ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของลูกศรและประสิทธิผล

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

ความขัดแย้งของทฤษฎีการเลือกสาธารณะได้รับการอธิบายครั้งแรกโดย Marquis Condorcet ในปี ค.ศ. 1785 ซึ่งประสบความสำเร็จในการสรุปประเด็นทั่วไปในยุค 50 ของศตวรรษที่ผ่านมาโดย K. Arrow นักเศรษฐศาสตร์ชาวอเมริกัน ทฤษฎีบทของ Arrow ตอบคำถามง่ายๆ ในทฤษฎีการตัดสินใจโดยรวม สมมติว่ามีหลายทางเลือกในด้านการเมือง โครงการสาธารณะ หรือการกระจายรายได้ และมีคนจำนวนมากที่ต้องการกำหนดตัวเลือกเหล่านั้น

คำถามคือมีขั้นตอนใดบ้างในการพิจารณาทางเลือกในเชิงคุณภาพ และวิธีการเรียนรู้เกี่ยวกับความชอบ เกี่ยวกับการเรียงลำดับทางเลือกโดยรวมหรือทางสังคม จากดีที่สุดไปหาแย่ที่สุด คำตอบของ Arrow สำหรับคำถามนี้ทำให้หลายคนประหลาดใจ

ทฤษฎีบทของ Arrow กล่าวว่าไม่มีขั้นตอนดังกล่าวเลย - ในกรณีใด ๆ พวกเขาไม่สอดคล้องกับความชอบบางอย่างและค่อนข้างสมเหตุสมผลของผู้คนกรอบงานทางเทคนิคของ Arrow ซึ่งเขาให้ความหมายที่ชัดเจนกับปัญหาการทำสัญญาทางสังคม และการตอบสนองที่เข้มงวดของเขาตอนนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาปัญหาในเศรษฐศาสตร์สังคม ทฤษฎีบทนี้สร้างพื้นฐานของทฤษฎีการเลือกสาธารณะสมัยใหม่

ทฤษฎีทางเลือกสาธารณะ

ทฤษฎีบทของ Arrow แสดงให้เห็นว่าหากผู้มีสิทธิเลือกตั้งมีทางเลือกอย่างน้อยสามทาง ก็ไม่มีระบบการเลือกตั้งที่เปลี่ยนการเลือกของบุคคลให้เป็นความคิดเห็นสาธารณะได้

คำกล่าวที่น่าตกใจมาจากนักเศรษฐศาสตร์และผู้ได้รับรางวัลโนเบล เคนเนธ โจเซฟ แอร์โรว์ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความขัดแย้งนี้ในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขา และเผยแพร่มันในหนังสือทางเลือกทางสังคมและค่านิยมส่วนบุคคลในปี 1951 ของเขา ชื่อเรื่องของบทความต้นฉบับคือ "ความยากลำบากในแนวคิดประกันสังคม"

ทฤษฎีบทของ Arrow ระบุว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะออกแบบระบบการเลือกตั้งที่มีระเบียบที่ตรงตามเกณฑ์ที่ยุติธรรมเสมอ:

1. เมื่อผู้ลงคะแนนเลือกทางเลือก X มากกว่า Y ชุมชนของผู้มีสิทธิเลือกตั้งจะเลือก X มากกว่า Y หากตัวเลือกของผู้ลงคะแนน X และ Y แต่ละคนไม่เปลี่ยนแปลง ทางเลือกของสังคม X และ Y จะเป็น เหมือนกันแม้ว่าผู้มีสิทธิเลือกตั้งจะเลือกคู่อื่นของ X และ Z, Y และ Z หรือ Z และ W
2. ไม่มี "เผด็จการที่เลือก" เพราะผู้มีสิทธิเลือกตั้งคนเดียวไม่สามารถมีอิทธิพลต่อการเลือกกลุ่มได้
3. ระบบการเลือกตั้งที่มีอยู่ไม่ครอบคลุมข้อกำหนดที่จำเป็น เนื่องจากระบบดังกล่าวให้ข้อมูลมากกว่าอันดับลำดับ

ระบบการจัดการสังคมของรัฐ

แม้ว่านักเศรษฐศาสตร์ชาวอเมริกัน เคนเน็ธ แอร์โรว์ จะได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ แต่งานชิ้นนี้มีประโยชน์ต่อการพัฒนาสังคมศาสตร์มากกว่า เนื่องจาก "ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้" ของแอร์โรว์เป็นจุดเริ่มต้นของทิศทางใหม่ทางเศรษฐศาสตร์ - ทางเลือกทางสังคม. อุตสาหกรรมนี้กำลังพยายามวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการตัดสินใจร่วมกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านระบบการจัดการสังคมสาธารณะ

ทางเลือกคือประชาธิปไตยในการดำเนินการ ผู้คนไปลงคะแนนและแสดงความชอบ และสุดท้าย ความชอบของหลายๆ คนก็ต้องมาร่วมกันตัดสินใจร่วมกัน นี่คือเหตุผลที่การเลือกวิธีการลงคะแนนเสียงมีความสำคัญมาก แต่มีคะแนนเสียงที่สมบูรณ์แบบจริงหรือ? จากผลของทฤษฎีของ Arrow ซึ่งได้รับในปี 1950 คำตอบคือไม่ หาก "อุดมคติ" หมายถึงวิธีการลงคะแนนเสียงแบบพิเศษที่ตรงตามเกณฑ์ที่กำหนดโดยวิธีการลงคะแนนที่สมเหตุสมผล

วิธีการลงคะแนนที่ต้องการคือการจัดอันดับ โดยผู้ลงคะแนนจะให้คะแนนผู้สมัครทั้งหมดตามความชอบ และจากการให้คะแนนเหล่านี้ ผลลัพธ์ที่ได้คือ: รายชื่อผู้สมัครทั้งหมดที่ส่งมาด้วยเจตจำนงของประชาชน ตามทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของ Arrow สามารถระบุวิธีการลงคะแนนที่สมเหตุสมผลได้:

1. ไม่มีเผด็จการ (ND) - ผลลัพธ์ไม่จำเป็นต้องตรงกับการประเมินของบุคคลใดบุคคลหนึ่งเสมอไป
2. Pareto Efficiency (PE) - หากผู้มีสิทธิเลือกตั้งแต่ละคนชอบผู้สมัคร A มากกว่าผู้สมัคร B ผลลัพธ์ควรระบุผู้สมัคร A กับผู้สมัคร B.
3. ความเป็นอิสระของทางเลือกที่เข้ากันไม่ได้ (IIA) คือคะแนนสัมพัทธ์ของผู้สมัคร A, B และไม่ควรเปลี่ยนหากผู้ลงคะแนนเปลี่ยนคะแนนของผู้สมัครคนอื่น แต่อย่าเปลี่ยนคะแนนสัมพัทธ์ของ A และ B

ตามทฤษฎีบทของ Arrow ปรากฎว่าในกรณีของการเลือกตั้งที่มีเกณฑ์ตั้งแต่สามเกณฑ์ขึ้นไป ไม่มีฟังก์ชันทางเลือกทางสังคมที่เหมาะสมกับ ND, PE และ IIA พร้อมกัน

ระบบการเลือกอย่างมีเหตุผล

ความต้องการการรวมความชอบปรากฏขึ้นในหลาย ๆ ด้านของชีวิตมนุษย์:

1. เศรษฐศาสตร์สวัสดิการใช้วิธีเศรษฐศาสตร์จุลภาคเพื่อวัดสวัสดิการในระดับเศรษฐกิจรวม วิธีการทั่วไปเริ่มต้นด้วยการได้มาหรืออนุมานฟังก์ชันสวัสดิการ ซึ่งสามารถนำไปใช้เพื่อจัดลำดับการจัดสรรทรัพยากรที่เหมาะสมในเชิงเศรษฐกิจในแง่ของสวัสดิการ ในกรณีนี้ รัฐกำลังพยายามค้นหาผลลัพธ์ที่คุ้มค่าและยั่งยืน
2. ในทฤษฎีการตัดสินใจ เมื่อบุคคลต้องเลือกอย่างมีเหตุผลตามเกณฑ์หลายประการ
3. ในระบบการเลือกตั้งซึ่งเป็นกลไกในการหาทางออกเดียวจากความชอบของผู้มีสิทธิเลือกตั้งจำนวนมาก

ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบทของ Arrow ลำดับของการตั้งค่าสำหรับชุดพารามิเตอร์ที่กำหนด (ผลลัพธ์) จะถูกแยกออก แต่ละหน่วยในสังคมหรือแต่ละเกณฑ์การตัดสินใจ กำหนดลำดับความชอบโดยคำนึงถึงชุดของผลลัพธ์ สังคมกำลังมองหาระบบการลงคะแนนตามอันดับเรียกว่าฟังก์ชันสวัสดิการ

กฎการรวมค่ากำหนดนี้เปลี่ยนโปรไฟล์การตั้งค่าให้เป็นหนึ่งเดียวในที่สาธารณะ คำแถลงของ Arrow ระบุว่าหากหน่วยงานที่ปกครองมีผู้มีสิทธิเลือกตั้งอย่างน้อยสองคนและเกณฑ์การคัดเลือกสามเกณฑ์ เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างฟังก์ชันสวัสดิการที่จะปฏิบัติตามเงื่อนไขเหล่านี้ทั้งหมดในคราวเดียว

สำหรับการกำหนดลักษณะผู้มีสิทธิเลือกตั้งแต่ละชุด ฟังก์ชันสวัสดิการต้องดำเนินการให้คะแนนการเลือกสาธารณะที่ไม่ซ้ำใครและครอบคลุม:

1. ควรทำในลักษณะที่ผลลัพธ์เป็นการประเมินความพึงพอใจของผู้ชมโดยสมบูรณ์
2. ควรกำหนดคะแนนให้เท่ากันเมื่อความชอบของผู้มีสิทธิเลือกตั้งเหมือนกัน

อิสรภาพจากทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้อง (IIA)

ตัวเลือกระหว่าง X และ Y เชื่อมโยงกับความชอบของแต่ละบุคคลระหว่าง X และ Y เท่านั้น - นี่คือความเป็นอิสระเป็นคู่ (ความเป็นอิสระแบบคู่) ตามทฤษฎีบท "ความเป็นไปไม่ได้ของประชาธิปไตย" ของ Arrow ในเวลาเดียวกัน การเปลี่ยนแปลงการประเมินทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้องของบุคคลซึ่งอยู่นอกกลุ่มดังกล่าวไม่ส่งผลกระทบต่อการประเมินทางสังคมของกลุ่มย่อยนี้ ตัวอย่างเช่น การส่งผู้สมัครคนที่สามในการเลือกตั้งแบบสองผู้สมัครไม่มีผลกับผลการเลือกตั้งเว้นแต่ผู้สมัครคนที่สามจะชนะ

สังคมมีลักษณะที่น่าเบื่อหน่ายและเป็นการผสมผสานในเชิงบวกของค่านิยมทางสังคมและปัจเจกบุคคล หากบุคคลเปลี่ยนลำดับความชอบโดยการส่งเสริมตัวเลือกบางอย่าง ลำดับนั้นความชอบของสังคมควรสอดคล้องกับทางเลือกเดียวกันโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง บุคคลไม่ควรทำร้ายตัวเลือกด้วยการกำหนดราคาให้สูงขึ้น

ในทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ ประสิทธิภาพและความยุติธรรมในสังคมได้รับการประกันผ่านอำนาจอธิปไตยของพลเมือง ลำดับความชอบทางสังคมที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะต้องทำได้ด้วยชุดของลำดับความชอบส่วนบุคคลบางชุด ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันสวัสดิการเป็นแบบสมมุติ - มีพื้นที่เป้าหมายไม่จำกัด ทฤษฎีบทของ Arrow รุ่นต่อมา (1963) แทนที่เกณฑ์ความซ้ำซากจำเจและไม่ทับซ้อนกัน

พาเรโต้. ประสิทธิภาพหรือเอกฉันท์?

ถ้าแต่ละคนชอบทางเลือกอื่นมากกว่ากัน ลำดับของความชอบทางสังคมก็ควรทำเช่นกัน จำเป็นอย่างยิ่งที่หน้าที่สวัสดิการจะต้องมีความอ่อนไหวน้อยที่สุดต่อโปรไฟล์ความชอบ รุ่นที่ใหม่กว่านี้เป็นรุ่นทั่วไปและมีเงื่อนไขค่อนข้างอ่อนแอ สัจพจน์ของความสม่ำเสมอ ไม่ทับซ้อนกัน ร่วมกับ IIA แสดงถึงประสิทธิภาพของพาเรโต ในเวลาเดียวกัน ก็ไม่ได้หมายความว่า IIA ทับซ้อนกันและไม่ได้หมายความถึงความซ้ำซากจำเจ

IIA มีวัตถุประสงค์สามประการ:

1. มาตรฐาน. ทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้องไม่ควรสำคัญ
2. ใช้ได้จริง. ใช้ข้อมูลน้อยที่สุด
3. ยุทธศาสตร์. ให้สิ่งจูงใจที่เหมาะสมเพื่อระบุความชอบส่วนบุคคลอย่างแท้จริง แม้ว่าวัตถุประสงค์เชิงกลยุทธ์จะแตกต่างจาก IIA แต่มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด

ประสิทธิภาพ Pareto ได้รับการตั้งชื่อตามนักเศรษฐศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ทางการเมืองชาวอิตาลี Vilfredo Pareto (1848-1923) ใช้ในเศรษฐศาสตร์แบบนีโอคลาสสิกร่วมกับแนวคิดทางทฤษฎีของการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบเป็นเกณฑ์มาตรฐานสำหรับการประเมินประสิทธิภาพของตลาดจริง ควรสังเกตว่าไม่มีผลลัพธ์ใดที่ทำได้นอกเหนือทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ ตามสมมุติฐาน หากมีการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบและใช้ทรัพยากรอย่างมีประสิทธิภาพที่สุด ทุกคนจะมีมาตรฐานการครองชีพสูงสุดหรือประสิทธิภาพของพาเรโต

ในทางปฏิบัติ เป็นไปไม่ได้ที่จะดำเนินการทางสังคมใดๆ เช่น การเปลี่ยนแปลงนโยบายเศรษฐกิจ โดยไม่ทำให้สถานการณ์ของคนอย่างน้อยหนึ่งแย่ลงไปอีก ดังนั้นแนวคิดของการปรับปรุงพาเรโตจึงถูกนำไปใช้ในทางเศรษฐศาสตร์ในวงกว้าง การปรับปรุง Pareto เกิดขึ้นเมื่อการเปลี่ยนแปลงในการกระจายสินค้าไม่เป็นอันตรายต่อใครและช่วยอย่างน้อยหนึ่งคน โดยให้มีการแจกจ่ายสินค้าให้กับกลุ่มคนในขั้นต้น ทฤษฎีนี้ชี้ให้เห็นว่าการปรับปรุง Pareto จะเพิ่มมูลค่าให้กับเศรษฐกิจต่อไปจนกว่าจะถึงจุดสมดุล Pareto เมื่อไม่สามารถปรับปรุงได้อีก

คำสั่งอย่างเป็นทางการของทฤษฎีบท

ให้ A เป็นชุดผลลัพธ์ N คือจำนวนผู้ลงคะแนนหรือเกณฑ์การตัดสินใจ ระบุชุดของลำดับเชิงเส้นทั้งหมดจาก A ถึง L (A) ฟังก์ชันประกันสังคมที่เข้มงวด (กฎการรวมความชอบ) เป็นฟังก์ชันที่รวบรวมความชอบของผู้มีสิทธิเลือกตั้งตามลำดับความชอบแบบครั้งเดียวโดยก.

N - ทูเพิล (R 1, …, R N) ∈ L (A) N ของการตั้งค่าของผู้มีสิทธิเลือกตั้งเรียกว่าโปรไฟล์การกำหนดลักษณะ ในรูปแบบที่แข็งแกร่งที่สุดและเรียบง่ายที่สุด ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของ Arrow ระบุว่าเมื่อใดก็ตามที่ชุดทางเลือกที่เป็นไปได้ A มีองค์ประกอบมากกว่า 2 เงื่อนไข สามเงื่อนไขต่อไปนี้จะไม่สอดคล้องกัน:

1. ความเป็นเอกฉันท์หรือประสิทธิภาพ Pareto ที่อ่อนแอ หากทางเลือก A อยู่เหนือ B อย่างเคร่งครัดสำหรับคำสั่งซื้อทั้งหมด R 1, …, R N แล้ว A จะอยู่ในอันดับที่สูงกว่า B ใน F (R 1, R 2, …, R N) ในขณะเดียวกัน ความเป็นน้ำหนึ่งใจเดียวกันก็หมายความว่าไม่มีการบังคับ
2. ไม่เผด็จการ. ไม่มีบุคคลใด "ฉัน" ที่มีการตั้งค่าที่เข้มงวดเหนือกว่าเสมอ นั่นคือไม่มี I ∈ {1, …, N } ซึ่งสำหรับทุกคน (R 1, …, R N) ∈ L (A) N อยู่ในอันดับที่สูงกว่า B จาก R อย่างเคร่งครัด "ฉัน" อยู่ในอันดับที่สูงกว่า B อย่างเคร่งครัด มากกว่า F (R 1, R 2, …, R N) สำหรับ A และ B ทั้งหมด
3. ความเป็นอิสระจากทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้อง สำหรับโปรไฟล์การกำหนดค่าตามความชอบสองโปรไฟล์ (R 1, …, R N) และ (S 1, …, S N) ซึ่งสำหรับบุคคล I ทั้งหมด ทางเลือก A และ B มีลำดับเดียวกันใน R i เช่นเดียวกับใน S i ทางเลือก A และ B มี ลำดับเดียวกันใน F (R 1, R 2, …, R N) เช่นเดียวกับใน F (S 1, S2, …, S N)

ตีความทฤษฎีบท

แม้ว่าทฤษฎีบท Impossibility Theorem จะได้รับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์แล้ว แต่ก็มักจะแสดงในรูปแบบที่ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์ด้วยข้อความว่าไม่มีวิธีการลงคะแนนใดที่ยุติธรรม วิธีการลงคะแนนแบบจัดอันดับทุกวิธีมีข้อบกพร่อง หรือวิธีการลงคะแนนเพียงวิธีเดียวที่ไม่ผิดคือ เผด็จการ ข้อความเหล่านี้เป็นเพียงการทำให้เข้าใจง่ายขึ้นผลลัพธ์ของ Arrow ซึ่งถือว่าไม่ถูกต้องเสมอไป ทฤษฎีบทของ Arrow ระบุว่ากลไกการลงคะแนนเสียงแบบมีสิทธิพิเศษที่กำหนดขึ้นได้ กล่าวคือ กลไกหนึ่งที่ลำดับความชอบเป็นเพียงข้อมูลในการลงคะแนนเสียง และชุดการลงคะแนนใดๆ ที่เป็นไปได้ให้ผลลัพธ์ที่ไม่ซ้ำแบบใคร ไม่สามารถปฏิบัติตามเงื่อนไขทั้งหมดข้างต้นได้พร้อมๆ กัน

นักทฤษฎีต่างๆ ได้แนะนำให้ผ่อนคลายเกณฑ์ IIA เพื่อเป็นทางออกจากความขัดแย้ง ผู้เสนอวิธีการให้คะแนนยืนยันว่า IIA เป็นเกณฑ์ที่เข้มงวดโดยไม่จำเป็น ซึ่งถูกละเมิดในระบบการเลือกตั้งที่มีประโยชน์ที่สุด ผู้เสนอตำแหน่งนี้ชี้ให้เห็นว่าการไม่ปฏิบัติตามเกณฑ์ IIA มาตรฐานนั้นมีนัยเล็กน้อยโดยนัยของความเป็นไปได้ของการตั้งค่าแบบวนซ้ำ หากผู้ลงคะแนนโหวตแบบนี้:

• 1 โหวตให้ A> B> C;
• 1 โหวตให้ B> C> A;
• 1 โหวตให้ C> A> B.

จากนั้นกลุ่มคู่ที่พึงประสงค์มากที่สุดคือ A ชนะ B B ชนะ C และ C ชนะ A และสิ่งนี้ส่งผลให้มีการตั้งค่ากรรไกร-ร็อค-กรรไกรสำหรับการเปรียบเทียบคู่ใด ๆ

ในกรณีนี้ กฎการรวมกลุ่มใด ๆ ที่ตรงตามข้อกำหนดส่วนใหญ่ขั้นพื้นฐานที่ผู้สมัครที่ได้รับคะแนนเสียงมากที่สุดจะต้องชนะการเลือกตั้งจะล้มเหลวในเกณฑ์ IIA หากการตั้งค่าทางสังคมต้องเป็นสกรรมกริยาหรือแบบวนซ้ำ ในการดูสิ่งนี้ สันนิษฐานว่ากฎดังกล่าวสอดคล้องกับ IIA เนื่องจากความชอบของคนส่วนใหญ่เป็นที่สังเกต สังคมสนับสนุน A - B (สองโหวตสำหรับ A> B และอีกหนึ่งสำหรับ B> A), B - C และ C - A ดังนั้น วงจรจึงถูกสร้างขึ้นที่ขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าการตั้งค่าทางสังคมเป็นแบบสกรรมกริยา

ดังนั้น ทฤษฎีบทของ Arrow แสดงให้เห็นว่าระบบการเลือกตั้งใดๆ ที่มีชัยชนะมากที่สุดนั้นเป็นเกมที่ไม่สำคัญ และควรใช้ทฤษฎีเกมนั้นในการทำนายผลของกลไกการลงคะแนนเสียงส่วนใหญ่ นี่อาจเป็นผลลัพธ์ที่น่าท้อใจเพราะเกมไม่ควรมีความสมดุลที่มีประสิทธิภาพ ตัวอย่างเช่น การลงคะแนนอาจนำไปสู่ทางเลือกอื่นที่ไม่มีใครต้องการจริงๆ แต่ทุกคนโหวตให้

สังคมทางเลือกแทนความชอบ

การเลือกกลไกการลงคะแนนอย่างมีเหตุผลตามทฤษฎีบทของ Arrow ไม่ใช่เป้าหมายของการตัดสินใจทางสังคม บ่อยครั้งก็เพียงพอที่จะหาทางเลือกอื่น แนวทางที่เน้นทางเลือกทางเลือกสำรวจฟังก์ชันทางเลือกทางสังคมที่จับคู่โปรไฟล์การตั้งค่าแต่ละโปรไฟล์ หรือกฎการเลือกทางสังคม ฟังก์ชันที่จับคู่โปรไฟล์การตั้งค่าแต่ละโปรไฟล์กับชุดย่อยของทางเลือกอื่น

สำหรับฟังก์ชันทางเลือกทางสังคม ทฤษฎีบท Gibbard-Satterthwaite เป็นที่รู้จักกันดี ซึ่งระบุว่าหากฟังก์ชันทางเลือกทางสังคมที่มีช่วงทางเลือกอย่างน้อยสามทางมีความเสถียรเชิงกลยุทธ์ แสดงว่าเป็นเผด็จการ เมื่อพิจารณาจากกฎการเลือกทางสังคมแล้ว พวกเขาเชื่อว่าความชอบทางสังคมอยู่เบื้องหลังพวกเขา

นั่นคือพวกเขาถือว่ากฎเป็นทางเลือกองค์ประกอบสูงสุด - ทางเลือกที่ดีที่สุดสำหรับความชอบทางสังคม ชุดขององค์ประกอบการตั้งค่าทางสังคมสูงสุดเรียกว่าแกนกลาง ศึกษาเงื่อนไขการมีอยู่ของทางเลือกในแกนกลางในสองวิธี วิธีแรกอนุมานว่าค่ากำหนดเป็นอย่างน้อย acyclic ซึ่งจำเป็นและเพียงพอสำหรับการกำหนดค่าตามความชอบที่จะมีองค์ประกอบสูงสุดในชุดย่อยที่จำกัดใดๆ

ด้วยเหตุนี้ มันจึงมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการเปลี่ยนผ่านที่ผ่อนคลาย วิธีที่สองลดสมมติฐานของการตั้งค่าแบบวนซ้ำ คุมะเบะและมิฮาระนำแนวทางนี้มาใช้ พวกเขาตั้งสมมติฐานที่สอดคล้องกันมากขึ้นว่าความชอบส่วนบุคคลมีความสำคัญมากที่สุด

หลีกเลี่ยงความเสี่ยงสัมพัทธ์

มีตัวบ่งชี้ของการหลีกเลี่ยงความเสี่ยงหลายตัวที่แสดงโดยฟังก์ชันอรรถประโยชน์ในทฤษฎีบทของ Arrow Pratt การหลีกเลี่ยงความเสี่ยงอย่างสมบูรณ์ - ยิ่งความโค้ง u (c) สูงเท่าใด การหลีกเลี่ยงความเสี่ยงก็จะยิ่งสูงขึ้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากฟังก์ชันยูทิลิตี้ที่คาดไว้ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง การวัดที่จำเป็นจึงคงที่ตามการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ หนึ่งในมาตรการดังกล่าวคือการวัด Arrow-Pratt ของการหลีกเลี่ยงความเสี่ยงอย่างสมบูรณ์ (ARA) หลังจากที่นักเศรษฐศาสตร์ Kenneth Arrow และ John W. Pratt กำหนดอัตราส่วนการหลีกเลี่ยงความเสี่ยงที่แน่นอนเป็น

A (c)=- {u '' (c)}/ {u '(c)}, โดยที่: u '(c) และ u '' (c) หมายถึงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองที่เกี่ยวข้องกับ "c" ของ "u (c)"

ข้อมูลการทดลองและเชิงประจักษ์มักจะสอดคล้องกับการหลีกเลี่ยงความเสี่ยงอย่างแท้จริงที่ลดลง การวัดสัมพัทธ์Arrow Pratt Risk Aversion (ACR) หรือ Relative Risk Aversion Ratio กำหนดโดย:

R (c)=cA (c)={-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).

เช่นเดียวกับการหลีกเลี่ยงความเสี่ยงแบบสัมบูรณ์ คำที่เกี่ยวข้องคือความหลีกเลี่ยงความเสี่ยงแบบคงที่ (CRRA) และการหลีกเลี่ยงความเสี่ยงสัมพัทธ์ที่ลดลง/เพิ่มขึ้น (DRRA/IRRA) ข้อดีของปริมาณนี้คือ มันยังคงเป็นตัววัดที่ถูกต้องของการหลีกเลี่ยงความเสี่ยง แม้ว่าฟังก์ชันอรรถประโยชน์จะเปลี่ยนจากแนวโน้มความเสี่ยง นั่นคือ อรรถประโยชน์ไม่ได้นูน/เว้าอย่างเข้มงวดในทุก "c" RRA คงที่หมายถึงการลดลงใน ARA ของทฤษฎีของ Arrow Pratt แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามนั้นไม่เป็นความจริงเสมอไป ตัวอย่างเฉพาะของการหลีกเลี่ยงความเสี่ยงสัมพัทธ์คงที่ ฟังก์ชันยูทิลิตี้: u(c)=log(c) หมายถึง RRA=1.

กราฟด้านซ้าย: ฟังก์ชันอรรถประโยชน์การหลีกเลี่ยงความเสี่ยงจะเว้าจากด้านล่าง และฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่ไม่ชอบความเสี่ยงจะนูน กราฟกลาง - ในช่องว่างของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่คาดไว้ เส้นโค้งที่ไม่แยแสความเสี่ยงจะลาดขึ้น พล็อตที่ถูกต้อง - ด้วยความน่าจะเป็นคงที่ของสองสถานะทางเลือก 1 และ 2 เส้นโค้งไม่แยแสที่ไม่ชอบความเสี่ยงเหนือคู่ผลลัพธ์ที่ขึ้นกับสถานะจะนูน

ระบบเลือกตั้งที่กำหนด

ในขั้นต้น แอร์โรว์ปฏิเสธพระคาร์ดินัลยูทิลิตี้เป็นเครื่องมือสำคัญในการแสดงออกถึงสวัสดิการสังคม ดังนั้นเขาจึงจดจ่ออยู่กับการเรียกร้องอันดับ แต่ในภายหลังสรุปว่าระบบการให้คะแนนพระคาร์ดินัลที่มีสามหรือสี่ชั้นน่าจะดีที่สุด ตามทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ ทางเลือกของประชาชนถือว่าการตั้งค่าส่วนบุคคลและสังคมได้รับการจัดลำดับ นั่นคือ ความพึงพอใจกับความสมบูรณ์และการเปลี่ยนแปลงในทางเลือกต่างๆ ซึ่งหมายความว่าหากมีการแสดงค่ากำหนดโดยฟังก์ชันอรรถประโยชน์ ค่าของฟังก์ชันนี้จะมีประโยชน์ในแง่ที่สมเหตุสมผล เนื่องจากค่าที่สูงกว่าหมายถึงทางเลือกที่ดีกว่า

การใช้งานจริงของทฤษฎีบทนี้ใช้เพื่อประเมินหมวดหมู่กว้างๆ ของระบบลงคะแนนเสียง อาร์กิวเมนต์หลักของ Arrow โต้แย้งว่าระบบการลงคะแนนตามคำสั่งต้องละเมิดเกณฑ์ความเป็นธรรมอย่างน้อยหนึ่งข้อที่เขาสรุปไว้เสมอ ความหมายเชิงปฏิบัติของสิ่งนี้คือระบบการลงคะแนนที่ไม่จำเป็นต้องศึกษา ตัวอย่างเช่น ระบบจัดอันดับการลงคะแนนที่ผู้ลงคะแนนให้คะแนนผู้สมัครแต่ละคนสามารถผ่านเกณฑ์ทั้งหมดของ Arrow

อันที่จริง กลไกการลงคะแนนเสียง การเลือกอย่างมีเหตุมีผลของทฤษฎีบทของ Arrow และบทสนทนาที่ตามมานั้นทำให้เข้าใจผิดอย่างไม่น่าเชื่อในด้านของการลงคะแนน นักศึกษาและผู้ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญมักเชื่อกันว่าไม่มีระบบการลงคะแนนใดที่ตรงตามเกณฑ์ความเป็นธรรมของ Arrow เมื่อระบบการให้คะแนนสามารถและทำตรงตามเกณฑ์ทั้งหมดของ Arrow ได้