วงกลมเป็นตัวหลักในเรขาคณิต ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่พิจารณาที่โรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ปัญหาทั่วไปประการหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับวงกลมคือการหาพื้นที่บางส่วนของมัน ซึ่งเรียกว่าเซกเตอร์วงกลม บทความนี้มีสูตรสำหรับพื้นที่ของส่วนและความยาวของส่วนโค้งตลอดจนตัวอย่างการใช้งานในการแก้ปัญหาเฉพาะ
แนวคิดของวงกลมและวงกลม
ก่อนจะแจกสูตรหาพื้นที่เซกเตอร์ของวงกลม ให้พิจารณาว่าตัวเลขที่ระบุคืออะไร ตามคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ วงกลมสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นตัวเลขดังกล่าวบนระนาบ ซึ่งทุกจุดจะเท่ากันจากจุดหนึ่งจุด (กลาง)
เมื่อพิจารณาวงกลม จะใช้คำศัพท์ต่อไปนี้:
- รัศมี - ส่วนที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังส่วนโค้งของวงกลม มักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร R.
- เส้นผ่านศูนย์กลางคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดสองจุดของวงกลม แต่ยังผ่านจุดศูนย์กลางของรูปด้วยมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร D.
- Arc เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมโค้ง วัดเป็นหน่วยความยาวหรือใช้มุม
วงกลมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่สำคัญอีกรูปหนึ่ง มันคือชุดของจุดที่ล้อมรอบด้วยวงกลมโค้ง
พื้นที่วงกลมและเส้นรอบวง
ค่าที่ระบุในชื่อรายการคำนวณโดยใช้สูตรง่ายๆ สองสูตร รายชื่อดังต่อไปนี้:
- เส้นรอบวง: L=2piR.
- พื้นที่ของวงกลม: S=piR2.
ในสูตรเหล่านี้ pi คือค่าคงที่ที่เรียกว่า Pi มันไม่มีเหตุผล กล่าวคือ มันไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้อย่างแน่นอน Pi มีค่าประมาณ 3.1416
ดังที่คุณเห็นจากนิพจน์ด้านบน เพื่อคำนวณพื้นที่และความยาว แค่รู้รัศมีของวงกลมก็เพียงพอแล้ว
พื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมและความยาวของส่วนโค้งของมัน
ก่อนพิจารณาสูตรที่เกี่ยวข้อง เราจำได้ว่าโดยปกติแล้วมุมในเรขาคณิตจะแสดงในสองวิธีหลัก:
- ในขนาดเท่าเพศ และหมุนเต็มที่รอบแกน 360o;
- ในหน่วยเรเดียน แสดงเป็นเศษส่วนของ pi และสัมพันธ์กับองศาโดยสมการต่อไปนี้: 2pi=360o.
เซกเตอร์ของวงกลมคือร่างที่ล้อมรอบด้วยเส้นสามเส้น: ส่วนโค้งของวงกลมและรัศมีสองเส้นที่ส่วนปลายของส่วนโค้งนี้ ตัวอย่างของเซกเตอร์วงกลมแสดงในรูปภาพด้านล่าง
ทำความเข้าใจว่าเซกเตอร์สำหรับวงกลมคืออะไรมันง่ายเข้าใจวิธีการคำนวณพื้นที่และความยาวของส่วนโค้งที่เกี่ยวข้อง จากรูปด้านบนจะเห็นได้ว่าส่วนโค้งของเซกเตอร์ตรงกับมุม θ เรารู้ว่าวงกลมเต็มสอดคล้องกับ 2pi เรเดียน ดังนั้นสูตรสำหรับพื้นที่ของเซกเตอร์วงกลมจะอยู่ในรูปแบบ: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. ในที่นี้มุม θ แสดงเป็นเรเดียน สูตรที่คล้ายกันสำหรับพื้นที่เซกเตอร์ หากวัดมุม θ เป็นองศา จะมีลักษณะดังนี้: S1=piθR2 /360.
ความยาวของส่วนโค้งที่สร้างส่วนคำนวณโดยสูตร: L1=θ2piR/(2pi)=θR และถ้ารู้จัก θ เป็นหน่วยองศา แล้ว: L1=piθR/180.
ตัวอย่างการแก้ปัญหา
ลองใช้ตัวอย่างโจทย์ง่ายๆ เพื่อแสดงวิธีใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมและความยาวของส่วนโค้งของวงกลม
ที่รู้กันว่าล้อมี12ซี่ เมื่อล้อหมุนครบ 1 รอบ จะครอบคลุมระยะทาง 1.5 เมตร อะไรคือพื้นที่ที่ล้อมรอบระหว่างซี่ล้อสองซี่ที่อยู่ติดกันและความยาวของส่วนโค้งระหว่างพวกเขาคืออะไร?
ดังที่คุณเห็นจากสูตรที่เกี่ยวข้องกัน เพื่อที่จะใช้มัน คุณต้องรู้ปริมาณสองค่า: รัศมีของวงกลมและมุมของส่วนโค้ง รัศมีสามารถคำนวณได้จากการรู้เส้นรอบวงของล้อ เนื่องจากระยะทางที่มันเคลื่อนที่ไปในการหมุนรอบเดียวจะสัมพันธ์กันทุกประการ เรามี: 2Rpi=1.5 โดยที่: R=1.5/(2pi)=0.2387 เมตร มุมระหว่างซี่ล้อที่ใกล้ที่สุดสามารถกำหนดได้โดยรู้จำนวนสมมติว่าทั้ง 12 ซี่แบ่งวงกลมออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน เราจะได้ส่วนที่เหมือนกัน 12 ซี่ ดังนั้น การวัดเชิงมุมของส่วนโค้งระหว่างซี่ล้อทั้งสองคือ: θ=2pi/12=pi/6=0.5236 เรเดียน
เราพบค่าที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว ตอนนี้สามารถแทนที่ค่าเหล่านี้ลงในสูตรและคำนวณค่าที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหาได้ เราได้: S1=0.5236(0.2387)2/2=0.0149 m2, หรือ 149cm2; L1=0.52360.2387=0.125 ม. หรือ 12.5 ซม.