ปัญหาทั่วไปอย่างหนึ่งของ stereometry คืองานในการข้ามเส้นตรงและระนาบและคำนวณมุมระหว่างพวกมัน ให้เราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมในบทความนี้เกี่ยวกับวิธีพิกัดที่เรียกว่าและมุมระหว่างเส้นกับระนาบ
เส้นและระนาบในเรขาคณิต
ก่อนที่จะพิจารณาวิธีพิกัดและมุมระหว่างเส้นกับระนาบ คุณควรทำความคุ้นเคยกับวัตถุเรขาคณิตที่มีชื่อ
เส้นคือชุดของจุดในอวกาศหรือบนเครื่องบิน ซึ่งแต่ละเส้นสามารถรับได้โดยการย้ายเส้นก่อนหน้าไปยังเวกเตอร์บางตัวเป็นเส้นตรง ต่อไปนี้ เราแสดงเวกเตอร์นี้ด้วยสัญลักษณ์ u¯ หากเวกเตอร์นี้คูณด้วยจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราก็จะได้เวกเตอร์ขนานกับ u¯ เส้นคืออนันต์เชิงเส้น
เครื่องบินยังเป็นชุดของจุดที่ตั้งอยู่ในลักษณะที่หากคุณสร้างเวกเตอร์ตามอำเภอใจจากนั้นจุดทั้งหมดจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ n¯ บางตัว หลังเรียกว่าปกติหรือธรรมดาเครื่องบินไม่เหมือนเส้นตรงเป็นวัตถุอนันต์สองมิติ
ประสานงานวิธีการแก้ปัญหาเรขาคณิต
จากชื่อของวิธีการเอง เราสามารถสรุปได้ว่าเรากำลังพูดถึงวิธีการในการแก้ปัญหา ซึ่งอิงตามประสิทธิภาพของการคำนวณเชิงวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีการพิกัดช่วยให้คุณสามารถแก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้เครื่องมือพีชคณิตสากล ซึ่งหลัก ๆ คือสมการ
ควรสังเกตว่าวิธีการที่กำลังพิจารณาปรากฏขึ้นในช่วงรุ่งอรุณของเรขาคณิตและพีชคณิตสมัยใหม่ Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton และ Leibniz มีส่วนสนับสนุนอย่างมากในการพัฒนาในศตวรรษที่ 17-18
สาระสำคัญของวิธีนี้คือการคำนวณระยะทาง มุม พื้นที่ และปริมาตรขององค์ประกอบทางเรขาคณิตตามพิกัดของจุดที่ทราบ โปรดทราบว่ารูปแบบของสมการสุดท้ายที่ได้นั้นขึ้นอยู่กับระบบพิกัด ส่วนใหญ่มักใช้ระบบคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมในปัญหาเนื่องจากสะดวกที่สุดในการทำงาน
สมการเส้น
การพิจารณาวิธีพิกัดและมุมระหว่างเส้นกับระนาบ เริ่มจากการกำหนดสมการของเส้นตรง มีหลายวิธีในการแสดงเส้นในรูปแบบพีชคณิต ที่นี่เราพิจารณาเฉพาะสมการเวกเตอร์เท่านั้น เนื่องจากสามารถหาได้จากรูปแบบอื่นและใช้งานได้ง่าย
สมมติว่ามีสองจุด: P และ Q. เป็นที่รู้กันว่าสามารถลากเส้นผ่านพวกมันได้และมันจะเป็นคนเดียว การแสดงทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกันขององค์ประกอบมีลักษณะดังนี้:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
โดยที่ PQ¯ เป็นเวกเตอร์ที่ได้รับพิกัดดังนี้:
PQ¯=Q - P.
สัญลักษณ์ λ หมายถึงพารามิเตอร์ที่สามารถใช้ตัวเลขใดๆ ก็ได้
ในนิพจน์ที่เขียน คุณสามารถเปลี่ยนทิศทางของเวกเตอร์ และแทนที่พิกัด Q แทนจุด P การแปลงทั้งหมดเหล่านี้จะไม่นำไปสู่การเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งเรขาคณิตของเส้น
โปรดทราบว่าเมื่อแก้ปัญหา บางครั้งจำเป็นต้องแสดงสมการเวกเตอร์ที่เขียนในรูปแบบที่ชัดเจน (พารามิเตอร์)
การตั้งเครื่องบินในอวกาศ
เช่นเดียวกับเส้นตรง สมการทางคณิตศาสตร์สำหรับระนาบก็มีหลายรูปแบบเช่นกัน ในหมู่พวกเขา เราสังเกตเวกเตอร์ สมการในส่วนและรูปแบบทั่วไป ในบทความนี้เราจะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับแบบฟอร์มสุดท้าย
สมการทั่วไปสำหรับระนาบใดก็ได้สามารถเขียนได้ดังนี้:
Ax + By + Cz + D=0.
ละตินตัวพิมพ์ใหญ่คือตัวเลขที่กำหนดระนาบ
ความสะดวกของสัญลักษณ์นี้คือมีเวกเตอร์ปกติของระนาบอย่างชัดเจน เท่ากับ:
n¯=(A, B, C).
การรู้เวกเตอร์นี้ทำให้เป็นไปได้โดยดูที่สมการของระนาบสั้น ๆ เพื่อจินตนาการถึงตำแหน่งของหลังในระบบพิกัด
การจัดเรียงร่วมกันในช่องว่างของเส้นและเครื่องบิน
ในย่อหน้าถัดไปของบทความ เราจะพิจารณาวิธีการพิกัดและมุมระหว่างเส้นกับระนาบ ที่นี่เราจะตอบคำถามว่าองค์ประกอบทางเรขาคณิตที่พิจารณาแล้วสามารถอยู่ในอวกาศได้อย่างไร มีสามวิธี:
- เส้นตรงตัดระนาบ โดยใช้วิธีพิกัด คุณจะคำนวณได้ว่าจุดเดียวที่เส้นกับระนาบตัดกัน
- ระนาบของเส้นตรงขนานกัน ในกรณีนี้ ระบบสมการขององค์ประกอบทางเรขาคณิตไม่มีคำตอบ ในการพิสูจน์ความขนาน มักจะใช้คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงและค่าปกติของระนาบ
- เครื่องบินมีเส้น การแก้ระบบสมการในกรณีนี้ เราจะสรุปได้ว่าสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ λ จะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
ในกรณีที่สองและสาม มุมระหว่างวัตถุเรขาคณิตที่ระบุจะเท่ากับศูนย์ ในกรณีแรก มันอยู่ระหว่าง 0 ถึง 90o.
การคำนวณมุมระหว่างเส้นกับระนาบ
ตอนนี้ไปที่หัวข้อของบทความโดยตรง จุดตัดของเส้นตรงและระนาบเกิดขึ้นที่มุมใดมุมหนึ่ง มุมนี้เกิดจากเส้นตรงและการฉายภาพบนระนาบ สามารถรับการฉายภาพได้หากจากจุดใด ๆ ของเส้นตรงที่ฉากตั้งฉากถูกลดระดับลงบนระนาบ จากนั้นผ่านจุดตัดของระนาบและเส้นตั้งฉากและจุดตัดของระนาบกับเส้นเดิม ให้วาด a เส้นตรงที่จะเป็นเส้นโครง
การคำนวณมุมระหว่างเส้นกับระนาบไม่ใช่เรื่องยาก ในการแก้โจทย์นี้ เพียงแค่รู้สมการของวัตถุทางเรขาคณิตที่ตรงกันก็เพียงพอแล้ว สมมติว่าสมการเหล่านี้มีลักษณะดังนี้:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
มุมที่ต้องการหาได้ง่ายโดยใช้คุณสมบัติของผลคูณของเวกเตอร์สเกลาร์ u¯ และ n¯ สูตรสุดท้ายมีลักษณะดังนี้:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
สูตรนี้บอกว่าไซน์ของมุมระหว่างเส้นกับระนาบเท่ากับอัตราส่วนของโมดูลัสของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ทำเครื่องหมายไว้ต่อผลคูณของความยาว เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใดไซน์จึงปรากฏขึ้นแทนโคไซน์ เรามาดูรูปด้านล่างกัน
จะเห็นได้ว่าถ้าเราใช้ฟังก์ชันโคไซน์ เราจะได้มุมระหว่างเวกเตอร์ u¯ และ n¯ มุมที่ต้องการ θ (α ในรูป) ได้ดังนี้:
θ=90o- β.
ไซน์ปรากฏขึ้นจากการใช้สูตรลดขนาด
ปัญหาตัวอย่าง
ไปสู่การใช้งานความรู้ที่ได้มาในทางปฏิบัติ มาแก้ปัญหาทั่วไปเกี่ยวกับมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบกัน พิกัดสี่จุดต่อไปนี้ได้รับ:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
เป็นที่รู้กันว่าผ่านจุด PQMเครื่องบินผ่านและมีเส้นตรงผ่าน MN จะต้องคำนวณมุมระหว่างระนาบกับเส้นโดยใช้วิธีการพิกัด
อันดับแรก ให้เขียนสมการของเส้นตรงและระนาบกันก่อน สำหรับเส้นตรง ให้เขียนง่าย:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
ในการสร้างสมการระนาบ เราต้องหาค่าปกติของระนาบก่อน พิกัดของมันเท่ากับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวที่อยู่ในระนาบที่กำหนด เรามี:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
ตอนนี้ เรามาแทนที่พิกัดของจุดใดๆ ที่อยู่ในนั้นลงในสมการของระนาบทั่วไปเพื่อรับค่าของเทอมอิสระ D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
สมการระนาบคือ:
11x + 4y + 5z - 7=0.
ยังคงใช้สูตรสำหรับมุมที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นตรงและระนาบเพื่อหาคำตอบของปัญหา เรามี:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
โดยใช้ปัญหานี้เป็นตัวอย่าง เราแสดงวิธีใช้วิธีการพิกัดเพื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิต