วิธีการกำหนดสมการของเส้นตรงในระนาบและในปริภูมิสามมิติ

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

เส้นตรงคือวัตถุเรขาคณิตหลักบนระนาบและในปริภูมิสามมิติ มันมาจากเส้นตรงที่สร้างตัวเลขจำนวนมาก เช่น สี่เหลี่ยมด้านขนาน สามเหลี่ยม ปริซึม พีระมิด และอื่นๆ พิจารณาในบทความ วิธีต่างๆ ในการตั้งสมการของเส้น

นิยามของเส้นตรงและประเภทของสมการเพื่ออธิบาย

นักเรียนแต่ละคนมีความคิดที่ดีว่าพวกเขากำลังพูดถึงวัตถุเรขาคณิตอะไร เส้นตรงสามารถแสดงเป็นชุดของจุดได้ และหากเราเชื่อมต่อแต่ละจุดเข้าด้วยกันกับจุดอื่นๆ ทั้งหมด เราก็จะได้ชุดของเวกเตอร์คู่ขนาน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นไปได้ที่จะไปยังแต่ละจุดของเส้นตรงจากจุดคงที่จุดใดจุดหนึ่ง ถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์หน่วยบางตัวคูณด้วยจำนวนจริง คำจำกัดความของเส้นตรงนี้ใช้เพื่อกำหนดความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สำหรับคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ทั้งในระนาบและในปริภูมิสามมิติ

เส้นตรงสามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้ด้วยสมการประเภทต่อไปนี้:

ทั่วไป;
เวกเตอร์;
พาราเมตริก
ในเซ็กเมนต์;
สมมาตร (บัญญัติ).

ต่อไป เราจะพิจารณาชื่อประเภททั้งหมดและแสดงวิธีการทำงานกับพวกเขาโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหา

คำอธิบายเวกเตอร์และพารามิเตอร์ของเส้นตรง

เริ่มต้นด้วยการกำหนดเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ที่รู้จัก สมมติว่ามีจุดคงที่ในช่องว่าง M(x₀; y₀; z_{0) เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นตรงลากผ่านและชี้ไปตามเซกเมนต์เวกเตอร์ v¯(a; b; c) จะหาจุดใดของเส้นตรงจากข้อมูลเหล่านี้ได้อย่างไร? คำตอบสำหรับคำถามนี้จะให้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

โดยที่ λ คือตัวเลขใดๆ

นิพจน์ที่คล้ายกันสามารถเขียนสำหรับกรณีสองมิติ โดยที่พิกัดของเวกเตอร์และจุดแสดงด้วยชุดตัวเลขสองตัว:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

สมการที่เขียนเรียกว่าสมการเวกเตอร์ และส่วนกำกับ v¯ เองคือเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นตรง

จากนิพจน์ที่เขียน จะได้สมการพาราเมทริกที่สอดคล้องกัน เพียงพอที่จะเขียนใหม่ให้ชัดเจน ตัวอย่างเช่น สำหรับกรณีในอวกาศ เราได้สมการต่อไปนี้:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

มันสะดวกที่จะทำงานกับสมการพาราเมทริก หากคุณต้องการวิเคราะห์พฤติกรรมแต่ละพิกัด. โปรดทราบว่าแม้ว่าพารามิเตอร์ λ จะใช้ค่าใดก็ได้ แต่ต้องเท่ากันในค่าเท่ากันทั้งสาม

สมการทั่วไป

วิธีกำหนดเส้นตรงอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งมักใช้เพื่อทำงานกับวัตถุเรขาคณิตที่พิจารณา คือ การใช้สมการทั่วไป สำหรับกรณีสองมิติ ดูเหมือนว่า:

Ax + By + C=0

ที่นี่ อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่แสดงถึงค่าตัวเลขเฉพาะ ความสะดวกของความเท่าเทียมกันนี้ในการแก้ปัญหาอยู่ที่ว่ามันประกอบด้วยเวกเตอร์ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรงอย่างชัดเจน หากเราแทนด้วย n¯ เราก็สามารถเขียนว่า:

n¯=[A; B]

นอกจากนี้ยังสะดวกที่จะใช้นิพจน์เพื่อกำหนดระยะทางจากเส้นตรงไปยังจุดใดจุดหนึ่ง P(x₁; y_{1). สูตรสำหรับระยะทาง d คือ:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าถ้าเราแสดงตัวแปร y อย่างชัดเจนจากสมการทั่วไป เราจะได้รูปแบบการเขียนเส้นตรงที่เป็นที่รู้จักกันดีดังต่อไปนี้:

y=kx + b

โดยที่ k และ b ถูกกำหนดโดยตัวเลข A, B, C.

สมการในกลุ่มและมาตรฐาน

สมการในเซ็กเมนต์นั้นหาได้ง่ายที่สุดจากมุมมองทั่วไป เราจะแสดงวิธีการทำ

สมมติว่าเรามีบรรทัดต่อไปนี้:

Ax + By + C=0

เลื่อนเทอมอิสระไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน จากนั้นหารสมการทั้งหมดด้วยมัน เราจะได้:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1 โดยที่ q=-C / A, p=-C / B

เราได้สมการที่เรียกว่าเซกเมนต์ ได้ชื่อมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวส่วนโดยที่แต่ละตัวแปรถูกแบ่งออกจะแสดงค่าของพิกัดของจุดตัดของเส้นที่มีแกนที่สอดคล้องกัน สะดวกในการใช้ข้อเท็จจริงนี้เพื่อแสดงเส้นตรงในระบบพิกัด ตลอดจนวิเคราะห์ตำแหน่งสัมพัทธ์ที่สัมพันธ์กับวัตถุทางเรขาคณิตอื่นๆ (เส้นตรง จุด)

ตอนนี้ ไปต่อกันที่สมการบัญญัติกันเถอะ ทำได้ง่ายกว่าถ้าเราพิจารณาตัวเลือกพารามิเตอร์ สำหรับกรณีบนเครื่องบิน เรามี:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

เราแสดงพารามิเตอร์ λ ในแต่ละความเท่าเทียมกัน จากนั้นเราให้เท่ากัน เราได้รับ:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

นี่คือสมการที่ต้องการซึ่งเขียนในรูปแบบสมมาตร เช่นเดียวกับนิพจน์เวกเตอร์ มันมีพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางและพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งของเส้นอย่างชัดเจน

จะเห็นได้ว่าในย่อหน้านี้เราได้ให้สมการสำหรับกรณีสองมิติ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถเขียนสมการของเส้นตรงในช่องว่าง ควรสังเกตว่าถ้ารูปแบบบัญญัติบันทึกและนิพจน์ในส่วนต่างๆ จะมีรูปแบบเหมือนกัน จากนั้นสมการทั่วไปในช่องว่างสำหรับเส้นตรงจะแสดงด้วยระบบสมการสองสมการสำหรับระนาบที่ตัดกัน

ปัญหาการสร้างสมการเส้นตรง

จากเรขาคณิต นักเรียนทุกคนรู้ว่าคุณสามารถวาดเส้นเดียวได้สองจุด สมมติให้จุดต่อไปนี้อยู่ในระนาบพิกัด:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

จำเป็นต้องหาสมการของเส้นตรงที่จุดทั้งสองอยู่ในส่วน ในรูปแบบเวกเตอร์ รูปแบบบัญญัติและรูปแบบทั่วไป

หาสมการเวกเตอร์กันก่อน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้กำหนดเวกเตอร์ทิศทางตรง M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

ตอนนี้ คุณสามารถสร้างสมการเวกเตอร์โดยใช้จุดใดจุดหนึ่งจากสองจุดที่ระบุในคำสั่งปัญหา เช่น M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

เพื่อให้ได้สมการบัญญัติ ก็เพียงพอที่จะแปลงความเท่าเทียมกันที่พบให้อยู่ในรูปแบบพาราเมตริกและไม่รวมพารามิเตอร์ λ เรามี:

x=-1 - 2λ ดังนั้น λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ แล้วเราจะได้ λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

สมการสองสมการที่เหลือ (ทั่วไปและในกลุ่ม) สามารถพบได้จากสมการบัญญัติโดยแปลงเป็นดังนี้:

x + 1=-2y + 6;

สมการทั่วไป: x + 2y - 5=0;

ในสมการเซกเมนต์: x / 5 + y / 2, 5=1

สมการที่ได้แสดงว่าเวกเตอร์ (1; 2) ต้องตั้งฉากกับเส้น แน่นอน หากคุณพบผลคูณสเกลาร์ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง มันจะเท่ากับศูนย์ สมการส่วนของเส้นตรงบอกว่าเส้นตัดแกน x ที่ (5; 0) และแกน y ที่ (2, 5; 0)

ปัญหาการกำหนดจุดตัดของเส้น

เส้นตรงสองเส้นบนระนาบโดยสมการต่อไปนี้:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

จำเป็นต้องกำหนดพิกัดของจุดที่เส้นเหล่านี้ตัดกัน

มีสองวิธีในการแก้ปัญหา:

แปลงสมการเวกเตอร์ให้อยู่ในรูปแบบทั่วไป แล้วแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการ
อย่าทำการแปลงใดๆ แต่เพียงแทนที่พิกัดของจุดตัดที่แสดงผ่านพารามิเตอร์ λ ลงในสมการแรก แล้วหาค่าพารามิเตอร์

มาทำแบบที่สองกัน เรามี: