สมการอนุพันธ์เชิงเส้นและเอกพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง ตัวอย่างโซลูชัน

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

ฉันคิดว่าเราควรเริ่มด้วยประวัติศาสตร์ของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมเช่นสมการเชิงอนุพันธ์ เช่นเดียวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ทั้งหมด สมการเหล่านี้ถูกคิดค้นโดยนิวตันเมื่อปลายศตวรรษที่ 17 เขาถือว่าการค้นพบของเขาสำคัญมากจนต้องเข้ารหัสข้อความ ซึ่งปัจจุบันสามารถแปลได้ดังนี้: "กฎธรรมชาติทั้งหมดอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์" นี้อาจดูเหมือนพูดเกินจริง แต่มันเป็นเรื่องจริง สมการเหล่านี้สามารถอธิบายกฎฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยาใดๆ ได้

นักคณิตศาสตร์ออยเลอร์และลากรองจ์มีส่วนอย่างมากในการพัฒนาและสร้างทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ ในศตวรรษที่ 18 พวกเขาค้นพบและพัฒนาสิ่งที่กำลังศึกษาอยู่ในหลักสูตรระดับสูงของมหาวิทยาลัย

ก้าวใหม่ในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ต้องขอบคุณ Henri Poincare เขาสร้าง "ทฤษฎีเชิงคุณภาพของสมการเชิงอนุพันธ์" ซึ่งเมื่อรวมกับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน มีส่วนสำคัญต่อรากฐานของโทโพโลยี - ศาสตร์แห่งอวกาศและคุณสมบัติ

สมการอนุพันธ์คืออะไร

หลายคนกลัววลีเดียว "สมการเชิงอนุพันธ์". อย่างไรก็ตาม ในบทความนี้ เราจะให้รายละเอียดแก่นแท้ทั้งหมดของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์อย่างยิ่งนี้ ซึ่งจริงๆ แล้วไม่ได้ซับซ้อนอย่างที่คิดจากชื่อ ในการเริ่มพูดถึงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1 อันดับแรก คุณควรทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับคำจำกัดความนี้โดยเนื้อแท้ และเราจะเริ่มด้วยส่วนต่าง

ส่วนต่าง

หลายคนรู้จักแนวคิดนี้จากโรงเรียน อย่างไรก็ตาม ลองมาดูกันดีกว่า ลองนึกภาพกราฟของฟังก์ชัน เราสามารถเพิ่มได้จนถึงระดับที่ส่วนใดส่วนหนึ่งจะอยู่ในรูปแบบของเส้นตรง เราใช้สองจุดที่อยู่ใกล้กันอย่างไม่สิ้นสุด ความแตกต่างระหว่างพิกัด (x หรือ y) จะเป็นค่าที่น้อยมาก มันถูกเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลและแสดงด้วยเครื่องหมาย dy (ส่วนต่างจาก y) และ dx (ส่วนต่างจาก x) สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าดิฟเฟอเรนเชียลไม่ใช่ค่าจำกัด และนี่คือความหมายและหน้าที่หลัก

และตอนนี้เราต้องพิจารณาองค์ประกอบต่อไป ซึ่งจะเป็นประโยชน์กับเราในการอธิบายแนวคิดของสมการเชิงอนุพันธ์ นี่คืออนุพันธ์

อนุพันธ์

เราคงเคยได้ยินในโรงเรียนและแนวความคิดนี้ อนุพันธ์คืออัตราการเติบโตหรือการลดลงของฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม จากนิยามนี้มากกลายเป็นไม่ชัดเจน ลองอธิบายอนุพันธ์ในแง่ของดิฟเฟอเรนเชียลกัน ลองกลับไปที่ส่วนที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันที่มีจุดสองจุดที่อยู่ห่างจากกันน้อยที่สุด แต่แม้ในระยะทางนี้ ฟังก์ชันก็สามารถเปลี่ยนแปลงได้ในระดับหนึ่ง และเพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงนี้ พวกเขาได้หาอนุพันธ์มา ซึ่งสามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของดิฟเฟอเรนเชียลได้: f(x)'=df/dx.

ตอนนี้ควรพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของอนุพันธ์ มีเพียงสามคนเท่านั้น:

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือส่วนต่างสามารถแสดงเป็นผลรวมหรือผลต่างของอนุพันธ์ได้: (a+b)'=a'+b' และ (a-b)'=a'-b'.
2. คุณสมบัติที่สองเกี่ยวข้องกับการคูณ อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์เป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันหนึ่งและอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น: (ab)'=a'b+ab'.
3. อนุพันธ์ของส่วนต่างสามารถเขียนได้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: (a/b)'=(a'b-ab')/b².

คุณสมบัติทั้งหมดเหล่านี้จะเป็นประโยชน์ในการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

นอกจากนี้ยังมีอนุพันธ์บางส่วน สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน z ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x และ y ในการคำนวณอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนี้ สมมติว่า เทียบกับ x เราต้องใช้ตัวแปร y เป็นค่าคงที่และแยกความแตกต่างอย่างง่าย

อินทิกรัล

แนวคิดที่สำคัญอีกประการหนึ่งคืออินทิกรัล อันที่จริง นี่เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับอนุพันธ์โดยตรง มีอินทิกรัลหลายประเภท แต่ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุด เราจำเป็นต้องมีอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนที่ไม่สำคัญที่สุด

อินทิกรัลคืออะไร? สมมุติว่าเรามีการพึ่งพา fจาก x เราหาอินทิกรัลจากมันแล้วได้ฟังก์ชัน F (x) (มักเรียกว่าแอนติเดริเวทีฟ) ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิม ดังนั้น F(x)'=f(x) จากนี้ไปอินทิกรัลของอนุพันธ์จะเท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิมด้วย

เมื่อแก้สมการอนุพันธ์ จำเป็นต้องเข้าใจความหมายและหน้าที่ของอินทิกรัล สำคัญมาก เพราะคุณจะต้องใช้บ่อยๆ เพื่อหาคำตอบ

สมการจะแตกต่างกันไปตามลักษณะของมัน ในส่วนถัดไป เราจะพิจารณาประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง แล้วเรียนรู้วิธีแก้สมการ

คลาสของสมการอนุพันธ์

"Diffury" จะถูกแบ่งออกตามลำดับของอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นจึงมีลำดับที่หนึ่ง สอง สามและมากกว่านั้น นอกจากนี้ยังสามารถแบ่งออกเป็นหลายคลาส: อนุพันธ์สามัญและอนุพันธ์บางส่วน

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่หนึ่ง เราจะพูดถึงตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาในหัวข้อต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะ ODE เนื่องจากสมการเหล่านี้เป็นสมการที่พบบ่อยที่สุด สามัญแบ่งออกเป็นชนิดย่อย: ด้วยตัวแปรที่แยกได้, เป็นเนื้อเดียวกันและต่างกัน. ต่อไป คุณจะได้เรียนรู้ว่าพวกมันแตกต่างกันอย่างไร และเรียนรู้วิธีแก้ไข

นอกจากนี้ สมการเหล่านี้ยังสามารถรวมกันได้ ดังนั้นหลังจากที่เราได้ระบบสมการอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง เราจะพิจารณาระบบดังกล่าวและเรียนรู้วิธีแก้ไขด้วย

ทำไมเราถึงพิจารณาเฉพาะคำสั่งซื้อแรก? เพราะคุณต้องเริ่มต้นด้วยเรื่องง่ายๆ และอธิบายทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับดิฟเฟอเรนเชียลสมการในบทความเดียวเป็นไปไม่ได้

สมการตัวแปรแยกได้

นี่อาจเป็นสมการอนุพันธ์อันดับแรกที่ง่ายที่สุด ซึ่งรวมถึงตัวอย่างที่สามารถเขียนได้ดังนี้: y'=f(x)f(y) ในการแก้สมการนี้ เราจำเป็นต้องมีสูตรสำหรับแทนอนุพันธ์เป็นอัตราส่วนของดิฟเฟอเรนเชียล: y'=dy/dx เมื่อใช้มัน เราจะได้สมการต่อไปนี้: dy/dx=f(x)f(y) ตอนนี้ เราสามารถเปลี่ยนไปใช้วิธีการแก้ตัวอย่างมาตรฐานได้: เราจะแบ่งตัวแปรออกเป็นส่วนๆ เช่น เราจะโอนทุกอย่างด้วยตัวแปร y ไปยังส่วนที่ dy ตั้งอยู่ และเราจะทำเช่นเดียวกันกับตัวแปร x เราได้สมการของรูปแบบ: dy/f(y)=f(x)dx ซึ่งแก้ไขได้โดยการหาอินทิกรัลของทั้งสองส่วน อย่าลืมค่าคงที่ที่ต้องตั้งค่าหลังจากถ่ายอินทิกรัล

คำตอบของ "ความต่าง" คือฟังก์ชันของการพึ่งพา x บน y (ในกรณีของเรา) หรือหากมีเงื่อนไขที่เป็นตัวเลข คำตอบจะอยู่ในรูปของตัวเลข มาวิเคราะห์ทั้งหลักสูตรของการแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:

y'=2ysin(x)

ย้ายตัวแปรไปในทิศทางต่างๆ:

dy/y=2sin(x)dx

ตอนนี้เราหาอินทิกรัลแล้ว ทั้งหมดนี้มีอยู่ในตารางอินทิกรัลพิเศษ และเราได้:

ln(y)=-2cos(x) + C

ถ้าจำเป็น เราสามารถเขียน "y" เป็นฟังก์ชันของ "x" ได้ ตอนนี้เราสามารถพูดได้ว่าสมการเชิงอนุพันธ์ของเราถูกแก้ได้หากไม่มีเงื่อนไขกำหนดไว้ สามารถกำหนดเงื่อนไขได้ ตัวอย่างเช่น y(n/2)=e จากนั้นเราก็แทนที่ค่าของตัวแปรเหล่านี้ลงในโซลูชันและหาค่าคงที่ ในตัวอย่างของเรา มันเท่ากับ 1.

สมการอนุพันธ์เอกพันธ์อันดับหนึ่ง

มาต่อในส่วนที่ยากขึ้นแล้ว สมการอนุพันธ์เอกพันธ์ของลำดับที่หนึ่งสามารถเขียนได้ในรูปแบบทั่วไปดังนี้: y'=z(x, y) ควรสังเกตว่าฟังก์ชันที่ถูกต้องของตัวแปรสองตัวนั้นเป็นเนื้อเดียวกัน และไม่สามารถแบ่งออกเป็นสองการพึ่งพาได้: z บน x และ z บน y การตรวจสอบว่าสมการเป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่นั้นค่อนข้างง่าย: เราทำการแทนที่ x=kx และ y=ky ตอนนี้เรายกเลิกทั้งหมด k หากตัวอักษรเหล่านี้ลดลง แสดงว่าสมการนั้นเป็นเนื้อเดียวกันและคุณสามารถดำเนินการแก้ไขได้อย่างปลอดภัย มองไปข้างหน้า สมมติว่า: หลักการของการแก้ไขตัวอย่างเหล่านี้ก็ง่ายมากเช่นกัน

เราต้องทำการแทนที่: y=t(x)x โดยที่ t เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับ x ด้วย จากนั้นเราสามารถแสดงอนุพันธ์: y'=t'(x)x+t แทนที่ทั้งหมดนี้ลงในสมการดั้งเดิมของเราและทำให้ง่ายขึ้น เราได้ตัวอย่างด้วยตัวแปรที่แยกออกได้ t และ x เราแก้มันและรับการพึ่งพา t(x) เมื่อเราได้มันมา เราก็แทนที่ y=t(x)x เป็นการแทนที่ครั้งก่อน จากนั้นเราจะได้การพึ่งพา y บน x

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ลองดูตัวอย่าง: xy'=y-xe^y/x.

เมื่อเช็คเปลี่ยนทุกอย่างก็ลดลง สมการจึงเป็นเนื้อเดียวกันจริงๆ ตอนนี้เราทำการเปลี่ยนตัวอื่นที่เราพูดถึง: y=t(x)x และ y'=t'(x)x+t(x) หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย เราได้สมการต่อไปนี้: t'(x)x=-e^t เราแก้ตัวอย่างผลลัพธ์ด้วยตัวแปรที่แยกออกมาและรับ: e^-t=ln(Cx) เราต้องแทนที่ t ด้วย y/x เท่านั้น (ถ้า y=tx แล้ว t=y/x) เราจะได้คำตอบ: e^-y/x=ln(xC).

สมการอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับที่หนึ่ง

ถึงเวลาโต้เถียงกันอีกเรื่องใหญ่แล้ว เราจะวิเคราะห์สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันของลำดับที่หนึ่ง พวกเขาแตกต่างจากสองก่อนหน้านี้อย่างไร? ลองคิดออก สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรกในรูปแบบทั่วไปสามารถเขียนได้ดังนี้: y' + g(x)y=z(x) ควรชี้แจงว่า z(x) และ g(x) สามารถเป็นค่าคงที่ได้

และตอนนี้เป็นตัวอย่าง: y' - yx=x².

มีสองวิธีในการแก้ปัญหา และเราจะจัดการกับทั้งสองอย่างตามลำดับ วิธีแรกคือวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ในการแก้สมการในลักษณะนี้ ก่อนอื่นคุณต้องหาค่าด้านขวาให้เป็นศูนย์และแก้สมการที่ได้ ซึ่งหลังจากย้ายชิ้นส่วนแล้วจะมีรูปแบบดังนี้:

y'=yx;

dy/dx=yx;

dy/y=xdx;

ln|y|=x²/2 + C;

y=e^x2/2y^C=C₁e^x2/2.

ตอนนี้เราต้องแทนที่ค่าคงที่ C₁ ด้วยฟังก์ชัน v(x) ที่เราต้องหา

y=ve^x2/2.

มาเปลี่ยนอนุพันธ์กันเถอะ:

y'=v'e^x2/2-xve^x2/2.

และแทนที่นิพจน์เหล่านี้ลงในสมการดั้งเดิม:

v'e^x2/2 - xve^x2/2 + xve^{x2 /2} =x².

คุณจะเห็นว่าข้อตกลงสองคำยกเลิกทางด้านซ้าย หากบางตัวอย่างสิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้น แสดงว่าคุณทำอะไรผิดต่อ:

v'e^x2/2 =x².

ตอนนี้เราแก้สมการปกติซึ่งเราต้องแยกตัวแปร:

dv/dx=x²/e^x2/2;

dv=x²e^-x2/2dx.

ในการแยกอินทิกรัล เราต้องใช้การรวมแบบทีละส่วนที่นี่ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่หัวข้อของบทความของเรา หากคุณสนใจ คุณสามารถเรียนรู้วิธีดำเนินการดังกล่าวได้ด้วยตนเอง ไม่ยากและด้วยทักษะและความเอาใจใส่ที่เพียงพอใช้เวลาไม่นาน

มาดูวิธีที่สองในการแก้สมการเอกพันธ์กัน: วิธีเบอร์นูลลี วิธีไหนเร็วกว่าและง่ายกว่านั้นขึ้นอยู่กับคุณ

ดังนั้น เมื่อแก้สมการด้วยวิธีนี้ เราต้องทำการแทนที่: y=kn โดยที่ k และ n เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับ x จากนั้นอนุพันธ์จะมีลักษณะดังนี้: y'=k'n+kn' แทนที่การแทนที่ทั้งสองลงในสมการ:

k'n+kn'+xkn=x².

กลุ่ม:

k'n+k(n'+xn)=x².

ตอนนี้เราต้องเท่ากับศูนย์สิ่งที่อยู่ในวงเล็บ ตอนนี้ หากคุณรวมสมการผลลัพธ์ทั้งสองเข้าด้วยกัน คุณจะได้ระบบสมการอนุพันธ์อันดับ 1 ที่คุณต้องแก้:

n'+xn=0;

k'n=x².

ความเสมอภาคแรกแก้ได้เหมือนสมการปกติ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแยกตัวแปร:

dn/dx=xv;

dn/n=xdx.

ดึงอินทิกรัลแล้วได้: ln(n)=x²/2. แล้ว ถ้าเราแสดง n:

n=e^x2/2.

ตอนนี้เราแทนที่ความเท่าเทียมกันที่ได้ลงในสมการที่สองของระบบ:

k'e^x2/2=x².

และเมื่อแปลงร่าง เราก็ได้ความเท่าเทียมกันตามวิธีแรก:

dk=x²/e^x2/2.

เราจะไม่ทำขั้นตอนต่อไปเช่นกัน เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวว่าในตอนแรกการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งทำให้เกิดปัญหาที่สำคัญ อย่างไรก็ตาม เมื่อคุณเจาะลึกลงไปในหัวข้อนั้น ก็เริ่มดีขึ้นเรื่อยๆ

สมการอนุพันธ์ใช้ที่ไหน

สมการเชิงอนุพันธ์ถูกใช้อย่างมากในวิชาฟิสิกส์ เนื่องจากกฎพื้นฐานเกือบทั้งหมดเขียนในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล และสูตรที่เราเห็นคือคำตอบของสมการเหล่านี้ ในวิชาเคมี พวกมันถูกใช้ด้วยเหตุผลเดียวกัน: กฎพื้นฐานได้มาจากกฎเหล่านี้ ในทางชีววิทยา สมการเชิงอนุพันธ์ถูกใช้เพื่อจำลองพฤติกรรมของระบบ เช่น เหยื่อผู้ล่า-เหยื่อ พวกมันยังสามารถใช้สร้างแบบจำลองการสืบพันธุ์ของอาณานิคมของจุลินทรีย์ได้อีกด้วย

สมการอนุพันธ์ช่วยชีวิตอย่างไร

คำตอบสำหรับคำถามนี้ง่ายมาก: ไม่มีทาง หากคุณไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกร พวกเขาไม่น่าจะมีประโยชน์สำหรับคุณ อย่างไรก็ตาม สำหรับการพัฒนาทั่วไป การรู้ว่าสมการอนุพันธ์คืออะไรและแก้ได้อย่างไร แล้วคำถามของลูกชายหรือลูกสาว "สมการอนุพันธ์คืออะไร" จะไม่ทำให้คุณสับสน ถ้าคุณเป็นนักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกร คุณเองก็เข้าใจถึงความสำคัญของหัวข้อนี้ในทุกศาสตร์ แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือตอนนี้คำถาม "จะแก้สมการอนุพันธ์อันดับแรกได้อย่างไร" คุณสามารถตอบได้เสมอ เห็นด้วย น่ารักเสมอเมื่อคุณเข้าใจในสิ่งที่คนกลัวที่จะเข้าใจ

ปัญหาการเรียนรู้หลัก

ปัญหาหลักในการทำความเข้าใจหัวข้อนี้คือทักษะที่ไม่ดีในการรวมและแยกแยะฟังก์ชัน หากคุณไม่เก่งเรื่องอนุพันธ์และปริพันธ์ คุณควรเรียนรู้เพิ่มเติม เชี่ยวชาญวิธีการรวมและการแยกความแตกต่าง จากนั้นจึงเริ่มศึกษาเนื้อหาที่อธิบายไว้ในบทความ

บางคนแปลกใจเมื่อพบว่า dx สามารถโอนย้ายได้ เพราะก่อนหน้านี้ (ในโรงเรียน) มีการระบุไว้ว่าเศษส่วน dy/dx นั้นแบ่งไม่ได้ ที่นี่คุณต้องอ่านวรรณกรรมเกี่ยวกับอนุพันธ์และเข้าใจว่ามันเป็นอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากที่สามารถจัดการได้เมื่อแก้สมการ

หลายคนไม่ได้ตระหนักในทันทีว่าคำตอบของสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งมักจะเป็นฟังก์ชันหรืออินทิกรัลที่ไม่สามารถหาได้ และความเข้าใจผิดนี้ทำให้พวกเขามีปัญหามากมาย

มีอะไรให้ศึกษาอีกบ้างเพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น

เป็นการดีที่สุดที่จะเริ่มต้นดำดิ่งสู่โลกแห่งแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ด้วยตำราเฉพาะทาง เช่น ในแคลคูลัสสำหรับนักเรียนที่ไม่ถนัดวิชาพิเศษทางคณิตศาสตร์ จากนั้นคุณสามารถไปยังวรรณกรรมเฉพาะทางเพิ่มเติมได้

ควรกล่าวไว้ว่า นอกจากสมการอนุพันธ์แล้ว ยังมีสมการปริพันธ์ด้วย ดังนั้นคุณจึงมีบางสิ่งที่ต้องพยายามและบางสิ่งที่ต้องศึกษาอยู่เสมอ

สรุป

เราหวังว่าหลังจากอ่านจบบทความนี้ให้แนวคิดแก่คุณว่าสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไรและจะแก้ไขอย่างไรให้ถูกต้อง

ไม่ว่าในกรณีใดคณิตศาสตร์จะมีประโยชน์กับเราในชีวิต มันพัฒนาตรรกะและความสนใจโดยที่ทุกคนไม่มีมือ