บางที แนวความคิดของอนุพันธ์เป็นที่คุ้นเคยสำหรับเราตั้งแต่สมัยเรียน โดยปกตินักเรียนจะมีปัญหาในการทำความเข้าใจสิ่งนี้ สิ่งที่สำคัญมากอย่างไม่ต้องสงสัย มันถูกใช้อย่างแข็งขันในด้านต่าง ๆ ของชีวิตผู้คนและการพัฒนาทางวิศวกรรมหลายอย่างขึ้นอยู่กับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับโดยใช้อนุพันธ์อย่างแม่นยำ แต่ก่อนจะวิเคราะห์ว่าอนุพันธ์ของตัวเลขคืออะไร คำนวณอย่างไร และมีประโยชน์ตรงไหน มาทำความเข้าใจประวัติศาสตร์กันก่อน
ประวัติศาสตร์
แนวคิดของอนุพันธ์ซึ่งเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ถูกค้นพบ (จะดีกว่าถ้าพูดว่า "ประดิษฐ์" เพราะมันไม่มีอยู่ในธรรมชาติเช่นนี้) โดย Isaac Newton ที่เรารู้จัก จากการค้นพบกฎความโน้มถ่วงสากล เขาเป็นคนแรกที่ใช้แนวคิดนี้ในฟิสิกส์เพื่อเชื่อมโยงธรรมชาติของความเร็วและความเร่งของร่างกาย และนักวิทยาศาสตร์หลายคนยังคงยกย่อง Newton สำหรับการประดิษฐ์อันยอดเยี่ยมนี้ เพราะในความเป็นจริง เขาได้คิดค้นพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ อันที่จริง อันที่จริงแล้ว พื้นฐานของพื้นที่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "แคลคูลัส" หากในเวลานั้นรางวัลโนเบล นิวตัน คงจะได้รับรางวัลนั้นด้วยความน่าจะเป็นสูงหลายครั้ง
ไม่มีจิตใจที่ยิ่งใหญ่ ยกเว้นนิวตันอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงเช่น Leonhard Euler, Louis Lagrange และ Gottfried Leibniz ทำงานเกี่ยวกับการพัฒนาอนุพันธ์และอินทิกรัล ต้องขอบคุณพวกเขาที่เราได้รับทฤษฎีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบที่มีอยู่มาจนถึงทุกวันนี้ อีกอย่างคือไลบนิซเป็นผู้ค้นพบความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ ซึ่งกลายเป็นว่าไม่มีอะไรมากไปกว่าแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของตัวเลขคืออะไร? มาทบทวนกันสักนิดว่าเราเคยผ่านอะไรมาบ้างในโรงเรียนบ้าง
อนุพันธ์คืออะไร
แนวคิดนี้สามารถกำหนดได้หลายวิธี คำอธิบายที่ง่ายที่สุดคืออนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ลองนึกภาพกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง y ของ x ถ้ามันไม่ตรง แสดงว่ามีเส้นโค้งบางส่วนในกราฟ ช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง หากเราใช้ช่วงเวลาเล็ก ๆ ของกราฟนี้อย่างไม่สิ้นสุด มันจะเป็นส่วนของเส้นตรง ดังนั้น อัตราส่วนของขนาดของส่วนที่เล็กอนันต์นี้ตามพิกัด y กับขนาดตามพิกัด x จะเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ณ จุดที่กำหนด หากเราพิจารณาฟังก์ชันโดยรวมและไม่ได้อยู่ที่จุดใดจุดหนึ่ง เราก็จะได้ฟังก์ชันอนุพันธ์ นั่นคือ การพึ่งพา y บน x
นอกจากความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ในฐานะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันแล้ว ยังมีความหมายทางเรขาคณิตอีกด้วย เราจะพูดถึงเขาตอนนี้
สัมผัสทางเรขาคณิต
อนุพันธ์ของตัวเลขนั้นเป็นตัวแทนของจำนวนหนึ่งซึ่งไม่มีความเข้าใจที่ถูกต้องไม่มีประเด็น ปรากฎว่าอนุพันธ์ไม่เพียงแต่แสดงอัตราการเติบโตหรือการลดลงของฟังก์ชัน แต่ยังแสดงแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดด้วย ไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจนมาก ลองวิเคราะห์ในรายละเอียดเพิ่มเติม สมมติว่าเรามีกราฟของฟังก์ชัน (สำหรับดอกเบี้ย ลองใช้เส้นโค้ง) มีจำนวนจุดไม่สิ้นสุด แต่มีบางจุดที่มีจุดเดียวสูงสุดหรือต่ำสุด ตลอดจุดดังกล่าว เป็นไปได้ที่จะวาดเส้นที่จะตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น เส้นดังกล่าวจะเรียกว่าแทนเจนต์ สมมุติว่าเราใช้มันไปที่ทางแยกที่มีแกน OX ดังนั้นมุมที่ได้รับระหว่างแทนเจนต์กับแกน OX จะถูกกำหนดโดยอนุพันธ์ อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น แทนเจนต์ของมุมนี้จะเท่ากับมัน
มาพูดถึงกรณีพิเศษและวิเคราะห์อนุพันธ์ของตัวเลขกันสักหน่อย
กรณีพิเศษ
ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว อนุพันธ์ของตัวเลขคือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ลองใช้ฟังก์ชัน y=x2 อนุพันธ์ x เป็นตัวเลข และในกรณีทั่วไป ฟังก์ชันเท่ากับ 2x หากเราต้องคำนวณอนุพันธ์ สมมุติว่า ณ จุด x0=1 เราก็จะได้ y'(1)=21=2 ทุกอย่างง่ายมาก กรณีที่น่าสนใจคืออนุพันธ์ของจำนวนเชิงซ้อน เราจะไม่อธิบายโดยละเอียดว่าจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร สมมุติว่านี่คือตัวเลขที่มีหน่วยจินตภาพที่เรียกว่า ตัวเลขที่มีกำลังสองเป็น -1 การคำนวณอนุพันธ์ดังกล่าวสามารถทำได้เฉพาะในกรณีต่อไปนี้เงื่อนไข:
1) ต้องมีอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของส่วนจริงและจินตภาพเกี่ยวกับ Y และ X
2) เป็นไปตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann ที่เกี่ยวข้องกับความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์บางส่วนที่อธิบายไว้ในย่อหน้าแรก
อีกกรณีหนึ่งที่น่าสนใจแม้ว่าจะไม่ซับซ้อนเท่ากรณีก่อน แต่เป็นอนุพันธ์ของจำนวนลบ อันที่จริง จำนวนลบใดๆ สามารถแสดงเป็นจำนวนบวกคูณด้วย -1 ได้ อนุพันธ์ของค่าคงที่และฟังก์ชันเท่ากับค่าคงที่คูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
การเรียนรู้บทบาทของอนุพันธ์ในชีวิตประจำวันเป็นเรื่องที่น่าสนใจ และนี่คือสิ่งที่เราจะพูดถึงในตอนนี้
แอปพลิเคชัน
บางทีเราแต่ละคนอย่างน้อยหนึ่งครั้งในชีวิตก็จับใจความได้ว่าคณิตศาสตร์ไม่น่าจะเป็นประโยชน์สำหรับเขา และสิ่งที่ซับซ้อนเช่นอนุพันธ์ อาจไม่มีการใช้งานเลย อันที่จริง คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์พื้นฐาน และผลไม้ทั้งหมดได้รับการพัฒนาโดยหลักฟิสิกส์ เคมี ดาราศาสตร์ และแม้แต่เศรษฐศาสตร์ อนุพันธ์คือจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้เราสามารถสรุปผลจากกราฟของฟังก์ชัน และเราเรียนรู้ที่จะตีความกฎของธรรมชาติและเปลี่ยนให้เป็นประโยชน์ด้วยเหตุนี้
สรุป
แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกคนที่ต้องการอนุพันธ์ในชีวิตจริง แต่คณิตศาสตร์พัฒนาตรรกะ ซึ่งจำเป็นอย่างแน่นอน คณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกเรียกว่าราชินีแห่งวิทยาศาสตร์เพื่ออะไรทั้งสิ้น แต่มันเป็นพื้นฐานสำหรับการทำความเข้าใจความรู้ด้านอื่นๆ