การศึกษาคุณสมบัติของสถานะมวลรวมของก๊าซเป็นหนึ่งในประเด็นสำคัญของฟิสิกส์สมัยใหม่ เมื่อพิจารณาถึงก๊าซในระดับจุลภาค เราสามารถหาพารามิเตอร์ระดับมหภาคทั้งหมดของระบบได้ บทความนี้จะเปิดเผยประเด็นสำคัญของทฤษฎีจลนพลศาสตร์ของแก๊ส: การกระจายตัวของโมเลกุลของ Maxwell ในแง่ของความเร็วคืออะไร
ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์
แนวคิดเรื่องแก๊สเป็นระบบอนุภาคเคลื่อนที่ด้วยกล้องจุลทรรศน์มีต้นกำเนิดในสมัยกรีกโบราณ วิทยาศาสตร์ใช้เวลามากกว่า 1700 ปีในการพัฒนา
ผู้ก่อตั้งทฤษฎีโมเลกุล-จลนศาสตร์สมัยใหม่ (MKT) ของก๊าซนั้นยุติธรรมที่จะพิจารณา Daniil Bernoulli ในปี ค.ศ. 1738 เขาได้ตีพิมพ์ผลงานชื่อ "อุทกพลศาสตร์" ในนั้น Bernoulli ได้สรุปแนวคิดของ MKT ที่ใช้มาจนถึงทุกวันนี้ ดังนั้น นักวิทยาศาสตร์จึงเชื่อว่าก๊าซประกอบด้วยอนุภาคที่เคลื่อนที่แบบสุ่มในทุกทิศทาง การชนกันหลายครั้งอนุภาคที่มีผนังหลอดเลือดถูกมองว่ามีแรงดันในก๊าซ ความเร็วของอนุภาคมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับอุณหภูมิของระบบ ชุมชนวิทยาศาสตร์ไม่ยอมรับความคิดที่กล้าหาญของ Bernoulli เนื่องจากยังไม่มีการจัดตั้งกฎการอนุรักษ์พลังงาน
ต่อจากนั้น นักวิทยาศาสตร์จำนวนมากก็ได้มีส่วนร่วมในการสร้างแบบจำลองจลนศาสตร์ของก๊าซ ในหมู่พวกเขาควรสังเกตว่า Rudolf Clausius ซึ่งในปี 2400 ได้สร้างแบบจำลองก๊าซอย่างง่าย ในนั้น นักวิทยาศาสตร์ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับการมีอยู่ของระดับความอิสระของการแปล การหมุน และการสั่นสะเทือนในโมเลกุล
ในปี พ.ศ. 2402 เจมส์ แม็กซ์เวลล์ได้ศึกษางานของคลอเซียส ได้กำหนดรูปแบบการกระจายที่เรียกว่าแมกซ์เวลล์เหนือความเร็วโมเลกุล อันที่จริง Maxwell ได้ยืนยันแนวคิดของ MKT โดยสำรองข้อมูลด้วยเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ ต่อจากนั้น Ludwig Boltzmann (1871) ได้สรุปข้อสรุปของการแจกแจง Maxwell เขาตั้งสมมติฐานการกระจายโมเลกุลทางสถิติทั่วไปมากกว่าความเร็วและพลังงาน ปัจจุบันเป็นที่รู้จักในชื่อการกระจายของ Maxwell-Boltzmann
แก๊สในอุดมคติ. หลักการพื้นฐานของ ILC
เพื่อให้เข้าใจว่าฟังก์ชันการกระจายของแมกซ์เวลล์คืออะไร คุณต้องเข้าใจระบบที่ฟังก์ชันนี้ใช้งานได้อย่างชัดเจน เรากำลังพูดถึงก๊าซในอุดมคติ ในทางฟิสิกส์ แนวคิดนี้เข้าใจว่าเป็นสารของไหล ซึ่งประกอบด้วยอนุภาคไร้มิติในทางปฏิบัติซึ่งไม่มีพลังงานศักย์ อนุภาคเหล่านี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูง ดังนั้นพฤติกรรมของอนุภาคจึงถูกกำหนดโดยพลังงานจลน์โดยสิ้นเชิง นอกจากนี้ ระยะห่างระหว่างอนุภาคใหญ่เกินไปสำหรับเทียบกับขนาดแล้วละเลย
ก๊าซในอุดมคติมีอธิบายไว้ใน MKT หลักสมมุติฐานมีดังนี้:
- ระบบแก๊สประกอบด้วยอนุภาคอิสระจำนวนมาก
- อนุภาคจะเคลื่อนที่แบบสุ่มด้วยความเร็วต่างกันไปในทิศทางที่ต่างกันไปตามวิถีทางตรง
- อนุภาคชนกับผนังหลอดเลือดอย่างยืดหยุ่น (ความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะชนกันมีน้อยเนื่องจากมีขนาดเล็ก);
- อุณหภูมิของระบบถูกกำหนดโดยพลังงานจลน์เฉลี่ยของอนุภาคโดยไม่ซ้ำกัน ซึ่งจะถูกรักษาไว้ทันเวลาหากมีการสร้างสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ในระบบ
กฎหมายการจัดจำหน่ายของแมกซ์เวลล์
ถ้าคนมีเครื่องมือที่สามารถวัดความเร็วของโมเลกุลก๊าซเดียวได้ หลังจากทำการทดลองที่เหมาะสมแล้ว เขาจะต้องประหลาดใจ การทดลองจะแสดงให้เห็นว่าทุกอณูของระบบก๊าซเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเต็มที่โดยพลการ ในกรณีนี้ ภายในกรอบของระบบเดียวในสภาวะสมดุลทางความร้อนกับสิ่งแวดล้อม โมเลกุลทั้งที่ช้ามากและเร็วมากจะถูกตรวจพบ
กฎการกระจายความเร็วของโมเลกุลก๊าซของแมกซ์เวลล์เป็นเครื่องมือที่ให้คุณกำหนดความน่าจะเป็นในการตรวจจับอนุภาคด้วยความเร็วที่กำหนด v ในระบบที่กำลังศึกษา ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องจะมีลักษณะดังนี้:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
ในนิพจน์นี้ ม -มวลอนุภาค (โมเลกุล) k - ค่าคงที่ของ Boltzmann, T - อุณหภูมิสัมบูรณ์ ดังนั้น ถ้าทราบลักษณะทางเคมีของอนุภาค (ค่าของ m) ฟังก์ชัน f(v) จะถูกกำหนดโดยอุณหภูมิสัมบูรณ์ ฟังก์ชัน f(v) เรียกว่า ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น หากเราใช้อินทิกรัลจากมันสำหรับการจำกัดความเร็ว (v; v+dv) เราก็จะได้จำนวนอนุภาค Ni ซึ่งมีความเร็วในช่วงเวลาที่กำหนด ดังนั้น หากเราหาอินทิกรัลของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(v) สำหรับขีดจำกัดความเร็วจาก 0 ถึง ∞ เราก็จะได้จำนวนโมเลกุลทั้งหมด N ในระบบ
การแสดงกราฟิกของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(v)
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมีรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นจึงไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะแสดงพฤติกรรมที่อุณหภูมิที่กำหนด ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้หากคุณวาดภาพบนกราฟสองมิติ มุมมองแผนผังของกราฟการแจกแจงของ Maxwell แสดงอยู่ด้านล่างในรูป
เราเห็นว่ามันเริ่มจากศูนย์ เนื่องจากความเร็ว v ของโมเลกุลไม่สามารถมีค่าลบได้ กราฟสิ้นสุดที่ใดที่หนึ่งในบริเวณที่มีความเร็วสูง โดยตกลงไปที่ศูนย์อย่างราบรื่น (f(∞)->0) คุณลักษณะต่อไปนี้ก็โดดเด่นเช่นกัน: เส้นโค้งเรียบนั้นไม่สมมาตร มันลดลงอย่างรวดเร็วมากขึ้นสำหรับความเร็วขนาดเล็ก
คุณลักษณะที่สำคัญของพฤติกรรมของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(v) คือการมีอยู่ของค่าสูงสุดที่เด่นชัดหนึ่งค่าบนนั้น ตามความหมายทางกายภาพของฟังก์ชัน ค่าสูงสุดนี้สอดคล้องกับค่าที่น่าจะเป็นที่สุดของความเร็วของโมเลกุลในแก๊สระบบ
ความเร็วที่สำคัญสำหรับฟังก์ชัน f(v)
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(v) และการแสดงกราฟิกช่วยให้เรากำหนดความเร็วที่สำคัญสามประเภทได้
ความเร็วประเภทแรกที่เห็นได้ชัดและที่กล่าวไว้ข้างต้นคือความเร็วที่มีแนวโน้มมากที่สุด v1 บนกราฟ ค่าของมันสอดคล้องกับค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f(v) ความเร็วและค่าใกล้เคียงกันนี้จะมีอนุภาคส่วนใหญ่ของระบบ การคำนวณหาได้ไม่ยาก ด้วยเหตุนี้ การหาอนุพันธ์อันดับ 1 เทียบกับความเร็วของฟังก์ชัน f(v) ก็เพียงพอแล้ว และให้เท่ากับศูนย์ จากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ เราได้ผลลัพธ์สุดท้าย:
v1=√(2RT/M).
ที่นี่ R คือค่าคงที่แก๊สสากล M คือมวลโมลาร์ของโมเลกุล
ความเร็วประเภทที่สองคือค่าเฉลี่ยของอนุภาค N ทั้งหมด แสดงว่า v2. สามารถคำนวณได้โดยการรวมฟังก์ชัน vf(v) เข้ากับความเร็วทั้งหมด ผลลัพธ์ของการรวมที่ระบุไว้จะเป็นสูตรต่อไปนี้:
v2=√(8RT/(piM)).
เนื่องจากอัตราส่วนคือ 8/pi>2 ความเร็วเฉลี่ยจึงสูงกว่าความเร็วที่น่าจะเป็นไปได้เล็กน้อยเสมอ
ทุกคนที่รู้เรื่องฟิสิกส์เพียงเล็กน้อยจะเข้าใจว่าความเร็วเฉลี่ย v2 ของ molecules จะต้องมีความสำคัญอย่างยิ่งในระบบแก๊ส อย่างไรก็ตาม นี่เป็นสมมติฐานที่ผิดพลาด ที่สำคัญกว่านั้นคือความเร็ว RMS แสดงว่าv3.
ตามคำจำกัดความ ความเร็วเฉลี่ยรูต-ค่าเฉลี่ย-กำลังสอง คือผลรวมของกำลังสองของความเร็วแต่ละอันของอนุภาคทั้งหมด หารด้วยจำนวนของอนุภาคเหล่านี้ และนำมาเป็นรากที่สอง มันสามารถคำนวณได้สำหรับการแจกแจงแมกซ์เวลล์ถ้าเรานิยามอินทิกรัลเหนือความเร็วทั้งหมดของฟังก์ชัน v2f(v) สูตรสำหรับความเร็วกำลังสองเฉลี่ยจะอยู่ในรูปแบบ:
v3=√(3RT/M).
ความเท่าเทียมกันแสดงว่าความเร็วนี้มากกว่า v2 และ v1 สำหรับระบบแก๊สใดๆ
ดังนั้น ความเร็วที่พิจารณาทั้งหมดบนกราฟการกระจายของแมกซ์เวลล์จะอยู่ที่ส่วนปลายหรือด้านขวาของกราฟนั้น
ความสำคัญของ v3
มีการระบุไว้ข้างต้นว่าความเร็วกำลังสองเฉลี่ยมีความสำคัญต่อการทำความเข้าใจกระบวนการทางกายภาพและคุณสมบัติของระบบก๊าซมากกว่าความเร็วเฉลี่ยธรรมดา v2 นี่เป็นเรื่องจริง เนื่องจากพลังงานจลน์ของก๊าซในอุดมคติขึ้นอยู่กับ v3 อย่างแม่นยำ และไม่เกี่ยวกับ v2.
ถ้าเราพิจารณาก๊าซในอุดมคติแบบโมโนโทมิก นิพจน์ต่อไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับมัน:
mv32/2=3/2kT.
ในที่นี้ แต่ละส่วนของสมการแทนพลังงานจลน์ของอนุภาคมวล m หนึ่งอนุภาค เหตุใดนิพจน์จึงมีค่า v3 ทุกประการ ไม่ใช่ความเร็วเฉลี่ย v2 ง่ายมาก: เมื่อกำหนดพลังงานจลน์ของแต่ละอนุภาค ความเร็ว v แต่ละตัวจะถูกยกกำลังสอง จากนั้นความเร็วทั้งหมดเติมและหารด้วยจำนวนอนุภาค N นั่นคือขั้นตอนการพิจารณาพลังงานจลน์จะนำไปสู่ค่าของความเร็วกำลังสองเฉลี่ย
ขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่น f(v) กับอุณหภูมิ
เราได้กำหนดไว้ข้างต้นแล้วว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของความเร็วโมเลกุลนั้นขึ้นอยู่กับอุณหภูมิโดยเฉพาะ ฟังก์ชันจะเปลี่ยนไปอย่างไรหาก T เพิ่มขึ้นหรือลดลง? แผนภูมิด้านล่างจะช่วยตอบคำถามนี้
จะเห็นได้ว่าความร้อนของระบบปิดทำให้เกิดรอยเปื้อนบนยอดและเปลี่ยนเป็นความเร็วสูงขึ้น การเพิ่มขึ้นของอุณหภูมิทำให้ความเร็วทุกประเภทเพิ่มขึ้นและความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของแต่ละความเร็วลดลง ค่าสูงสุดลดลงเนื่องจากการอนุรักษ์จำนวนอนุภาค N ในระบบปิด
ต่อไป เราจะแก้ปัญหาสองสามข้อเพื่อรวมเนื้อหาทางทฤษฎีที่ได้รับ
ปัญหาเกี่ยวกับโมเลกุลไนโตรเจนในอากาศ
จำเป็นต้องคำนวณความเร็ว v1, v2 และ v3 สำหรับไนโตรเจนในอากาศที่อุณหภูมิ 300 K (ประมาณ 27 oC)
มวลโมลาร์ของไนโตรเจน N2 คือ 28 ก./โมล จากสูตรข้างต้น จะได้
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 เมตร/วินาที;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 เมตร/วินาที
ปัญหาถังอ็อกซิเจน
ออกซิเจนในกระบอกสูบอยู่ที่อุณหภูมิที่กำหนด T1 จากนั้นบอลลูนก็ถูกวางไว้ในห้องที่เย็นกว่า พล็อตการกระจายความเร็วของ Maxwell สำหรับโมเลกุลออกซิเจนจะเปลี่ยนไปอย่างไรเมื่อระบบมาถึงสมดุลทางอุณหพลศาสตร์
เมื่อจำทฤษฎีนี้ เราสามารถตอบคำถามของปัญหาได้ดังนี้ ค่าความเร็วโมเลกุลทุกประเภทจะลดลง พีคของฟังก์ชัน f(v) จะเลื่อนไปทางซ้าย แคบลงเรื่อยๆ