Bijection is นิยามของแนวคิด ลักษณะเฉพาะ

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

ในทางคณิตศาสตร์ มีแนวคิดเรื่อง "เซต" รวมถึงตัวอย่างการเปรียบเทียบชุดเดียวกันนี้ด้วย ชื่อของประเภทของการเปรียบเทียบชุดเป็นคำต่อไปนี้: bijection, injection, surjection แต่ละรายการมีรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

การโต้แย้งคือ… มันคืออะไร?

องค์ประกอบกลุ่มหนึ่งของชุดแรกจับคู่กับองค์ประกอบกลุ่มที่สองจากชุดที่สองในรูปแบบนี้: แต่ละองค์ประกอบของกลุ่มแรกจะถูกจับคู่โดยตรงกับองค์ประกอบอื่นของกลุ่มที่สอง และที่นั่น ไม่ใช่สถานการณ์ที่มีการขาดแคลนหรือการแจงนับองค์ประกอบของชุดใด ๆ หรือจากชุดสองกลุ่ม

สูตรคุณสมบัติหลัก:

1. หนึ่งองค์ประกอบ
2. ไม่มีองค์ประกอบพิเศษเมื่อจับคู่และคุณสมบัติแรกจะยังคงอยู่
3. สามารถย้อนกลับการทำแผนที่ในขณะที่ยังคงมุมมองทั่วไปอยู่
4. bijection เป็นฟังก์ชันที่มีทั้ง injective และ surjective

การบิดเบือนจากมุมมองทางวิทยาศาสตร์

Bijective functions เป็น isomorphisms ในหมวดหมู่ "set and set of functions" ทุกประการ อย่างไรก็ตาม การทำ bijections นั้นไม่ใช่การบิดเบือนรูปร่างเสมอไปสำหรับหมวดหมู่ที่ซับซ้อนกว่า ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มบางกลุ่ม morphisms ต้องเป็น homomorphisms เนื่องจากต้องรักษาโครงสร้างของกลุ่มไว้ ดังนั้น isomorphisms คือ isomorphisms แบบกลุ่ม ซึ่งเป็น homomorphisms แบบ bijective

แนวคิดของ "การติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่ง" เป็นแบบทั่วไปสำหรับการทำงานบางส่วน โดยจะเรียกว่าการแยกส่วนบางส่วน แม้ว่าการหักเหบางส่วนคือสิ่งที่ควรเป็นการฉีด สาเหตุของการผ่อนคลายนี้คือฟังก์ชันบางส่วน (ที่เหมาะสม) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับส่วนหนึ่งของโดเมนอีกต่อไป ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่ดีที่จะจำกัดฟังก์ชันผกผันให้สมบูรณ์ กล่าวคือ กำหนดไว้ทุกที่ในโดเมน ชุดของการ bijection บางส่วนทั้งหมดไปยังชุดฐานที่กำหนดเรียกว่า semigroup ผกผันสมมาตร

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดแนวคิดเดียวกัน: ควรพูดว่าการแบ่งเซตบางส่วนของเซตจาก A ไป B เป็นความสัมพันธ์ใดๆ ก็ตาม R (ฟังก์ชันบางส่วน) กับคุณสมบัติที่ R เป็นกราฟ bijection f:A'→B ' โดยที่ A' เป็นสับเซตของ A และ B' เป็นสับเซตของ B.

เมื่อ bijection บางส่วนอยู่ในชุดเดียวกัน บางครั้งเรียกว่าการแปลงบางส่วนแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ตัวอย่างคือการแปลง Möbius ที่เพิ่งกำหนดไว้บนระนาบเชิงซ้อน ไม่ใช่ความสมบูรณ์ในระนาบเชิงซ้อนที่ขยายออก

ฉีด

องค์ประกอบกลุ่มหนึ่งของชุดแรกจับคู่กับองค์ประกอบกลุ่มที่สองจากชุดที่สองในรูปแบบนี้: แต่ละองค์ประกอบของกลุ่มแรกจะถูกจับคู่กับอีกองค์ประกอบหนึ่งของชุดที่สอง แต่ไม่ใช่ทั้งหมด พวกเขาจะถูกแปลงเป็นคู่ จำนวนขององค์ประกอบที่ไม่มีการจับคู่ขึ้นอยู่กับความแตกต่างในจำนวนขององค์ประกอบเหล่านี้ในแต่ละชุด: หากชุดหนึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบสามสิบเอ็ดและอีกชุดหนึ่งมีเจ็ดองค์ประกอบ จำนวนขององค์ประกอบที่ไม่มีการจับคู่จะเป็นเจ็ด ฉีดเข้าชุด. Bijection และ injection มีความคล้ายคลึงกัน แต่ไม่มีอะไรมากไปกว่าที่คล้ายกัน

เซอร์เจก

องค์ประกอบกลุ่มหนึ่งของชุดแรกจับคู่กับองค์ประกอบกลุ่มที่สองจากชุดที่สองในลักษณะนี้: องค์ประกอบแต่ละกลุ่มของกลุ่มใดๆ จะเป็นคู่ แม้ว่าจำนวนองค์ประกอบจะมีความแตกต่างกันก็ตาม ตามด้วยองค์ประกอบหนึ่งจากกลุ่มหนึ่งสามารถจับคู่กับองค์ประกอบหลายรายการจากอีกกลุ่มได้

ไม่ใช่ทั้งแบบไบเจกต์ หรือแบบอินเจกทีฟ หรือฟังก์ชันเซอร์เจกทีฟ

นี่คือฟังก์ชันของรูปแบบ bijective และ surjective แต่ส่วนที่เหลือ (unpaired)=> การฉีด ในฟังก์ชันดังกล่าว มีความเชื่อมโยงกันอย่างชัดเจนระหว่าง bijection กับ surjection เนื่องจากมีการเปรียบเทียบชุดข้อมูลทั้งสองประเภทนี้โดยตรง ดังนั้นผลรวมของฟังก์ชันทุกประเภทจึงไม่ใช่หนึ่งในนั้นแยกกัน

คำอธิบายของฟังก์ชันทุกประเภท

ตัวอย่างเช่น ผู้สังเกตรู้สึกทึ่งกับสิ่งต่อไปนี้ มีการแข่งขันยิงธนู แต่ละผู้เข้าร่วมต้องการที่จะบรรลุเป้าหมาย (เพื่ออำนวยความสะดวกในงาน: ตรงที่ลูกศรไม่นำมาพิจารณา) ผู้เข้าร่วมเพียงสามคนและสามเป้าหมาย - นี่คือไซต์แรก (ไซต์) สำหรับการแข่งขัน ในส่วนต่อๆ ไป จำนวนนักธนูจะยังคงอยู่ แต่จำนวนเป้าหมายจะเปลี่ยนไป: ในเป้าหมายที่สอง - สี่เป้าหมาย ในส่วนถัดไป - สี่ครั้ง และส่วนที่สี่ - ห้าเป้าหมาย ผู้เข้าร่วมแต่ละคนยิงไปที่แต่ละเป้าหมาย

1. สถานที่แรกของการแข่งขัน. นักธนูคนแรกยิงได้เพียงเป้าหมายเดียว ครั้งที่สองโจมตีเป้าหมายเดียวเท่านั้น ลูกที่สามเล่นซ้ำตามคนอื่นๆ และนักธนูทุกคนก็โจมตีเป้าหมายที่ต่างกัน นั่นคือที่อยู่ตรงข้ามกับพวกเขา เป็นผลให้ 1 (นักธนูคนแรก) ตีเป้าหมาย (a), 2 - ใน (b), 3 - ใน (c) มีการสังเกตการพึ่งพาต่อไปนี้: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c) บทสรุปจะเป็นการตัดสินว่าการเปรียบเทียบชุดดังกล่าวเป็นการบิดเบือน
2. แพลตฟอร์มที่สองของการแข่งขัน นักธนูคนแรกยิงได้เพียงเป้าหมายเดียว ครั้งที่สองก็โจมตีเป้าหมายเดียวเท่านั้น อันที่สามไม่ได้พยายามทำซ้ำทุกอย่างหลังจากอันอื่น แต่เงื่อนไขก็เหมือนเดิม - นักธนูทุกคนยิงโดนเป้าหมายต่างกัน แต่ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ มีเป้าหมายสี่ประการบนแพลตฟอร์มที่สองแล้ว การพึ่งพา: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - องค์ประกอบที่ไม่มีการจับคู่ของชุด ในกรณีนี้ ข้อสรุปจะเป็นการตัดสินว่าการเปรียบเทียบชุดดังกล่าวเป็นการฉีดยา
3. สถานที่ที่สามของการแข่งขัน. นักธนูคนแรกยิงได้เพียงเป้าหมายเดียว คนที่สองโจมตีเป้าหมายเพียงเป้าหมายเดียวอีกครั้ง คนที่สามตัดสินใจที่จะดึงตัวเองเข้าหากันและโจมตีเป้าหมายที่สามและสี่ เป็นผลให้การพึ่งพา: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d) ในที่นี้ บทสรุปจะเป็นการตัดสินว่าการเปรียบเทียบเซตดังกล่าวเป็นการคาดเดา
4. แพลตฟอร์มที่สี่ของการแข่งขัน ในครั้งแรกที่ทุกอย่างชัดเจนแล้ว เขาโจมตีเพียงเป้าหมายเดียว ซึ่งในไม่ช้าก็จะไม่มีที่ว่างสำหรับการโจมตีที่น่าเบื่ออยู่แล้ว ตอนนี้คนที่สองเข้ามามีบทบาทกับคนที่สามล่าสุดและอีกครั้งก็โจมตีเพียงเป้าหมายเดียว โดยซ้ำหลังจากครั้งแรก คนที่สามยังคงควบคุมตัวเองต่อไปและไม่หยุดแนะนำลูกศรของเขาให้กับเป้าหมายที่สามและสี่ อย่างไรก็ตาม ครั้งที่ห้าก็ยังอยู่นอกเหนือการควบคุมของเขา ดังนั้น การพึ่งพาอาศัยกัน: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - องค์ประกอบที่ไม่มีการจับคู่ของชุดเป้าหมาย สรุป: การเปรียบเทียบฉากดังกล่าวไม่ใช่การเซอร์เจก ไม่ใช่การฉีดยา และไม่ใช่การตัดครึ่ง

ตอนนี้การสร้าง bijection การฉีด หรือ surjection จะไม่เป็นปัญหา เช่นเดียวกับการค้นหาความแตกต่างระหว่างพวกเขา