าความจำเป็นในการขยายขอบเขตของความเป็นไปได้เป็นภารกิจหลัก อันที่จริง เป็นการยากมากที่จะเลื่อนขึ้นและพัฒนาตามทฤษฎีแบบรันอินที่ราบรื่น ดังนั้นคุณไม่ควรทึกทักเอาเองว่าตัวอย่างของการแก้อินทิกรัลไม่แน่นอนที่เราได้ให้ไว้คือความสูงของความเป็นไปได้ แต่กลับไปที่ด้านเทคนิคของสิ่งต่าง ๆ อย่างน้อยเพื่อตรวจสอบการคำนวณคุณสามารถใช้บริการที่ทุกอย่างเขียนต่อหน้าเรา หากมีความจำเป็นในการคำนวณนิพจน์ที่ซับซ้อนโดยอัตโนมัติ ก็ไม่สามารถละเว้นได้ คุณจะต้องหันไปใช้ซอฟต์แวร์ที่จริงจังกว่านี้ สิ่งสำคัญอันดับแรกคือต้องให้ความสนใจกับสภาพแวดล้อมของ MatLab

แอปพลิเคชัน

การแก้ปัญหาของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนในแวบแรกนั้นดูขัดกับความเป็นจริงโดยสิ้นเชิง เนื่องจากเป็นการยากที่จะมองเห็นขอบเขตการใช้งานที่ชัดเจน อันที่จริงไม่สามารถใช้ได้ทุกที่ แต่ถือเป็นองค์ประกอบกลางที่จำเป็นในกระบวนการหาวิธีแก้ปัญหาที่ใช้ในทางปฏิบัติ ดังนั้น การบูรณาการจึงตรงกันข้ามกับการสร้างความแตกต่าง เนื่องจากมันมีส่วนร่วมในกระบวนการแก้สมการอย่างแข็งขัน

ในทางกลับกัน สมการเหล่านี้มีผลโดยตรงต่อการแก้ปัญหาทางกล การคำนวณวิถีโคจรและค่าการนำความร้อน กล่าวโดยสรุป ทุกสิ่งที่ประกอบเป็นปัจจุบันและกำหนดอนาคต อินทิกรัลที่ไม่แน่นอน ตัวอย่างที่เราตรวจสอบข้างต้นนั้นดูเล็กน้อยในแวบแรกเท่านั้น เนื่องจากเป็นพื้นฐานสำหรับการค้นพบใหม่ๆ มากขึ้นเรื่อยๆ