รูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ล้อมรอบเราทุกที่ รูปหลายเหลี่ยมนูนสามารถเป็นแบบธรรมชาติได้ เช่น รังผึ้ง หรือประดิษฐ์ (ที่มนุษย์สร้างขึ้น) ตัวเลขเหล่านี้ใช้ในการผลิตสารเคลือบประเภทต่างๆ ในงานจิตรกรรม สถาปัตยกรรม การตกแต่ง ฯลฯ รูปหลายเหลี่ยมนูนมีคุณสมบัติที่จุดทั้งหมดของพวกมันอยู่ด้านเดียวกันของเส้นตรงที่ผ่านจุดยอดที่อยู่ติดกันของรูปทรงเรขาคณิตนี้ มีคำจำกัดความอื่น ๆ เช่นกัน รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่านูนหากอยู่ในระนาบเดียวเทียบกับเส้นตรงที่มีด้านใดด้านหนึ่ง
รูปหลายเหลี่ยมนูน
ในเรขาคณิตเบื้องต้น จะพิจารณาเฉพาะรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาเท่านั้น เพื่อให้เข้าใจถึงคุณสมบัติทั้งหมดดังกล่าวรูปทรงเรขาคณิตจำเป็นต้องเข้าใจธรรมชาติของมัน ในการเริ่มต้นควรเข้าใจว่าบรรทัดใด ๆ เรียกว่าปิดซึ่งสิ้นสุดที่ตรงกัน นอกจากนี้ รูปทรงที่เกิดจากมันสามารถมีการกำหนดค่าที่หลากหลาย รูปหลายเหลี่ยมคือเส้นหักแบบปิดอย่างง่าย ซึ่งลิงก์ที่อยู่ใกล้เคียงไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ลิงค์และจุดยอดคือด้านข้างและจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตตามลำดับ เส้นหลายเส้นธรรมดาต้องไม่มีจุดตัดกัน
จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าติดกัน ถ้าเป็นจุดสิ้นสุดของด้านใดด้านหนึ่ง รูปทรงเรขาคณิตที่มีจุดยอดเป็นจำนวนที่ n และด้วยเหตุนี้จำนวนด้านที่ n เรียกว่า n-gon เส้นที่ขาดนั้นเรียกว่าเส้นขอบหรือรูปร่างของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ระนาบเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยมแบนเรียกว่าส่วนปลายของระนาบใดๆ ที่ล้อมรอบด้วยมัน ด้านที่อยู่ติดกันของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่าส่วนของเส้นหักที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดเดียว พวกมันจะไม่อยู่ติดกันหากมาจากจุดยอดที่แตกต่างกันของรูปหลายเหลี่ยม
คำจำกัดความอื่นๆ ของ รูปหลายเหลี่ยมนูน
ในเรขาคณิตเบื้องต้น มีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันอีกหลายคำที่ระบุว่ารูปหลายเหลี่ยมใดเรียกว่านูน ข้อความทั้งหมดเหล่านี้เป็นความจริงเท่าเทียมกัน รูปหลายเหลี่ยมถือว่านูนถ้า:
• ทุกส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดสองจุดอยู่ภายในนั้นทั้งหมดอยู่ภายในนั้น
• ข้างในนั้นเส้นทแยงมุมทั้งหมดอยู่;
• มุมภายในใด ๆ ไม่เกิน 180°.
รูปหลายเหลี่ยมแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วนเสมอ หนึ่งในนั้นมีจำกัด (สามารถล้อมเป็นวงกลมได้) และอีกอันไม่จำกัด อันแรกเรียกว่าพื้นที่ภายใน และส่วนที่สองคือพื้นที่ภายนอกของรูปทรงเรขาคณิตนี้ รูปหลายเหลี่ยมนี้เป็นทางแยก (หรืออีกนัยหนึ่งคือองค์ประกอบทั่วไป) ของระนาบครึ่งแผ่นหลายๆ อัน ยิ่งกว่านั้น แต่ละส่วนที่มีจุดสิ้นสุดของรูปหลายเหลี่ยมจะเป็นของมันทั้งหมด
รูปหลายเหลี่ยมนูนหลากหลาย
คำจำกัดความของรูปหลายเหลี่ยมนูนไม่ได้ระบุว่ามีหลายแบบ และแต่ละคนก็มีเกณฑ์บางอย่าง ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีมุมภายใน 180° เรียกว่านูนน้อย รูปทรงเรขาคณิตนูนที่มีจุดยอดสามจุดเรียกว่า สามเหลี่ยม สี่ - สี่เหลี่ยม ห้า - รูปห้าเหลี่ยม ฯลฯ n-gons นูนแต่ละอันตรงตามข้อกำหนดที่จำเป็นต่อไปนี้: n ต้องเท่ากับหรือมากกว่า 3 แต่ละตัว สามเหลี่ยมนูน รูปทรงเรขาคณิตของประเภทนี้ซึ่งจุดยอดทั้งหมดอยู่ในวงกลมเดียวกันเรียกว่าจารึกไว้ในวงกลม รูปหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่า circumscribed ถ้าทุกด้านใกล้กับวงกลมสัมผัสกับมัน รูปหลายเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันก็ต่อเมื่อสามารถซ้อนทับด้วยการซ้อนทับได้ รูปหลายเหลี่ยมระนาบเรียกว่าระนาบหลายเหลี่ยม(ส่วนหนึ่งของเครื่องบิน) ซึ่งถูกจำกัดด้วยรูปทรงเรขาคณิตนี้
รูปหลายเหลี่ยมนูนปกติ
รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีมุมและด้านเท่ากัน ข้างในมีจุด 0 ซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดแต่ละจุดเท่ากัน เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางกับจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่าเส้นตั้งฉาก และส่วนที่เชื่อมต่อจุด 0 กับด้านข้างเรียกว่ารัศมี
สี่เหลี่ยมปกติคือสี่เหลี่ยมจตุรัส สามเหลี่ยมด้านเท่าเรียกว่าสามเหลี่ยมด้านเท่า สำหรับตัวเลขดังกล่าว มีกฎดังต่อไปนี้: แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือ 180°(n-2)/ n, โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนูนนี้
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ถูกกำหนดโดยสูตร:
S=ph, โดยที่ p คือผลบวกครึ่งหนึ่งของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด และ h คือความยาวของเส้นตั้งฉาก
คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมนูน
รูปหลายเหลี่ยมนูนมีคุณสมบัติบางอย่าง ดังนั้นส่วนที่เชื่อมต่อ 2 จุดของรูปทรงเรขาคณิตนั้นจำเป็นต้องอยู่ในนั้น หลักฐาน:
สมมติว่า P เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่กำหนด เราใช้ 2 คะแนนตามอำเภอใจ เช่น A, B ซึ่งเป็นของ P ตามคำจำกัดความที่มีอยู่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน จุดเหล่านี้จะอยู่ที่ด้านเดียวกันของเส้นซึ่งมีด้านใดด้านหนึ่งของ Pดังนั้น AB จึงมีคุณสมบัตินี้และอยู่ใน P รูปหลายเหลี่ยมนูนสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมหลายรูปเสมอโดยใช้เส้นทแยงมุมทั้งหมดที่ดึงมาจากจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง
มุมเรขาคณิตนูน
มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือมุมที่เกิดจากด้านข้าง มุมภายในจะอยู่ที่บริเวณด้านในของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด มุมที่เกิดจากด้านที่บรรจบกันที่จุดยอดหนึ่งเรียกว่ามุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน มุมที่อยู่ติดกับมุมภายในของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนดเรียกว่าภายนอก แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่อยู่ด้านในคือ:
180° - x, โดยที่ x คือค่าของมุมภายนอก สูตรง่ายๆ นี้ใช้ได้กับรูปทรงเรขาคณิตทุกประเภท
โดยทั่วไป สำหรับมุมภายนอก มีกฎต่อไปนี้: แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีค่าเท่ากับความแตกต่างระหว่าง 180° และค่าของมุมภายใน สามารถมีค่าได้ตั้งแต่ -180° ถึง 180° ดังนั้น เมื่อมุมภายในเท่ากับ 120° มุมภายนอกจะเป็น 60°
ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน
ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนถูกกำหนดโดยสูตร:
180°(n-2), โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของ n-gon
ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนนั้นง่ายต่อการคำนวณ พิจารณารูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว จำเป็นต้องหาผลรวมของมุมภายในรูปหลายเหลี่ยมนูนเชื่อมต่อจุดยอดจุดใดจุดหนึ่งกับจุดยอดอื่นๆ จากการกระทำนี้ จะได้รูปสามเหลี่ยม (n-2) เรารู้ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ มีค่าเท่ากับ 180° เสมอ เนื่องจากจำนวนในรูปหลายเหลี่ยมใดๆ คือ (n-2) ผลรวมของมุมภายในของตัวเลขดังกล่าวคือ 180° x (n-2)
ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน กล่าวคือมุมภายในและมุมภายนอกสองมุมที่อยู่ติดกัน สำหรับรูปทรงเรขาคณิตนูนที่กำหนดจะเท่ากับ 180° เสมอ จากสิ่งนี้ คุณสามารถกำหนดผลรวมของมุมทั้งหมดได้:
180 x น.
ผลรวมของมุมภายในคือ 180°(n-2) ตามนี้ ผลรวมของมุมภายนอกทั้งหมดของรูปนี้ถูกกำหนดโดยสูตร:
180°n-180°-(n-2)=360°.
ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนใดๆ จะเท่ากับ 360° เสมอ (โดยไม่คำนึงถึงจำนวนด้าน)
มุมด้านนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนมักจะแสดงโดยส่วนต่างระหว่าง 180° และค่าของมุมภายใน
คุณสมบัติอื่นๆ ของรูปหลายเหลี่ยมนูน
นอกจากคุณสมบัติพื้นฐานของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้แล้ว ยังมีคุณสมบัติอื่นๆ ที่เกิดขึ้นเมื่อจัดการกับพวกมัน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็น n-gon นูนได้หลายรูป ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องทำต่อจากแต่ละด้านและตัดรูปทรงเรขาคณิตนี้ตามเส้นตรงเหล่านี้ นอกจากนี้ยังสามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นส่วนนูนหลายส่วนได้ เพื่อให้จุดยอดของแต่ละชิ้นตรงกับจุดยอดทั้งหมด จากรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว สามเหลี่ยมสามารถทำได้ง่าย ๆ โดยการวาดภาพทั้งหมดเส้นทแยงมุมจากจุดยอดหนึ่ง ดังนั้นในที่สุด รูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมจำนวนหนึ่งได้ ซึ่งกลายเป็นว่ามีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว
ปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมนูน
ส่วนของเส้นที่ขาดซึ่งเรียกว่าด้านของรูปหลายเหลี่ยม มักแสดงด้วยตัวอักษรต่อไปนี้: ab, bc, cd, de, ea นี่คือด้านข้างของรูปทรงเรขาคณิตที่มีจุดยอด a, b, c, d, e ผลรวมของความยาวของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมนูนนี้เรียกว่าปริมณฑล
เส้นรอบวงรูปหลายเหลี่ยม
รูปหลายเหลี่ยมนูนสามารถสลักและขีดเส้นรอบวงได้ วงกลมที่สัมผัสทุกด้านของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่าจารึกไว้ รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่า circumscribed ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของทุกมุมภายในรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวคือ:
S=pr, โดยที่ r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ และ p คือกึ่งปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด
วงกลมที่มีจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าล้อมรอบ นอกจากนี้ รูปทรงเรขาคณิตนูนนี้เรียกว่าจารึก จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าว เป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉากที่เรียกว่าทุกด้าน
เส้นทแยงมุมของรูปทรงเรขาคณิตนูน
เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่ติดกัน แต่ละคนอยู่ในรูปทรงเรขาคณิตนี้ จำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gon ดังกล่าวถูกกำหนดโดยสูตร:
N=n (n – 3)/ 2.
จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเบื้องต้น จำนวนสามเหลี่ยม (K) ที่สามารถหารรูปหลายเหลี่ยมนูนแต่ละรูปได้คำนวณโดยสูตรต่อไปนี้:
K=n – 2.
จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนขึ้นอยู่กับจำนวนจุดยอดของมันเสมอ
การสลายตัวของรูปหลายเหลี่ยมนูน
ในบางกรณี ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต จำเป็นต้องแยกรูปหลายเหลี่ยมนูนออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลายรูปที่มีเส้นทแยงมุมไม่ตัดกัน ปัญหานี้แก้ได้ด้วยการหาสูตรเฉพาะ
คำจำกัดความของปัญหา: เรียกฉากกั้นที่เหมาะสมของนูน n-gon ให้เป็นสามเหลี่ยมหลายรูปโดยใช้เส้นทแยงมุมที่ตัดกันที่จุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้เท่านั้น
วิธีแก้ปัญหา: สมมติว่า Р1, Р2, Р3 …, Pn คือจุดยอดของ n-gon นี้ หมายเลข Xn คือจำนวนพาร์ติชัน ให้เราพิจารณาเส้นทแยงมุมที่ได้รับของรูปทรงเรขาคณิต Pi Pn อย่างรอบคอบ ในพาร์ติชันปกติใด ๆ P1 Pn เป็นของสามเหลี่ยม P1 Pi Pn ซึ่งมี 1<i<n ต่อจากนี้และสมมติว่า i=2, 3, 4 …, n-1 เราจะได้กลุ่ม (n-2) ของพาร์ติชั่นเหล่านี้ ซึ่งรวมถึงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด
ให้ i=2 เป็นกลุ่มของพาร์ติชั่นปกติที่มีเส้นทแยงมุม Р2 Pn. จำนวนพาร์ติชั่นที่ป้อนเท่ากับจำนวนพาร์ติชั่น(n-1) -gon P2 P3 P4… ป. กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันเท่ากับ Xn-1.
ถ้า i=3 พาร์ติชั่นกลุ่มอื่นนี้จะมีเส้นทแยงมุม Р3 Р1 และ Р3 Pn เสมอ ในกรณีนี้ จำนวนพาร์ติชั่นปกติที่อยู่ในกลุ่มนี้จะตรงกับจำนวนของพาร์ติชั่นของ (n-2)-gon P3 P4 … Pn. กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันจะเท่ากับ Xn-2
ให้ i=4 จากนั้นในบรรดาสามเหลี่ยม พาร์ติชั่นปกติจะมีรูปสามเหลี่ยม P1 P4 Pn ซึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัส P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn จะติดกัน. จำนวนพาร์ติชั่นปกติของรูปสี่เหลี่ยมดังกล่าวคือ X4 และจำนวนพาร์ติชั่นของ (n-3)-gon คือ Xn-3 จากที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถพูดได้ว่าจำนวนพาร์ติชั่นที่ถูกต้องในกลุ่มนี้คือ Xn-3 X4 กลุ่มอื่นๆ ที่มี i=4, 5, 6, 7… จะมี Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … พาร์ติชั่นปกติ
ให้ i=n-2 จากนั้นจำนวนการแยกที่ถูกต้องในกลุ่มนี้จะเท่ากับจำนวนการแยกในกลุ่ม โดยที่ i=2 (หรืออีกนัยหนึ่ง เท่ากับ Xn-1)
ตั้งแต่ X1=X2=0, X3=1, X4=2… ดังนั้นจำนวนพาร์ติชั่นทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือ:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
ตัวอย่าง:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
จำนวนพาร์ติชั่นที่ถูกต้องตัดกันด้านในเส้นทแยงมุม
ตรวจกรณีพิเศษสามารถมาได้ที่สมมติฐานที่ว่าจำนวนเส้นทแยงมุมของนูน n-gons เท่ากับผลคูณของพาร์ติชั่นทั้งหมดของรูปนี้โดย (n-3).
ข้อพิสูจน์สมมติฐานนี้: จินตนาการว่า P1n=Xn(n-3) จากนั้น n-gon ใดๆ สามารถแบ่งออกเป็น (n-2)-triangles ยิ่งไปกว่านั้น สามารถประกอบ (n-3)-quadrilateral ได้ นอกจากนี้ แต่ละรูปสี่เหลี่ยมจะมีเส้นทแยงมุม เนื่องจากสามารถวาดเส้นทแยงมุมสองเส้นในรูปทรงเรขาคณิตนูนนี้ได้ ซึ่งหมายความว่าสามารถวาดเส้นทแยงมุมเพิ่มเติม (n-3) ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใดๆ (n-3) ใดๆ ก็ได้ จากสิ่งนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าในพาร์ติชั่นปกติใดๆ ก็สามารถวาด (n-3)-แนวทแยงที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหานี้ได้
พื้นที่รูปหลายเหลี่ยมนูน
บ่อยครั้งเมื่อแก้ปัญหาต่างๆ ของเรขาคณิตเบื้องต้น จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน สมมติว่า (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n คือลำดับของพิกัดของจุดยอดที่อยู่ใกล้เคียงทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีจุดตัดในตัวเอง ในกรณีนี้ พื้นที่คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi) + Yi + 1)), ที่ไหน (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).