ฟังก์ชันแคลคูลัสส่วนต่างของตัวแปรหนึ่งตัวและหลายตัวแปร

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

แคลคูลัสเป็นสาขาหนึ่งของแคลคูลัสที่ศึกษาอนุพันธ์ ดิฟเฟอเรนเชียล และการใช้งานในการศึกษาฟังก์ชัน

ประวัติการปรากฎ

แคลคูลัสดิฟเฟอเรนเชียลกลายเป็นระเบียบวินัยอิสระในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 17 ต้องขอบคุณงานของนิวตันและไลบนิซ ผู้สร้างบทบัญญัติพื้นฐานในแคลคูลัสของดิฟเฟอเรนเชียล และสังเกตเห็นความเชื่อมโยงระหว่างการรวมเข้ากับความแตกต่าง ตั้งแต่นั้นมา วินัยได้พัฒนาไปพร้อมกับแคลคูลัสของปริพันธ์ จึงเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การปรากฏตัวของแคลคูลัสเหล่านี้ได้เปิดศักราชใหม่ในโลกคณิตศาสตร์และทำให้เกิดสาขาใหม่ในวิทยาศาสตร์ นอกจากนี้ยังขยายความเป็นไปได้ของการใช้วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาติ

แนวคิดพื้นฐาน

แคลคูลัสส่วนต่างขึ้นอยู่กับแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ ได้แก่ จำนวนจริง ความต่อเนื่อง ฟังก์ชัน และขีดจำกัด เมื่อเวลาผ่านไป พวกมันก็ดูทันสมัยด้วยแคลคูลัสอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียล

ขั้นตอนการสร้าง

การก่อตัวของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบของการประยุกต์ จากนั้นจึงเกิดวิธีการทางวิทยาศาสตร์ขึ้นก่อนที่ทฤษฎีทางปรัชญาจะถือกำเนิดขึ้นโดยนิโคลัสแห่งคูซา ผลงานของเขาถือเป็นการพัฒนาเชิงวิวัฒนาการจากการตัดสินของวิทยาศาสตร์โบราณ แม้ว่าที่จริงแล้วปราชญ์เองจะไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ แต่การมีส่วนร่วมในการพัฒนาวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ของเขานั้นไม่อาจปฏิเสธได้ Kuzansky เป็นหนึ่งในคนกลุ่มแรกๆ ที่เลิกคิดว่าเลขคณิตเป็นสาขาวิทยาศาสตร์ที่แม่นยำที่สุด ซึ่งทำให้คณิตศาสตร์ในเวลานั้นเกิดความสงสัย

นักคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณใช้หน่วยนี้เป็นเกณฑ์สากล ในขณะที่ปราชญ์เสนอค่าอนันต์เป็นการวัดใหม่แทนที่จะเป็นจำนวนที่แน่นอน ในเรื่องนี้ การแทนค่าความแม่นยำในวิชาคณิตศาสตร์จะกลับด้าน ความรู้ทางวิทยาศาสตร์ตามเขาแบ่งออกเป็นเหตุผลและสติปัญญา นักวิทยาศาสตร์กล่าวว่าข้อที่สองนั้นแม่นยำกว่าเนื่องจากอันแรกให้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่านั้น

ไอเดีย

แนวคิดหลักและแนวคิดในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมพันธ์กับฟังก์ชันในย่านเล็กๆ ในบางจุด ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เพื่อศึกษาฟังก์ชันที่มีพฤติกรรมในบริเวณใกล้เคียงเล็กๆ ของจุดที่กำหนด ซึ่งใกล้เคียงกับพฤติกรรมของฟังก์ชันพหุนามหรือฟังก์ชันเชิงเส้น ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของอนุพันธ์และส่วนต่าง

ลักษณะที่ปรากฏของแนวคิดของอนุพันธ์เกิดจากปัญหาจำนวนมากจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและคณิตศาสตร์ซึ่งนำไปสู่การหาค่าลิมิตประเภทเดียวกัน

ปัญหาหลักอย่างหนึ่งที่ให้ไว้เป็นตัวอย่างตั้งแต่มัธยมศึกษาตอนปลายคือการกำหนดความเร็วของจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นตรงและสร้างเส้นสัมผัสของเส้นโค้งนี้ ดิฟเฟอเรนเชียลสัมพันธ์กับสิ่งนี้ เนื่องจากมันเป็นไปได้ที่จะประมาณฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงเล็กๆ ของจุดที่พิจารณาของฟังก์ชันเชิงเส้น

เมื่อเทียบกับแนวคิดของอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริง คำจำกัดความของดิฟเฟอเรนเชียลเพียงแค่ส่งผ่านไปยังฟังก์ชันที่มีลักษณะทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กับภาพของช่องว่างแบบยุคลิดหนึ่งบนอีกที่หนึ่ง

อนุพันธ์

ให้จุดเคลื่อนที่ไปในทิศทางของแกน Oy ในช่วงเวลาที่เราใช้ x ซึ่งนับจากจุดเริ่มต้นช่วงเวลาหนึ่ง การเคลื่อนที่ดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน y=f(x) ซึ่งกำหนดให้กับแต่ละช่วงเวลา x ของพิกัดของจุดที่กำลังเคลื่อนที่ ในกลศาสตร์ ฟังก์ชันนี้เรียกว่ากฎการเคลื่อนที่ ลักษณะสำคัญของการเคลื่อนไหว โดยเฉพาะความเร็วที่ไม่เท่ากันคือความเร็วชั่วขณะ เมื่อจุดเคลื่อนที่ไปตามแกน Oy ตามกฎของกลศาสตร์ จากนั้นในช่วงเวลาสุ่ม x จุดนั้นจะได้มาซึ่งพิกัด f (x) ในช่วงเวลา x + Δx โดยที่ Δx แสดงถึงการเพิ่มขึ้นของเวลา พิกัดของมันคือ f(x + Δx) นี่คือวิธีสร้างสูตร Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ซึ่งเรียกว่าการเพิ่มของฟังก์ชัน มันแสดงถึงเส้นทางที่เดินทางโดยจุดในเวลาจาก x ถึง x + Δx.

เนื่องจากการเกิดขึ้นของสิ่งนี้ความเร็ว ณ เวลาหนึ่ง มีการแนะนำอนุพันธ์ ในฟังก์ชันตามอำเภอใจ อนุพันธ์ที่จุดคงที่เรียกว่าลิมิต (สมมติว่ามีอยู่) สามารถกำหนดได้ด้วยสัญลักษณ์บางอย่าง:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

กระบวนการคำนวณอนุพันธ์เรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

วิธีแคลคูลัสนี้ใช้ในการตรวจสอบฟังก์ชันที่มีตัวแปรหลายตัว เมื่อมีตัวแปร x และ y สองตัว อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x ที่จุด A เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับ x ที่มีค่า y คงที่

สามารถแสดงด้วยอักขระต่อไปนี้:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x or ∂f(x, y)’/∂x.

ทักษะที่จำเป็น

ทักษะในการบูรณาการและการสร้างความแตกต่างจะต้องประสบความสำเร็จในการศึกษาและสามารถแก้ปัญหาการแพร่กระจาย เพื่อให้เข้าใจสมการอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้น คุณควรมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับหัวข้อของอนุพันธ์และอินทิกรัลไม่จำกัด นอกจากนี้ยังไม่เจ็บที่จะเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย เนื่องจากมักจะต้องใช้ในกระบวนการศึกษาอินทิกรัลและการแยกความแตกต่าง

ประเภทของสมการอนุพันธ์

ในเอกสารทดสอบเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง มีสมการ 3 ประเภท: เอกพันธ์ กับตัวแปรที่แยกออกได้ สมการเชิงเส้นไม่เท่ากัน

สมการยังมีหลากหลายรูปแบบที่หาได้ยาก: ด้วยอนุพันธ์ทั้งหมด สมการของเบอร์นูลลี และอื่นๆ

พื้นฐานการตัดสินใจ

อันดับแรก คุณควรจำสมการพีชคณิตจากหลักสูตรของโรงเรียน ประกอบด้วยตัวแปรและตัวเลข ในการแก้สมการธรรมดา คุณต้องหาชุดของตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด ตามกฎแล้ว สมการดังกล่าวมีหนึ่งรูท และเพื่อตรวจสอบความถูกต้อง สมการดังกล่าวมีเพียงการแทนที่ค่านี้ด้วยค่าที่ไม่รู้จัก

สมการอนุพันธ์จะประมาณนี้ โดยทั่วไป สมการอันดับหนึ่งดังกล่าวรวมถึง:

• ตัวแปรอิสระ
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันแรก
• ฟังก์ชันหรือตัวแปรตาม

ในบางกรณี ค่าที่ไม่ทราบค่า x หรือ y ตัวใดตัวหนึ่งอาจหายไป แต่สิ่งนี้ไม่สำคัญนัก เนื่องจากการมีอยู่ของอนุพันธ์อันดับ 1 ที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับสูงกว่า จำเป็นสำหรับโซลูชันและดิฟเฟอเรนเชียล แคลคูลัสให้ถูกต้อง

การแก้สมการอนุพันธ์หมายถึงการหาชุดของฟังก์ชันทั้งหมดที่ตรงกับนิพจน์ที่กำหนด ชุดของฟังก์ชันดังกล่าวมักเรียกว่าโซลูชันทั่วไปของ DE

แคลคูลัสปริพันธ์

แคลคูลัสเชิงบูรณาการเป็นส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาแนวคิดของปริพันธ์ คุณสมบัติ และวิธีการคำนวณ

บ่อยครั้งที่การคำนวณอินทิกรัลเกิดขึ้นเมื่อคำนวณพื้นที่ของรูปโค้ง พื้นที่นี้หมายถึงขีด จำกัด ที่พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้ในรูปที่กำหนดมีแนวโน้มเพิ่มขึ้นทีละน้อยในด้านของมันในขณะที่ด้านเหล่านี้สามารถทำได้น้อยกว่าที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้โดยพลการค่าเล็กน้อย

แนวคิดหลักในการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตโดยพลการคือการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมนั่นคือเพื่อพิสูจน์ว่าพื้นที่ของมันเท่ากับผลคูณของความยาวและความกว้าง เมื่อพูดถึงเรขาคณิต โครงสร้างทั้งหมดสร้างขึ้นโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ จากนั้นอัตราส่วนของความยาวต่อความกว้างจะเป็นค่าตรรกยะ เมื่อคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถระบุได้ว่าหากคุณวางสามเหลี่ยมเดียวกันไว้ข้างๆ ก็จะเกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขึ้น ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่คำนวณโดยวิธีที่คล้ายกัน แต่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ผ่านสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยม ในรูปหลายเหลี่ยม พื้นที่คำนวณจากสามเหลี่ยมที่รวมอยู่ในนั้น

เมื่อกำหนดความประหยัดของเส้นโค้งตามอำเภอใจ วิธีนี้จะไม่ทำงาน หากคุณแบ่งมันออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดี่ยวจะมีที่ที่ไม่ได้บรรจุ ในกรณีนี้ หนึ่งพยายามใช้สองปก โดยมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ด้านบนและด้านล่าง ดังนั้นจึงรวมกราฟของฟังก์ชันและไม่ใช้ วิธีการแบ่งพาร์ติชั่นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้ยังคงมีความสำคัญที่นี่ นอกจากนี้ หากเราใช้พาร์ติชั่นที่มีขนาดเล็กลงเรื่อยๆ พื้นที่ด้านบนและด้านล่างควรมาบรรจบกันที่ค่าหนึ่ง

ควรกลับไปที่วิธีการหารเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มี 2 วิธียอดนิยม

Riemann กำหนดนิยามของอินทิกรัลที่สร้างโดย Leibniz และ Newton ให้เป็นพื้นที่ของกราฟย่อย ในกรณีนี้ พิจารณาตัวเลขซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมแนวตั้งจำนวนหนึ่งและได้จากการหารส่วน เมื่อพาร์ติชั่นลดลง มีขีดจำกัดที่พื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันลดลง ขีดจำกัดนี้เรียกว่าอินทิกรัล Riemann ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

วิธีที่สองคือการสร้างอินทิกรัล Lebesgue ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าสำหรับสถานที่แบ่งพื้นที่ที่กำหนดออกเป็นส่วน ๆ ของจำนวนเต็มแล้วรวบรวมผลรวมอินทิกรัลจากค่าที่ได้รับในส่วนเหล่านี้ ช่วงของค่าจะถูกแบ่งออกเป็นช่วงเวลา แล้วสรุปด้วยการวัดพรีอิมเมจที่สอดคล้องกันของอินทิกรัลเหล่านี้

ประโยชน์สมัยใหม่

หนึ่งในคู่มือหลักสำหรับการศึกษาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์เขียนโดย Fikhtengolts - "หลักสูตรของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์" หนังสือเรียนของเขาเป็นแนวทางพื้นฐานในการศึกษาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งได้ผ่านรุ่นต่างๆ และการแปลเป็นภาษาอื่นๆ มามากมาย สร้างขึ้นสำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัยและถูกใช้ในสถาบันการศึกษาหลายแห่งมาอย่างยาวนานในฐานะหนึ่งในสื่อช่วยในการศึกษาหลัก ให้ข้อมูลเชิงทฤษฎีและทักษะการปฏิบัติ ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2491

อัลกอริธึมการวิจัยฟังก์ชัน

ในการตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้วิธีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ คุณต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมที่ให้มา:

1. ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน
2. หารากของสมการที่กำหนด
3. คำนวณสุดขั้ว. ในการทำเช่นนี้ ให้คำนวณอนุพันธ์และจุดที่เท่ากับศูนย์
4. แทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการ

ตัวแปรของสมการอนุพันธ์

การควบคุมลำดับแรก (มิฉะนั้น ดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัสตัวแปรเดียว) และประเภท:

• สมการที่แยกออกได้: f(y)dy=g(x)dx.
• สมการที่ง่ายที่สุดหรือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยมีสูตรคือ y'=f(x).
• ลำดับแรกเชิงเส้นที่ไม่เท่ากัน DE: y'+P(x)y=Q(x).
• สมการอนุพันธ์เบอร์นูลลี: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• สมการที่มีส่วนต่างทั้งหมด: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

สมการอนุพันธ์อันดับสองและประเภท:

• สมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นอันดับสองเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่: y +py'+qy=0 p, q เป็นของ R
• สมการอนุพันธ์อันดับสองเชิงเส้นที่ไม่เท่ากันพร้อมสัมประสิทธิ์คงที่: y +py'+qy=f(x).
• สมการอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์: y +p(x)y'+q(x)y=0, และสมการลำดับที่สองที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

สมการอนุพันธ์อันดับสูงและประเภท:

• สมการดิฟเฟอเรนเชียลที่ลดได้ตามลำดับ: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• สมการเอกพันธ์ลำดับที่สูงกว่าเชิงเส้น: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, และไม่เหมือนกัน: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

ขั้นตอนในการแก้ปัญหาด้วยสมการเชิงอนุพันธ์

ด้วยความช่วยเหลือของรีโมทคอนโทรล ไม่เพียงแต่จะแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงปัญหาต่างๆ จากชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ สังคมวิทยา ฯลฯ แม้จะมีหัวข้อที่หลากหลาย แต่ก็ควรยึดตามลำดับตรรกะเดียวเมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว:

1. รวบรวมรีโมทคอนโทรล ขั้นตอนที่ยากที่สุดขั้นตอนหนึ่งที่ต้องใช้ความแม่นยำสูงสุด เนื่องจากความผิดพลาดใดๆ จะทำให้ผลลัพธ์ผิดพลาดโดยสิ้นเชิง ควรคำนึงถึงปัจจัยทั้งหมดที่มีอิทธิพลต่อกระบวนการและควรกำหนดเงื่อนไขเบื้องต้น นอกจากนี้ยังควรอยู่บนพื้นฐานของข้อเท็จจริงและข้อสรุปเชิงตรรกะ
2. คำตอบของสมการที่กำหนด กระบวนการนี้ง่ายกว่าขั้นตอนแรก เนื่องจากต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดเท่านั้น
3. วิเคราะห์และประเมินผล วิธีแก้ปัญหาที่ได้รับควรได้รับการประเมินเพื่อสร้างมูลค่าเชิงปฏิบัติและเชิงทฤษฎีของผลลัพธ์

ตัวอย่างการใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในยา

การใช้รีโมทคอนโทรลในด้านการแพทย์เกิดขึ้นเมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทางระบาดวิทยา ในขณะเดียวกัน เราก็ไม่ควรลืมว่าสมการเหล่านี้ยังพบได้ในชีววิทยาและเคมี ซึ่งใกล้เคียงกับการแพทย์ เนื่องจากการศึกษาประชากรทางชีววิทยาต่างๆ และกระบวนการทางเคมีในร่างกายมนุษย์มีบทบาทสำคัญในนั้น

ในตัวอย่างข้างต้นของการแพร่ระบาด เราสามารถพิจารณาการแพร่กระจายของการติดเชื้อในสังคมที่โดดเดี่ยว ผู้อยู่อาศัยแบ่งออกเป็นสามประเภท:

• ติดเชื้อ เบอร์ x(t) ประกอบด้วยบุคคล พาหะของเชื้อ ซึ่งแต่ละรายเป็นโรคติดต่อ (ระยะฟักตัวสั้น)
• แบบที่สองรวมบุคคลที่อ่อนแอ y(t) สามารถติดเชื้อผ่านการติดต่อกับบุคคลที่ติดเชื้อ
• สายพันธุ์ที่สามรวมถึงบุคคลที่มีภูมิคุ้มกัน z(t) ที่มีภูมิคุ้มกันหรือเสียชีวิตเนื่องจากโรค

จำนวนคนคงที่ ไม่นับการเกิด การตายตามธรรมชาติ และการย้ายถิ่น แกนกลางจะมีสองสมมติฐาน

เปอร์เซ็นต์ของอุบัติการณ์ ณ จุดเวลาหนึ่งคือ x(t)y(t) (ตามทฤษฎีที่ว่าจำนวนเคสเป็นสัดส่วนกับจำนวนทางแยกระหว่างผู้ป่วยกับผู้ป่วยที่อ่อนแอ ซึ่งในตอนแรก การประมาณจะเป็นสัดส่วนกับ x(t)y(t)) ซึ่งเกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ จำนวนกรณีเพิ่มขึ้น และจำนวนการลดลงที่อ่อนไหวในอัตราที่คำนวณโดยสูตร ax(t)y(t) (> 0).

จำนวนบุคคลที่มีภูมิคุ้มกันที่มีภูมิคุ้มกันหรือเสียชีวิตเพิ่มขึ้นในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับจำนวนผู้ป่วย bx(t) (b > 0)

ด้วยเหตุนี้ คุณสามารถสร้างระบบสมการโดยคำนึงถึงตัวบ่งชี้ทั้งสามตัวและหาข้อสรุปจากมันได้

ตัวอย่างเศรษฐศาสตร์

แคลคูลัสส่วนต่างมักใช้ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ งานหลักในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์คือการศึกษาปริมาณจากระบบเศรษฐกิจ ซึ่งเขียนในรูปของฟังก์ชัน ใช้เมื่อแก้ไขปัญหา เช่น การเปลี่ยนแปลงของรายได้ทันทีหลังจากการเพิ่มภาษี การแนะนำหน้าที่ การเปลี่ยนแปลงในรายได้ของบริษัทเมื่อต้นทุนการผลิตเปลี่ยนแปลง พนักงานที่เกษียณอายุแล้วสามารถเปลี่ยนอุปกรณ์ใหม่ได้ในสัดส่วนเท่าใด เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวมีความจำเป็นสร้างฟังก์ชันการเชื่อมต่อจากตัวแปรอินพุต ซึ่งทำการศึกษาโดยใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

ในด้านเศรษฐกิจ มักจำเป็นต้องค้นหาตัวชี้วัดที่เหมาะสมที่สุด: ผลิตภาพแรงงานสูงสุด รายได้สูงสุด ต้นทุนต่ำที่สุด และอื่น ๆ ตัวบ่งชี้แต่ละตัวนั้นเป็นหน้าที่ของอาร์กิวเมนต์ตั้งแต่หนึ่งข้อขึ้นไป ตัวอย่างเช่น การผลิตสามารถมองได้ว่าเป็นหน้าที่ของแรงงานและปัจจัยการผลิต ในเรื่องนี้ การค้นหาค่าที่เหมาะสมสามารถลดลงเป็นการหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันจากตัวแปรตั้งแต่ 1 ตัวขึ้นไป

ปัญหาประเภทนี้สร้างกลุ่มของปัญหาสุดโต่งในสาขาเศรษฐกิจ ซึ่งการแก้ปัญหาต้องใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เมื่อจำเป็นต้องย่อหรือขยายตัวบ่งชี้ทางเศรษฐกิจให้เป็นฟังก์ชันของตัวบ่งชี้อื่น จากนั้นที่จุดสูงสุด อัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่ออาร์กิวเมนต์จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์หากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ มิฉะนั้น เมื่ออัตราส่วนดังกล่าวมีแนวโน้มเป็นค่าบวกหรือค่าลบ จุดที่ระบุไม่เหมาะสม เนื่องจากการเพิ่มหรือลดอาร์กิวเมนต์ คุณสามารถเปลี่ยนค่าที่ขึ้นต่อกันในทิศทางที่ต้องการได้ ในศัพท์เฉพาะของดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส นี่จะหมายความว่าเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือค่าศูนย์ของอนุพันธ์ของอนุพันธ์

ในทางเศรษฐศาสตร์ มักมีปัญหาในการค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชันที่มีตัวแปรหลายตัว เนื่องจากตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจประกอบด้วยปัจจัยหลายอย่าง คำถามแบบนี้ก็ดีศึกษาในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวโดยใช้วิธีการคำนวณเชิงอนุพันธ์ ปัญหาดังกล่าวไม่เพียงแต่รวมถึงฟังก์ชันขยายใหญ่สุดและย่อเล็กสุดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อจำกัดด้วย คำถามดังกล่าวเกี่ยวข้องกับการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ และพวกเขาได้รับการแก้ไขด้วยความช่วยเหลือของวิธีการที่พัฒนาขึ้นเป็นพิเศษ ซึ่งอิงตามสาขาของวิทยาศาสตร์นี้ด้วย

ในวิธีการคำนวณเชิงอนุพันธ์ที่ใช้ในเศรษฐศาสตร์ ส่วนที่มีความสำคัญคือการวิเคราะห์ส่วนเพิ่ม ในด้านเศรษฐกิจ คำนี้หมายถึงชุดของวิธีการศึกษาตัวบ่งชี้ตัวแปรและผลลัพธ์เมื่อเปลี่ยนปริมาณการสร้าง การบริโภค โดยอิงจากการวิเคราะห์ตัวบ่งชี้ส่วนเพิ่ม ตัวบ่งชี้การจำกัดคืออนุพันธ์หรืออนุพันธ์บางส่วนที่มีตัวแปรหลายตัว

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของตัวแปรหลายตัวเป็นหัวข้อที่สำคัญในด้านการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ สำหรับการศึกษาอย่างละเอียด คุณสามารถใช้หนังสือเรียนที่หลากหลายเพื่อการศึกษาระดับอุดมศึกษา หนึ่งในที่มีชื่อเสียงที่สุดถูกสร้างขึ้นโดย Fikhtengolts - "หลักสูตรของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์" ตามชื่อที่บ่งบอก ทักษะในการทำงานกับปริพันธ์มีความสำคัญมากสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ เมื่อแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งเกิดขึ้น การแก้ปัญหาจะง่ายขึ้น แม้ว่าควรสังเกต แต่ก็อยู่ภายใต้กฎพื้นฐานเดียวกัน เพื่อศึกษาฟังก์ชันในทางปฏิบัติด้วยแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ก็เพียงพอแล้วที่จะปฏิบัติตามอัลกอริทึมที่มีอยู่แล้ว ซึ่งได้รับในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายและซับซ้อนเพียงเล็กน้อยเมื่อมีการแนะนำอัลกอริทึมใหม่ตัวแปร