คุณสมบัติเฉพาะอย่างหนึ่งของคลื่นก็คือความสามารถในการเลี้ยวเบนบนสิ่งกีดขวาง ซึ่งมีขนาดเทียบได้กับความยาวคลื่นของคลื่นนี้ คุณสมบัตินี้ใช้ในตะแกรงเลี้ยวเบนแสงที่เรียกว่า มันคืออะไรและสามารถใช้วิเคราะห์สเปกตรัมการแผ่รังสีและการดูดซึมของวัสดุต่างๆ ได้อย่างไร ได้กล่าวถึงในบทความ
ปรากฏการณ์การเลี้ยวเบน
ปรากฏการณ์นี้ประกอบด้วยการเปลี่ยนวิถีของการแพร่กระจายเป็นเส้นตรงของคลื่นเมื่อมีอุปสรรคปรากฏขึ้นบนเส้นทางของมัน ต่างจากการหักเหและการสะท้อนกลับ การเลี้ยวเบนจะสังเกตเห็นได้เฉพาะในสิ่งกีดขวางขนาดเล็กมากเท่านั้น ซึ่งมิติทางเรขาคณิตนั้นอยู่ในลำดับของความยาวคลื่น การเลี้ยวเบนมีสองประเภท:
- คลื่นดัดรอบวัตถุเมื่อความยาวคลื่นมากกว่าขนาดของวัตถุนี้มาก
- กระเจิงของคลื่นเมื่อผ่านรูที่มีรูปทรงเรขาคณิตต่างกัน เมื่อขนาดของรูเล็กกว่าความยาวคลื่น
ปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนเป็นลักษณะเฉพาะของเสียง ทะเล และคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า นอกจากนี้ในบทความ เราจะพิจารณาการเลี้ยวเบนของตะแกรงสำหรับแสงเท่านั้น
ปรากฏการณ์แทรกแซง
รูปแบบการเลี้ยวเบนที่ปรากฏบนสิ่งกีดขวางต่างๆ (รูกลม ร่อง และตะแกรง) ไม่ได้เกิดจากการเลี้ยวเบนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการรบกวนด้วย สาระสำคัญของหลังคือการซ้อนทับของคลื่นซึ่งกันและกันซึ่งปล่อยออกมาจากแหล่งต่างๆ หากแหล่งกำเนิดเหล่านี้แผ่คลื่นในขณะที่ยังคงรักษาความแตกต่างของเฟส (คุณสมบัติของการเชื่อมโยงกัน) ก็จะสามารถสังเกตรูปแบบการรบกวนที่เสถียรได้ทันเวลา
ตำแหน่งของ maxima (พื้นที่สว่าง) และ minima (โซนมืด) มีคำอธิบายดังนี้: หากคลื่นสองคลื่นมาถึงจุดที่กำหนดในแอนติเฟส (คลื่นหนึ่งมีค่าสูงสุดและอีกคลื่นหนึ่งมีแอมพลิจูดสัมบูรณ์ต่ำสุด) จากนั้นพวกเขาก็ "ทำลาย" ซึ่งกันและกัน และมีการสังเกตขั้นต่ำ ณ จุดนั้น ในทางตรงกันข้าม ถ้าคลื่นสองลูกมาอยู่ในเฟสเดียวกันถึงจุดหนึ่ง ก็จะเสริมกำลังซึ่งกันและกัน (สูงสุด)
ปรากฏการณ์ทั้งสองเกิดขึ้นครั้งแรกโดย Thomas Young ชาวอังกฤษในปี 1801 เมื่อเขาศึกษาการเลี้ยวเบนจากรอยแยกสองช่อง อย่างไรก็ตาม ชาวอิตาเลียน Grimaldi สังเกตเห็นปรากฏการณ์นี้ครั้งแรกในปี 1648 เมื่อเขาศึกษารูปแบบการเลี้ยวเบนของแสงแดดที่ส่องผ่านรูเล็กๆ Grimaldi ไม่สามารถอธิบายผลการทดลองของเขาได้
วิธีทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ศึกษาการเลี้ยวเบน
วิธีนี้เรียกว่าหลักการของ Huygens-Fresnel ประกอบด้วยการยืนยันว่าอยู่ในกระบวนการการแพร่กระจายของหน้าคลื่น แต่ละจุดเป็นแหล่งของคลื่นทุติยภูมิ ซึ่งการรบกวนจะเป็นตัวกำหนดผลการสั่น ณ จุดใดจุดหนึ่งที่กำลังพิจารณา
หลักการที่อธิบายไว้ได้รับการพัฒนาโดย Augustin Fresnel ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 19 ในเวลาเดียวกัน Fresnel ได้ดำเนินการตามแนวคิดของทฤษฎีคลื่นของ Christian Huygens
แม้ว่าหลักการของ Huygens-Fresnel จะไม่เข้มงวดในทางทฤษฎี แต่ก็ถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายการทดลองทางคณิตศาสตร์ที่มีการเลี้ยวเบนและการรบกวนได้สำเร็จ
การเลี้ยวเบนในทุ่งใกล้และไกล
การเลี้ยวเบนเป็นปรากฏการณ์ที่ค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนซึ่งต้องพิจารณาทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์ ดังนั้นในทางปฏิบัติจะพิจารณาเฉพาะกรณีพิเศษของปรากฏการณ์นี้โดยใช้การประมาณที่หลากหลาย หากเหตุการณ์หน้าคลื่นบนสิ่งกีดขวางนั้นราบ การเลี้ยวเบนสองประเภทจะถูกแยกแยะ:
- ในสนามใกล้ หรือการเลี้ยวเบนของเฟรสเนล
- ในทุ่งไกล หรือการเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์
คำว่า "ทุ่งไกลและใกล้" หมายถึงระยะห่างจากหน้าจอที่สังเกตรูปแบบการเลี้ยวเบน
การเปลี่ยนแปลงระหว่างการเลี้ยวเบนระหว่าง Fraunhofer และการเลี้ยวเบนของ Fresnel สามารถประมาณได้โดยการคำนวณหมายเลข Fresnel สำหรับกรณีเฉพาะ ตัวเลขนี้ถูกกำหนดดังนี้:
F=a2/(Dλ).
ที่นี่ λ คือความยาวคลื่นของแสง D คือระยะห่างจากหน้าจอ a คือขนาดของวัตถุที่เกิดการเลี้ยวเบน
ถ้า F<1 แล้วพิจารณาระยะใกล้แล้ว
กรณีการใช้งานจริงหลายกรณี รวมถึงการใช้ตะแกรงเลี้ยวเบน ได้รับการพิจารณาในการประมาณค่าสนามไกล
แนวคิดของตะแกรงที่คลื่นกระจาย
ขัดแตะนี้เป็นวัตถุแบนขนาดเล็กซึ่งมีการใช้โครงสร้างเป็นระยะ เช่น แถบหรือร่องในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง พารามิเตอร์ที่สำคัญของตะแกรงดังกล่าวคือจำนวนแถบต่อหน่วยความยาว (ปกติ 1 มม.) พารามิเตอร์นี้เรียกว่าค่าคงที่ขัดแตะ นอกจากนี้เราจะแสดงมันด้วยสัญลักษณ์ N ส่วนกลับของ N กำหนดระยะห่างระหว่างแถบที่อยู่ติดกัน ลองแทนด้วยตัวอักษร d แล้ว:
d=1/N.
เมื่อคลื่นเครื่องบินตกลงบนตะแกรงดังกล่าว ก็จะพบกับสิ่งรบกวนเป็นระยะๆ ภาพหลังจะปรากฏบนหน้าจอในรูปแบบของภาพใดภาพหนึ่งซึ่งเป็นผลมาจากการรบกวนของคลื่น
ประเภทของตะแกรง
ตะแกรงเลี้ยวเบนมีสองประเภท:
- ผ่านหรือโปร่งใส
- สะท้อนแสง
อันแรกทำโดยใช้เส้นทึบแสงกับกระจก ใช้กับเพลตดังกล่าวที่ทำงานในห้องปฏิบัติการ พวกมันถูกใช้ในสเปกโตรสโคป
ประเภทที่ 2 คือ ตะแกรงสะท้อนแสง ทำโดยใช้ร่องเป็นระยะๆ กับวัสดุที่ขัดเงา ตัวอย่างที่โดดเด่นในชีวิตประจำวันของโครงตาข่ายดังกล่าวคือแผ่นซีดีหรือดีวีดีพลาสติก
สมการแลตทิซ
เมื่อพิจารณาการเลี้ยวเบนของ Fraunhofer บนตะแกรง นิพจน์ต่อไปนี้สามารถเขียนสำหรับความเข้มของแสงในรูปแบบการเลี้ยวเบนได้:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[บาป(Nα) /sin(α)]2 โดยที่
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
พารามิเตอร์ a คือความกว้างของหนึ่งช่อง และพารามิเตอร์ d คือระยะห่างระหว่างกัน ลักษณะสำคัญในนิพจน์สำหรับ I(θ) คือมุม θ นี่คือมุมระหว่างจุดศูนย์กลางที่ตั้งฉากกับระนาบตะแกรงและจุดจำเพาะในรูปแบบการเลี้ยวเบน ในการทดลอง วัดโดยใช้โกนิโอมิเตอร์
ในสูตรที่นำเสนอ นิพจน์ในวงเล็บจะกำหนดความเลี้ยวเบนจากช่องหนึ่ง และนิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมเป็นผลมาจากการรบกวนของคลื่น วิเคราะห์สภาพของสัญญาณรบกวนสูงสุดเราสามารถมาที่สูตรต่อไปนี้:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/d.
Angle θ0 แสดงลักษณะของคลื่นเหตุการณ์บนตะแกรง หากหน้าคลื่นขนานกับมัน จากนั้น θ0=0 และนิพจน์สุดท้ายจะกลายเป็น:
sin(θm)=mλ/d.
สูตรนี้เรียกว่าสมการตะแกรงเลี้ยวเบน ค่าของ m ใช้กับจำนวนเต็มใดๆ รวมถึงค่าลบและศูนย์ เรียกว่าลำดับของการเลี้ยวเบน
การวิเคราะห์สมการแลตทิซ
ในย่อหน้าก่อนหน้านี้เราพบว่าว่าตำแหน่งของจุดสูงสุดหลักอธิบายโดยสมการ:
sin(θm)=mλ/d.
จะนำไปปฏิบัติได้อย่างไร? ส่วนใหญ่จะใช้เมื่อแสงตกกระทบบนตะแกรงการเลี้ยวเบนที่มีคาบ d ถูกย่อยสลายเป็นสีต่างๆ ยิ่งความยาวคลื่น λ ยาวเท่าใด ระยะห่างเชิงมุมก็จะยิ่งมากขึ้นตามค่าสูงสุดที่สอดคล้องกับมัน การวัดค่า θm ที่สอดคล้องกันสำหรับแต่ละคลื่นจะช่วยให้คุณสามารถคำนวณความยาวคลื่นได้ ดังนั้นจึงกำหนดสเปกตรัมทั้งหมดของวัตถุที่แผ่รังสีได้ การเปรียบเทียบสเปกตรัมนี้กับข้อมูลจากฐานข้อมูลที่รู้จัก เราสามารถพูดได้ว่าองค์ประกอบทางเคมีใดที่ปล่อยออกมา
ขั้นตอนข้างต้นใช้ในสเปกโตรมิเตอร์
ความละเอียดของตาราง
ภายใต้ เป็นที่เข้าใจกันว่าความแตกต่างระหว่างความยาวคลื่นสองช่วงที่ปรากฏในรูปแบบการเลี้ยวเบนเป็นเส้นแยก ความจริงก็คือว่าแต่ละเส้นมีความหนาที่แน่นอน เมื่อคลื่นสองคลื่นที่มีค่าปิดของ λ และ λ + Δλ diffract จากนั้นเส้นที่สอดคล้องกับพวกมันในภาพสามารถรวมเป็นหนึ่งเดียวได้ ในกรณีหลัง ความละเอียดของตะแกรงจะน้อยกว่า Δλ
ละเว้นข้อโต้แย้งเกี่ยวกับการได้มาของสูตรสำหรับการแก้ปัญหาตะแกรง เรานำเสนอรูปแบบสุดท้าย:
Δλ>λ/(mN).
สูตรเล็กๆ นี้ทำให้เราสรุปได้ว่า: ใช้ตะแกรงเพื่อแยกความยาวคลื่นที่ใกล้เคียงกัน (Δλ) ยิ่งความยาวคลื่นของแสง λ ยาวเท่าใด จำนวนการสโตรคต่อความยาวหน่วยก็จะยิ่งมากขึ้น(ค่าคงที่ขัดแตะ N) และลำดับของการเลี้ยวเบนยิ่งสูง มาพูดถึงอันสุดท้ายกันเถอะ
หากคุณดูที่รูปแบบการเลี้ยวเบน เมื่อเพิ่ม m ขึ้น ระยะห่างระหว่างความยาวคลื่นที่อยู่ติดกันจะเพิ่มขึ้นจริงๆ อย่างไรก็ตาม ในการใช้คำสั่งการเลี้ยวเบนสูง จำเป็นต้องมีความเข้มของแสงเพียงพอสำหรับการวัด บนตะแกรงเลี้ยวเบนแบบธรรมดาจะตกลงอย่างรวดเร็วโดยมีค่า m เพิ่มขึ้น ดังนั้นเพื่อจุดประสงค์เหล่านี้จึงใช้ตะแกรงพิเศษซึ่งทำขึ้นในลักษณะที่จะกระจายความเข้มของแสงให้กับ m ขนาดใหญ่ ตามกฎแล้ว สิ่งเหล่านี้คือตะแกรงสะท้อนแสง ซึ่งเป็นรูปแบบการเลี้ยวเบนที่ได้มาสำหรับขนาดใหญ่ θ0.
ต่อไป ให้ลองใช้สมการแลตทิซแก้ปัญหาหลายๆ อย่าง
งานในการกำหนดมุมการเลี้ยวเบน ลำดับการเลี้ยวเบน และค่าคงที่ของแลตทิซ
มาดูตัวอย่างการแก้ปัญหากัน:
เพื่อกำหนดระยะเวลาของตะแกรงเลี้ยวเบน ให้ทำการทดลองต่อไปนี้: ใช้แหล่งกำเนิดแสงแบบเอกรงค์ซึ่งความยาวคลื่นเป็นค่าที่ทราบ ด้วยความช่วยเหลือของเลนส์ทำให้เกิดคลื่นคู่ขนานซึ่งก็คือเงื่อนไขสำหรับการเลี้ยวเบนของ Fraunhofer จากนั้นหน้านี้จะมุ่งไปที่ตะแกรงเลี้ยวเบนซึ่งไม่ทราบระยะเวลา ในภาพผลลัพธ์ มุมสำหรับคำสั่งต่างๆ จะวัดโดยใช้โกนิโอมิเตอร์ จากนั้นสูตรจะคำนวณค่าของช่วงเวลาที่ไม่รู้จัก มาทำการคำนวณนี้กับตัวอย่างเฉพาะกัน
ให้ความยาวคลื่นของแสงเป็น 500 นาโนเมตร และมุมสำหรับการเลี้ยวเบนลำดับแรกเป็น 21oจากข้อมูลเหล่านี้ จำเป็นต้องกำหนดระยะเวลาของตะแกรงเลี้ยวเบน d.
ใช้สมการแลตทิซ แสดง d แล้วเสียบข้อมูล:
d=mλ/sin(θm)=150010-9/sin(21 o) ≈ 1.4 µm.
จากนั้นค่าคงที่ขัดแตะ N คือ:
N=1/วัน ≈ 714 เส้น ต่อ 1 มม.
แสงมักจะตกบนตะแกรงเลี้ยวเบนซึ่งมีคาบเวลา 5 ไมครอน เมื่อรู้ว่าความยาวคลื่น λ=600 nm จำเป็นต้องหามุมที่ค่าสูงสุดของคำสั่งแรกและอันดับที่สองจะปรากฏขึ้น
สำหรับสูงสุดครั้งแรกที่เราได้รับ:
sin(θ1)=λ/d=>θ1=arcsin(λ/d) ≈ 6, 9 o.
มุมสูงสุดที่สองจะปรากฏขึ้น θ2:
θ2=arcsin(2λ/d) ≈ 13, 9o.
แสงสีเดียวตกลงบนตะแกรงเลี้ยวเบนที่มีระยะเวลา 2 ไมครอน ความยาวคลื่นของมันคือ 550 นาโนเมตร จำเป็นต้องค้นหาจำนวนคำสั่งการเลี้ยวเบนที่จะปรากฏในรูปภาพผลลัพธ์บนหน้าจอ
ปัญหาประเภทนี้ได้รับการแก้ไขดังนี้: ก่อนอื่นคุณควรพิจารณาการพึ่งพาของมุม θm บนลำดับการเลี้ยวเบนสำหรับเงื่อนไขของปัญหา หลังจากนั้นจะต้องคำนึงว่าฟังก์ชันไซน์ไม่สามารถรับค่ามากกว่าหนึ่งค่าได้ ความจริงข้อสุดท้ายจะทำให้เราสามารถตอบคำถามนี้ได้ มาดำเนินการที่อธิบายไว้กันเถอะ:
sin(θm)=mλ/d=0, 275m.
ความเท่าเทียมกันนี้แสดงว่าเมื่อ m=4 นิพจน์ทางด้านขวาจะเท่ากับ 11 และที่ m=3 จะเท่ากับ 0.825 ซึ่งหมายความว่าการใช้เกรตติ้งการเลี้ยวเบนที่มีคาบ 2 ไมโครเมตรที่ความยาวคลื่น 550 นาโนเมตร คุณจะได้การเลี้ยวเบนอันดับที่ 3 สูงสุด
ปัญหาการคำนวณความละเอียดของตะแกรง
สมมติว่าสำหรับการทดลอง จะใช้ตะแกรงเลี้ยวเบนที่มีคาบเวลา 10 ไมครอน จำเป็นต้องคำนวณความยาวคลื่นต่ำสุดที่คลื่นใกล้ λ=580 nm สามารถแตกต่างกันได้ เพื่อให้ปรากฏเป็นจุดสูงสุดที่แยกจากกันบนหน้าจอ
คำตอบของปัญหานี้เกี่ยวข้องกับการกำหนดความละเอียดของตะแกรงที่พิจารณาสำหรับความยาวคลื่นที่กำหนด ดังนั้น คลื่นสองคลื่นสามารถแตกต่างกันได้โดย Δλ>λ/(mN) เนื่องจากค่าคงที่ขัดแตะเป็นสัดส่วนผกผันกับจุด d นิพจน์นี้สามารถเขียนได้ดังนี้:
Δλ>λd/m.
ตอนนี้สำหรับความยาวคลื่น λ=580 nm เราเขียนสมการแลตทิซ:
sin(θm)=mλ/d=0, 058m.
เมื่อเราได้อันดับสูงสุดของ m เท่ากับ 17 แทนที่ตัวเลขนี้ลงในสูตรของ Δλ เรามี:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 หรือ 0.00034 nm.
เรามีความละเอียดสูงมากเมื่อช่วงเวลาของตะแกรงเลี้ยวเบนแสงคือ 10 ไมครอน ในทางปฏิบัติ ตามกฎแล้ว มันไม่สามารถทำได้เนื่องจากความเข้มต่ำสุดของคำสั่งการเลี้ยวเบนสูงสุด
