ในทางฟิสิกส์ การพิจารณาปัญหาเกี่ยวกับวัตถุหมุนหรือระบบที่อยู่ในสมดุลนั้นดำเนินการโดยใช้แนวคิดของ "โมเมนต์ของแรง" บทความนี้จะพิจารณาถึงสูตรของโมเมนต์ของแรง รวมถึงการนำไปใช้ในการแก้ปัญหาประเภทนี้
โมเมนต์บังคับในวิชาฟิสิกส์
ตามที่ระบุไว้ในบทนำ บทความนี้จะเน้นที่ระบบที่สามารถหมุนรอบแกนหรือรอบจุด ลองพิจารณาตัวอย่างโมเดลดังกล่าวดังรูปด้านล่าง
เราเห็นว่าคันโยกสีเทาจับจ้องอยู่ที่แกนหมุน ที่ปลายคันโยกมีก้อนสีดำก้อนหนึ่งซึ่งมีแรงกระทำ (ลูกศรสีแดง) เห็นได้ชัดว่าผลของแรงนี้จะเป็นการหมุนของคันโยกไปรอบแกนทวนเข็มนาฬิกา
โมเมนต์ของแรงคือปริมาณในฟิสิกส์ ซึ่งเท่ากับผลคูณเวกเตอร์ของรัศมีที่เชื่อมแกนของการหมุนกับจุดที่ใช้แรง (เวกเตอร์สีเขียวในรูป) และแรงภายนอก ตัวเอง. นั่นคือ เขียนสูตรโมเมนต์แรงรอบแกนดังนี้
M¯=r¯F¯
ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์นี้คือเวกเตอร์ M¯ ทิศทางถูกกำหนดตามความรู้ของเวกเตอร์ตัวคูณ นั่นคือ r¯ และ F¯ ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์กากบาท M¯ ต้องตั้งฉากกับระนาบที่เกิดจากเวกเตอร์ r¯ และ F¯ และกำกับตามกฎของมือขวา (ถ้าวางสี่นิ้วของมือขวาตามแนวแรกคูณ เวกเตอร์ที่จุดสิ้นสุดของวินาที จากนั้นนิ้วโป้งจะระบุตำแหน่งที่เวกเตอร์ที่ต้องการถูกชี้นำ) ในรูป คุณสามารถดูได้ว่าเวกเตอร์ M¯ ถูกกำกับไว้ที่ใด (ลูกศรสีน้ำเงิน)
สเกลาร์ M¯
ในรูปในย่อหน้าก่อน แรง (ลูกศรสีแดง) กระทำกับคันโยกที่ทำมุม 90o โดยทั่วไปแล้ว สามารถใช้ได้ในทุกมุม พิจารณาภาพด้านล่าง
ที่นี่เราเห็นแล้วว่าแรง F กระทำกับคันโยก L ที่มุมหนึ่งแล้ว Φ สำหรับระบบนี้ สูตรสำหรับโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับจุด (แสดงด้วยลูกศร) ในรูปแบบสเกลาร์จะอยู่ในรูปแบบ:
M=LFบาป(Φ)
ตามมาจากนิพจน์ที่ว่าโมเมนต์ของแรง M จะมากกว่า ทิศทางของการกระทำของแรง F ยิ่งเข้าใกล้มุม 90o เทียบกับ L ในทางกลับกัน ถ้า F กระทำตาม L ดังนั้น sin(0)=0 และแรงจะไม่สร้างช่วงเวลาใดๆ (M=0)
เมื่อพิจารณาโมเมนต์ของแรงในรูปสเกลาร์ มักใช้แนวคิดของ "คันโยกแห่งแรง" ค่านี้คือระยะห่างระหว่างแกน (pointการหมุน) และเวกเตอร์ F. การใช้คำจำกัดความนี้กับรูปด้านบน เราสามารถพูดได้ว่า d=Lsin(Φ) คือคันโยกของแรง (ความเท่าเทียมกันตามมาจากนิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ "ไซน์") ผ่านคันบังคับ สูตรสำหรับช่วงเวลา M สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
M=dF
ความหมายทางกายภาพของM
ปริมาณทางกายภาพที่พิจารณาจะเป็นตัวกำหนดความสามารถของแรงภายนอก F ในการส่งผลกระทบแบบหมุนบนระบบ หากต้องการให้ร่างกายเคลื่อนไหวแบบหมุน จำเป็นต้องแจ้งให้ทราบสักครู่ M.
ตัวอย่างสำคัญของกระบวนการนี้คือการเปิดหรือปิดประตูห้อง บุคคลนั้นพยายามจับที่จับและหมุนบานพับประตู ทุกคนสามารถทำได้ หากคุณพยายามเปิดประตูโดยกดเข้าไปใกล้บานพับ คุณจะต้องพยายามอย่างมากในการเคลื่อนย้าย
อีกตัวอย่างหนึ่งคือการคลายน็อตด้วยประแจ ยิ่งคีย์นี้สั้นเท่าไหร่ก็ยิ่งทำให้งานสำเร็จได้ยากขึ้นเท่านั้น
คุณสมบัติที่ระบุนั้นแสดงให้เห็นโดยสูตรของโมเมนต์ของแรงเหนือไหล่ ซึ่งระบุไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า หาก M เป็นค่าคงที่ ดังนั้นค่า d ที่น้อยกว่า ต้องใช้ F ที่มากกว่าเพื่อสร้างโมเมนต์ของแรงที่กำหนด
กองกำลังรักษาการณ์หลายคนในระบบ
กรณีต่างๆ ถูกพิจารณาข้างต้นเมื่อมีแรง F เพียงตัวเดียวกระทำต่อระบบที่สามารถหมุนได้ แต่ถ้ามีแรงหลาย ๆ อย่างนี้อยู่ล่ะ? อันที่จริง สถานการณ์นี้เกิดขึ้นบ่อยขึ้น เนื่องจากกองกำลังสามารถกระทำต่อระบบได้ลักษณะที่แตกต่างกัน (ความโน้มถ่วง ไฟฟ้า แรงเสียดทาน เครื่องกล และอื่นๆ) ในกรณีเหล่านี้ทั้งหมด ผลลัพธ์ของโมเมนต์ของแรง M¯ สามารถรับได้โดยใช้ผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนต์ทั้งหมด Mi¯ เช่น:
M¯=∑i(Mi¯) โดยที่ i คือจุดแข็ง Fi
จากสมบัติของการเติมโมเมนต์ตามข้อสรุปที่สำคัญซึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทของ Varignon ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 - ต้นศตวรรษที่ 18 - Pierre Varignon ชาวฝรั่งเศส มันอ่านว่า: "ผลรวมของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อระบบภายใต้การพิจารณาสามารถแสดงเป็นโมเมนต์ของแรงหนึ่ง ซึ่งเท่ากับผลรวมของแรงอื่นๆ ทั้งหมดและนำไปใช้กับจุดหนึ่ง" ในทางคณิตศาสตร์ สามารถเขียนทฤษฎีบทได้ดังนี้
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
ทฤษฎีบทที่สำคัญนี้มักใช้ในทางปฏิบัติเพื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับการหมุนและการทรงตัวของร่างกาย
ช่วงเวลาแห่งแรงใช้ได้ไหม
การวิเคราะห์สูตรข้างต้นในรูปแบบสเกลาร์หรือเวกเตอร์ เราสามารถสรุปได้ว่าค่าของ M นั้นได้ผล แท้จริงแล้ว ขนาดของมันคือ Nm ซึ่งใน SI นั้นสอดคล้องกับจูล (J) อันที่จริง โมเมนต์ของแรงไม่ทำงาน แต่เป็นเพียงปริมาณที่สามารถทำได้ เพื่อให้สิ่งนี้เกิดขึ้น จำเป็นต้องมีการเคลื่อนที่เป็นวงกลมในระบบและการกระทำระยะยาว M ดังนั้น สูตรสำหรับการทำงานของโมเมนต์ของแรงจึงเขียนได้ดังนี้
A=Mθ
Bในนิพจน์นี้ θ คือมุมที่การหมุนเกิดขึ้นโดยโมเมนต์ของแรง M ดังนั้น หน่วยของงานสามารถเขียนเป็น Nmrad หรือ Jrad ตัวอย่างเช่น ค่า 60 Jrad ระบุว่าเมื่อหมุน 1 เรเดียน (ประมาณ 1/3 ของวงกลม) แรง F ที่สร้างโมเมนต์ M ทำงาน 60 จูล สูตรนี้มักใช้ในการแก้ปัญหาในระบบที่แรงเสียดทานกระทำ ดังที่แสดงด้านล่าง
โมเมนต์แรงและโมเมนตัม
ดังที่แสดง ผลกระทบของโมเมนต์ M ที่มีต่อระบบทำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบหมุน หลังมีลักษณะปริมาณที่เรียกว่า "โมเมนตัม" สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
L=ฉันω
นี่คือโมเมนต์ความเฉื่อย (ค่าที่มีบทบาทในการหมุนเดียวกับมวลในการเคลื่อนที่เชิงเส้นของวัตถุ) ω คือความเร็วเชิงมุม ซึ่งสัมพันธ์กับความเร็วเชิงเส้นตามสูตร ω=v/r.
ทั้งสองช่วงเวลา (โมเมนตัมและแรง) สัมพันธ์กันโดยนิพจน์ต่อไปนี้:
M=Iα โดยที่ α=dω / dt คือความเร่งเชิงมุม
ขอยกให้อีกสูตรหนึ่งที่สำคัญในการแก้ปัญหาสำหรับการทำงานของโมเมนต์แรงๆ คุณสามารถใช้สูตรนี้เพื่อคำนวณพลังงานจลน์ของวัตถุที่หมุนได้ เธอมีลักษณะดังนี้:
Ek=1/2ฉันω2
ต่อไป เราขอเสนอวิธีแก้ปัญหาสองข้อ ซึ่งเราจะแสดงวิธีใช้สูตรทางกายภาพที่พิจารณาแล้ว
สมดุลของหลายร่าง
งานแรกเกี่ยวข้องกับความสมดุลของระบบที่กองกำลังหลายตัวกระทำการ บนรูปด้านล่างแสดงระบบที่กระทำโดยสามกองกำลัง จำเป็นต้องคำนวณมวลของวัตถุที่จะต้องถูกระงับจากคันโยกนี้และต้องทำ ณ จุดใดเพื่อให้ระบบนี้มีความสมดุล
จากเงื่อนไขของปัญหา เราสามารถเข้าใจได้ว่าในการแก้ปัญหานั้น ควรใช้ทฤษฎีบทวาริกนอน ส่วนแรกของปัญหาสามารถตอบได้ทันที เนื่องจากน้ำหนักของวัตถุที่จะห้อยจากคันโยกจะเป็น:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
สัญญาณที่นี่เลือกโดยคำนึงถึงแรงที่หมุนคันโยกทวนเข็มนาฬิกาทำให้เกิดโมเมนต์เชิงลบ
ตำแหน่งของจุด d ซึ่งควรแขวนน้ำหนักนี้ คำนวณโดยสูตร:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 ม
โปรดทราบว่าโดยใช้สูตรสำหรับโมเมนต์โน้มถ่วง เราคำนวณค่าที่เทียบเท่า M ของค่าที่สร้างขึ้นโดยแรงสามแรง เพื่อให้ระบบอยู่ในสมดุล จำเป็นต้องระงับร่างกายที่มีน้ำหนัก 35 N ที่จุดที่ 4, 714 ม. จากแกนอีกด้านหนึ่งของคันโยก
ปัญหาดิสก์เคลื่อนที่
การแก้ปัญหาต่อไปนี้ขึ้นอยู่กับการใช้สูตรสำหรับโมเมนต์ของแรงเสียดทานและพลังงานจลน์ของวัตถุแห่งการปฏิวัติ ภารกิจ: กำหนดดิสก์ที่มีรัศมี r=0.3 เมตร ซึ่งหมุนด้วยความเร็ว ω=1 rad/s จำเป็นต้องคำนวณว่าสามารถเคลื่อนที่บนพื้นผิวได้ไกลแค่ไหน ถ้าสัมประสิทธิ์การเสียดสีกลิ้งคือ Μ=0.001
ปัญหานี้แก้ง่ายที่สุดถ้าคุณใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน เรามีพลังงานจลน์เริ่มต้นของดิสก์ เมื่อมันเริ่มม้วน พลังงานทั้งหมดนี้ถูกใช้เพื่อทำให้พื้นผิวร้อนเนื่องจากการกระทำของแรงเสียดทาน เท่ากับปริมาณทั้งสองเราได้รับนิพจน์:
Iω2/2=ΜN/rrθ
ส่วนแรกของสูตรคือพลังงานจลน์ของดิสก์ ส่วนที่สองเป็นงานโมเมนต์ของแรงเสียดทาน F=ΜN/r ใช้กับขอบจาน (M=Fr)
ให้ว่า N=mg และ I=1/2mr2 เราคำนวณ θ:
θ=mr2 ω2/ (4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/ (40.0019.81)=2.29358 rad
ตั้งแต่เรเดียน 2pi ตรงกับความยาวของ 2pir เราจึงได้ระยะทางที่ต้องการซึ่งดิสก์จะครอบคลุมคือ:
s=θr=2.293580.3=0.688m หรือประมาณ 69cm
โปรดทราบว่ามวลของดิสก์ไม่มีผลกับผลลัพธ์นี้